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四川省绵阳市2013届高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案

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绵阳市高中2010级第三次诊断性考试 数学(理)
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。第I卷1至2页,第II卷 3至4页。满分150分。考试时间120分钟。
注意事项:

1. 答题前,考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上,非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内,超出答题区域书写的答案无效j在草稿纸、试题卷 上答题无效。 3. 考试结束后,将答题卡收回。 第I卷(选择题,共50分) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集 U=R,集合 A={x||x|≤1},B={x|x≤1},则 (CU A) ? B 等于 A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1} C. {-1} D. {x|-1<x|≤1} 2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题 q:

?x ? R, x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 .则下 列命题为真命题的是
A p?q C ( ?p ) ? ( ?q ) 3. 已 知 曲 线 B p ? ( ?q ) D ( ?p ) ? q

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的渐近线方程为 y ? ? x ,则该曲线的离心率为 2 a b 2
A

6 2
1 ) 4

B 2

C

6 3

D

3

4. 函数f(x)=log2x+x的零点所在的一个区间是 A (0, C( B(

1 1 , ) 4 2

1 , 1) 2

D (1,2)

5. 函数f(x)= x-sinx的大致图象可能是

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6.一个多面体的直观图和三视图如图所示,M 是 AB 的 中点,一只 蜜蜂在该几何体内自由飞舞,则它飞入几 何体 F-AMCD 内的概率为 A

1 3

B

1 2

C

2 3

D

3 4

7.如图所示, ΔABC 中,D 为 BC 的中点, 丄 DA,垂足为 P,且 BP=2, BP 在
则 BC.BP =

A. 2 C. 8 D. 16

B. 4

?x ? y ? 2 ? 8. 已知 E 为不等式组 ? x ? 2 y ? 4 ,表示区域内的一点,过点 E 的直 ?y ? 1 ?
2 2 线 l 与圆 M:(x-1) +y =9 相交于 A,C 两点, 过点 E 与 l 垂直的直线交圆 M 于 B、 D 两点,当 AC 取最小值时,四边形 ABCD 的面积为

A. 4 5

B. 6 7

C. 12 2

D. 12

9. 如果正整数 M 的各位数字均不为 4,且各位数字之和为 6,则称 M 为“幸运数”, 则四 位 正整数中的“幸运数”共有 A. 45个 B. 41个 C. 40个 D. 38个 10. 已知函数 f1(x)=x2-2|x|,f2(x)=x+2,设; f ( x) ?

f1 ( x) ? f 2 ( x) | f1 ( x) ? f 2 ( x) | ,若 ? 2 2
恒成立,则b-a的最大值为 D. 2

a,b∈[-2, 4],且当x1,x2 ? [a, b]( x1 ? x 2 ) 时, A. 6 B. 4

g ( x1 ) ? g ( x 2 ) x1 ? x 2

C. 3 第II卷(非选择题,共100分) 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 11. 若复数 z满足 z.i=1+2i(i为虚数单位 ),则复数 z=________ 12. 执行如图所示的程序框图,则输出的 S=______.

13. 已知 tan( x ?

?
4

) ? 3 ,则 sinxcosx的值是 ______

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14. 已知直线y=k (x+1)(k>0) 与抛物线 C:y2=4x相交于A,B两点,O、F分别为C的顶 点和焦点,若 OA ? ? FB(? ? R ) ,则 k=______ 15. 若数列{an}满足:对任意的n ? N*,只有有限个正整数m使得am<n成立,记这样的m
* * 的个数为 (a n ) ,若将这些数从小到大排列,则得到一个新数列{ (a n ) },我们把它叫做

* 2 数列{an}的“星数列”.已知对于任意的n ? N , an=n 给出下列结论:

①数列{ ②(a5)*=2;

an * } 的“星数列”的前100之和为5050; n

2 2 ③数列 (a n ) 的前 n 项和为 2n -3n+1; 2 ④{an}的“星数列”的“星数列”的通项公式为 ((a n ) ) =n
* *

*

以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号) 三、解答題:本大題共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題满分12分) 绵阳某汽车销售店以 8 万元 A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出,当售价定为 10 万元/辆时,每年可销售 100 辆该品牌的汽车,当每辆的售价每提 高 1 千元时,年销售量就减少 2 辆. (I)若要获得最大年利润,售价应定为多少万元/辆? (II)该销售店为了提高销售业绩, 推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽 车,若一次性付款,其利润为 2 万元;若分 2 期或 3 期付款,其利润为 2.5 万 元;若分 4 期 或 5 期付款,其利润为 3 万元.该销售店对最近分期付叙的 10 位购车 情况进行了统计,统 计结果如下表.

