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2016_2017学年高中数学第2章圆锥曲线与方程1.1椭圆及其标准方程课后演练提升

2016-2017 学年高中数学 第 2 章 圆锥曲线与方程 1.1 椭圆及其标 准方程课后演练提升 北师大版选修 1-1
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.下列说法正确的是( )

A.已知 F1(-4,0),F2(4,0),到 F1,F2 两点的距离之和为 8 的点的轨迹是椭圆 B.已知 F1(-4,0),F2(4,0),到 F1,F2 两点的距离之和为 6 的点的轨迹是椭圆 C.到 F1(-4,0),F2(4,0)两点的距离之和等于点 M(5,3)到 F1,F2 的距离之和的点的轨 迹是椭圆 D.到 F1(-4,0),F2(4,0)两点距离相等的点的轨迹是椭圆 解析: 椭圆是到两个定点 F1,F2 的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹. A 中,|F1F2|=8,故到 F1,F2 两点距离之和为常数 8 的点的轨迹是线段 F1F2.B 中,到 F1,

F2 的两点距离之和为 6,小于|F1F2|的距离,故这样的轨迹不存在.C 中,点(5,3)到 F1,F2
两点的距离之和为 ?5+4? +3 + ?5-4? +3 =4 10>|F1F2|=8,故轨迹是椭圆. D 中,轨迹是线段 F1F2 的垂直平分线.故选 C. 答案: C 2.已知△ABC 的顶点 B,C 在椭圆 +y =1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点且椭圆的另一 3 个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长为( A.2 3 C.4 3 ) B.6 D.12
2 2 2 2

x2

2

解析: 根据椭圆定义知△ABC 的周长 l=4a=4 3. 答案: C 3.“m>n>0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 解析: 将方程 mx +ny =1 转化为 + =1,根据椭圆的定义,要使焦点在 y 轴上, 1 1
2 2 2 2

)

x2 y2 m n

1

>0 m ? ?1 必须满足? >0 n 1 1 ? ?n>m 1 答案: C

?m>n>0,故选 C.

4.若△ABC 的两个顶点坐标为 A(-4,0)、B(4,0),△ABC 的周长为 18,则顶点 C 的轨 迹方程为( A. C. )

+ =1(y≠0) 25 9 + =1(y≠0) 16 9

x

2

y

2

B. + =1(y≠0) 25 9 D. + =1(y≠0) 16 9

y2 y2

x2 x2

x2

y2

解析: 因为|AB|=8,|CA|+|CB|=18-8=10,所以顶点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点 的椭圆(去掉长轴的两个端点).因 2a=10,2c=8,所以 b =9.所以顶点 C 的轨迹方程为 25 + =1(y≠0). 9 答案: A 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.若方程 + =1 表示椭圆,则参数 k 的取值范围是________. k-4 9-k 13 ,∴4<k<9 且 k≠ . 2
2

x2

y2

x2

y2

k-4>0 ? ? 解析: 依题意?9-k>0 ? ?k-4≠9-k
13 答案: 4<k<9 且 k≠ 2

6.椭圆 + =1 上的点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,则|ON|(O 为坐标原 25 9 点)的值为____________. 解析: 如图所示.

x2

y2

1 1 |ON|= |MF2|= (2×5-|MF1|)=4. 2 2

2

答案: 4 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 7.求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点在 x 轴上,且经过点(2,0)和点(0,1); (2)焦点在 y 轴上,与 y 轴的一个交点为 P(0,-10),P 到它较近的一个焦点的距离等 于 2. 解析: (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上, 所以可设它的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), ∵椭圆经过点(2,0)和(0,1), 0 ? ?a +b =1 ∴? 0 1 ?a +b =1 ? 2
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

? ?a =4 ,∴? 2 ?b =1 ?

2



故所求椭圆的标准方程为 +y =1. 4 (2)∵椭圆的焦点在 y 轴上,所以可设它的标准方程为

x2

2

y2 x2 + =1(a>b>0), a2 b2
∵P(0,-10)在椭圆上,∴a=10. 又∵P 到它较近的一个焦点的距离等于 2, ∴-c-(-10)=2,故 c=8, ∴b =a -c =36. ∴所求椭圆的标准方程是
2 2 2 2

+ =1. 100 36
2

y2

x2

8.已知圆 A:(x+3) +y =100,圆 A 内一定点 B(3,0),圆 P 过 B 点且与圆 A 内切, 求圆心 P 的轨迹方程. 解析: 设|PB|=r.

∵圆 P 与圆 A 内切,圆 A 的半径为 10, ∴两圆的圆心距|PA|=10-r, 即|PA|+|PB|=10(大于|AB|).

3

∴点 P 的轨迹是以 A、B 两点为焦点的椭圆. ∴2a=10,2c=|AB|=6. ∴a=5,c=3. ∴b =a -c =25-9=16, 即点 P 的轨迹方程为 + =1. 25 16 ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)在椭圆 + =1 上是否存在点 P,使 P 与椭圆的两个焦点的连线互相垂直? 4 3 若存在,求出 P 点的坐标;如果不存在,请说明理由. 解析: 设椭圆的两个焦点为 F1、F2, 依题意,a=2,b= 3,c=1, ∴|F1F2|=2, 如果所求 P 点存在, 则|PF1|+|PF2|=4 ①, ∵△F1PF2 是直角三角形, ∴|PF1| +|PF2| =4 ②, 由①②得|PF1|·|PF2|=6,则|PF1|,|PF2|是方程 x -4x+6=0 的两个正实数根,由于 方程根的判别式 Δ =(-4) -4×6<0,所以满足题意的 P 点不