若 X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值,求 X 的分布列和数学期望.

17. (本小题满分 12 分)

如图,已知平面 PAB 丄平面 ABCD,且四边形 ABCD 是 矩形, AD : AB=3 : 2, ΔPAB 为等边三角形,F 是线段 BC 上的点且满足
CF=2BF. (I)证明:平面 PAD 丄平面 PAB (II)求直线 DF 与平面 PAD 的所成角的余弦值.

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18. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, | ? |? 的图象向右平移

?
2

) 的部分图象如图示,将 y=f(x)

?
4

个单位后得到函数 y=f(x)的 图象.

(I )求函数 y=g(x)的解析式;
(II )在 ΔABC 中,它的三个内角满足 2 sin
2

A? B ? ? g (C ? ) ? 1 ,且其外接圆半径 R=2, 2 3

求 ΔABC 的面积的最大值.

19. (本小题满分 12 分) 已知{an}是公差为 d 的等差数列,它的前 n 项和为 Sn,S4=2S2+8. (I)求公差 d 的值; (II )若 a1=1,设 Tn 是数列 {

1 1 } 的前 n 项和,求使不等式 T n? (m 2 ? 5m) 对所有的 a n a n ?1 18

n∈N*恒成立的最大正整数 m 的值; (III)设 bn=

2 ? an /若对任意的 n∈N*,都有 bn≤b4 成立,求 a1 的取值范围. an

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 3 ,以 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 a b 2

原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线

x ? y ? 2 ? 0 相切.A、B 是椭圆的左右顶点,直线 l 过 B 点
且与 x 轴垂直,如图. (I)求椭圆 C 的方程; (II)若过点 M(1,0)的直线与椭圆 C 相交于 P, Q 两点,如果 ?

3 2 ? OP.OQ ? ? (O 5 9

为坐标原点),且满足 | PM | ? | MQ |? t PM .MQ ,求实数 t 的取值范围.

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21. (本小题满分 14 分) 已知函数. f ( x) ?

e2x 的定义域为(0,+ ? ) (e 是自然对数的底数). x
t ? t 的图象的上方,求 x

(I)求函数 y=f(x)在[m, m+2](m>0)的最小值; (II)若 x>1 时,函数 y=f(x)的图象总在函数 g ( x) ? 2t ln x ?

实数 t 的取值范围;
(III)求证:

? i.e
i ?1

n

1
2i

?

7 8e

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绵阳市高 2010 级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 50 分. BDACA BCDBC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 2 5 11.2-i 12.11 13.

2 2 14. 3 15.②④ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.解: (Ⅰ)设销售价格提高了 0.1x 万元/辆,年利润为 y 万元. 则由题意得年销售量为 100-2x, ∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245. 故当 x=15 时,y 取最大值. 此时售价为 10+0.1× 15=11.5 万元/辆. ∴ 当售价为 11.5 万元/辆时,年利润最大.…………………………………4 分 (Ⅱ)由图表可知,利润为 2 万元的有 1 辆,2.5 万元的有 4 辆,3 万元的有 5 辆. 2 C4 ? C52 16 ? 2 C10 45 ; ∴ P(X=0)=
1 1 1 1 C4C1 ? C4C5 24 ? 2 C10 45 ; P(X=0.5)= 1 1 C5C1 5 1 ? ? 2 C 45 9 . P(X=1)= 10

∴ X 的分布列为: X P 0
16 45

0.5

1

24 45

1 9
X 的 数 学 期 望

∴ 1 17 24 16 E(X)= 45 × 45 × 0+ 0.5+ 9 × 45 . 1=

17 ∴ X 的数学期望为 45 .………………………………………………………12 分 17.解: (Ⅰ)取 AB 的中点为 O,连接 OP, ∵ △PAB 为等边三角形, ∴ PO⊥AB.① 又平面 PAB⊥平面 ABCD, ∴ PO⊥平面 ABCD, ∴ PO⊥AD. ∵ 四边形 ABCD 是矩形, ∴ AD⊥AB.② ∵ AB 与 PO 交于点 O, 由①②得:AD⊥平面 PAB, ∴ 平面 PAD⊥平面 PAB. ……………………………………………………6 分 (Ⅱ)以 AB 的中点 O 为原点,OB 所在直线为 x 轴,过 O 平行于 BC 所在直线为 y 轴,OP 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设 AB=2,AD=3, ∴ F(1,1,0),A(-1,0,0),P(0,0, 3 ),D(-1,3,0). ???? ??? ? ???? ∴ DF =(2,-2,0), AP =(1,0, 3 ), AD =(0,3,0),
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可求得平面 ADP 的法向量 n=( 3 ,0,-1), 若直线 DF 与平面 PAD 的所成角为 θ,则 ???? DF ? n 3 | ???? |? ???? 2 , sinθ=|cos<n, DF >|= | DF | ? | n | 又由图形可知,θ 为锐角, 1 ∴cosθ= 2 .

z
P A
O

D

y
C

B

x F 1 ∴直线 DF 与平面 PAD 的所成角的余弦值为 2 . …………………………12 分 2? ? ? =4 ( + ) 12 6 ,解得 ω=2. 18.解: (Ⅰ)由图知: ?

f ( ) ? sin(2 ? ? ? ) ? 1 12 12 ∵ ,

?

?

?
∴ 6 由 ∴

? ? ? 2k? ? ?? ?

?
2

(k ? Z)

,即

? ? 2k? ?

?
3

(k ? Z)



?

?
2

?
2 ,得

??

?
3.

f ( x) ? sin(2 x ?

?

) 3 .

f ( x ? ) ? sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) 4 4 3 6 , ∴
sin(2 x ? ) 6 . ………………………………6 分 即函数 y=g(x)的解析式为 g(x)= A? B ? g (C ? ) ? 1 3 (Ⅱ)∵ 2sin2 2 = ,

?

?

?

?

?

? ∴ 1-cos(A+B)=1+sin(2C+ 2 ), ?
∵ cos(A+B)=-cosC,sin(2C+ 2 )=cos2C, 于是上式变为 cosC=cos2C,即 cosC=2cos2C-1,整理得 2cos2C-cosC-1=0, 1 ? 解得 cosC= 2 或 1(舍) ,

2 ? ∴ C= 3 .
c 由正弦定理得: sin C =2R=4,解得 c=2 3 , 1 a 2 ? b 2 ? 12 ? 2ab 于是由余弦定理得:cosC= 2 = , 2 2 ∴ a +b =12-ab≥2ab, ∴ ab≤4(当且仅当 a=b 时等号成立). 3 1 ∴ S△ = 2 absinC= 4 ab≤ 3 .
ABC

∴ △ABC 的面积的最大值为 3 . ………………………………………12 分
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19.解: (Ⅰ)设数列{an}的公差为 d, ∵ S4=2S2+8,即 4a1+6d=2(2a1+d)+8,化简得:4d=8, 解得 d=2.……………………………………………………………………3 分 (Ⅱ)由 a1=1,d=2,得 an=2n-1, 1 1 1 1 1 ? ( ? ) aa (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 . ∴ n n ?1 = 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? a a a2 a3 a3 a4 an an ?1 ∴ Tn= 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 =2

1 1 1 (1 ? ) 2n ? 1 ≥ 3 , =2 1 2 ( m ? 5m ) 18 又∵ 不等式 Tn≥ 对所有的 n∈N*恒成立, 1 1 2 ( m ? 5m ) ∴ 3 ≥ 18 , 2 化简得:m -5m-6≤0,解得:-1≤m≤6. ∴ m 的最大正整数值为 6.……………………………………………………8 分 (Ⅲ)由 d=2,得 an=a1+2n-2, 1 2 ? an 2 1? a1 bn ? an =1+ an = n ? 2 ? 1 , 又∵ 1 a ? ? a ? ? f ( x) ? 1 ? ??,? 1 ? ?1 ? 1 ,? ? ? 1 x ? a1 ? 1 在 ? 2 ?和? 2 ? ? 上分别是单调减函数, 又函数 a1 a x ?1? 1 2 时 y<1; 2 时 y>1. 且 ∵ 对任意的 n∈N*,都有 bn≤b4 成立, a 1? 1 2 <4, ∴ 3< 解得-6<a1<-4,即 a1 的取值范围为(-6,-4).……………………………12 分 c 3 ? a 2 . 20.解: (Ⅰ)由题可得:e= x ?1?
∵ 以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x+y+ 2 =0 相切,

0?0? 2 12 ? 12 =b,解得 b=1. ∴ 再由 a2=b2+c2,可解得:a=2. x2 ? y2 ? 1 4 ∴ 椭圆的标准方程为 .……………………………………………5 分

3 2 ??? ???? ? ? ? (Ⅱ)当直线的斜率为 0 时, OP ? OQ =-4 ? [ 5 , 9 ],不成立;
∵ 直线的斜率不为 0,设 P(x1,y1)(y1>0),Q(x2,y2)(y2<0), 直线的方程可设为:x=my+1,

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x2 ? y2 ? 1 4 代入椭圆方程 得:(m2+4)y2+2my-3=0 ?2m ?3 m 2 ? 4 ,y1y2= m 2 ? 4 , ∴ y1+y2= 4 ? 4m 2 2 而 x1x2=(my1+1)(my2+1)= m ? 4 , 1 ? 4m 2 ??? ???? ? 2 ∴ OP ? OQ =x1x2+y1y2= m ? 4 ,

3 1 ? 4m 2 2 1 ? 2 即 5 ≤ m ? 4 ≤ 9 ,解得 2 ≤m2≤1; ???? ? ???? ? PM ? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ? m 2 ? 1 ? y1 MQ ? ( x2 ? 1) 2 ? y2 2 ? ? m 2 ? 1 ? y2 ∵ ; ; ???? ? ???? ? ???? ???? ? ? ???? ???? ? ? 又∵ | PM | ? | MQ |? t PM ? MQ ? t | PM | ? | MQ | , y ? y1 1 1 1 1 1 1 ? ? t ? ???? ? ???? ? ( ? )? ? 2 2 2 | MQ | | PM | m ? 1 y1 y2 m ? 1 y1 ? y2 ∴ ?
? 1 m2 ? 1 ? ? ( y2 ? y1 ) 2 ? 4 y1 y2 y1 ? y2

?
?

4 m2 ? 3 3 m2 ? 1 1 ?
4 m2 ? 3 3 m2 ? 1

?

4 2 1? 2 3 m ?1 ,

1 4 2 4 21 2 ∴ 当 2 ≤m ≤1 时,解得 3 ≤t≤ 9 .…………………………………13 分

e 2 x (2 x ? 1) ? x2 21.解: (Ⅰ)∵ f ( x) = ,
1 1 ( , ?) ? f ?( x) >0,于是 f (x)在 2 ∴ 当 2x-1>0,即 x> 2 时, 上单调递增; 1 1 (??, ) f ?( x) <0,于是 (x)在 2 上单调递减. ∴ 当 2x-1<0,即 x< 2 时, ∵ m>0,∴ m+2>2. 1 1 2 ≤m+2,即 0<m≤ 2 时, ①m≤ 1 1 1 f (x)在(m, 2 )上单减,在( 2 ,m+2)上单增,∴f (x)min=f ( 2 )=2e;

1 e 2m ②当 m> 2 时,f (x)在[m,m+2]上单调递增,∴f (x)min=f (m)= m ; 1 1 e 2m ∴ 综上所述:当 0<m≤ 2 时,f (x)min=2e;当 m> 2 时,f (x)min= m . …………………………………………………………………4 分 (Ⅱ)构造 F(x)=f (x)-g(x)(x>1),
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e2 x ? t ? 2t ln x ? t ? 0 则由题意得 F(x)= x (x>1), 2 xe 2 x ? e 2 x ? t 2t (2 x ? 1)(e 2 x ? t ) ? F ?( x) = x2 x = x2 (x>1), ? ①当 t≤e2 时,e2x-t≥0 成立,则 x>1 时, F ( x) ≥0,
即 F(x)在 (1,? ?) 上单增, 1 2 1 2 e e 2 ∴ F(1)=e -2t≥0,即 t≤ 2 ,故 t≤ 2 .

1 1 ?( x) ②当 t>e2 时 , F =0 得 x= 2 或 2 lnt. 1 1 ∴ F(x)在(1, 2 lnt)上单减,在( 2 lnt,+ ? )上单增,
1 1 ∴ F(x)min=F( 2 lnt)=-2tln( 2 lnt)-t<0.∴不成立. 1 2 e ∴ 综上所述:t≤ 2 .………………………………………………………9 分
(Ⅲ)由(Ⅰ)可知,当 x>0 时, x 1 2x ∴ e ≤ 2e (x>0),

f ( x) ?

e2 x x ≥2e,

1 n 1 1 ? 2 2n ? 2n n e ≤ n 2 2e . ∴ ne n 1 1 1 1 1 ? i ? e2i ? e2 ? 2(e2 )2 ? 3(e2 )3 ? ??? ? n(e2 )n ∴ i ?1 1 1 1 1 (1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ) 2 3 n ≤ 2e 1 1 1 1 (1 ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ) 2 ?1 3 ?1 n ?1 < 2e 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 [1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? )] 2 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ?1 = 2e 1 1 1 1 1 [1 ? (1 ? ? ? )] 2e 2 2 n n ?1 =
7 8e .…………………………………………………………14 分 <

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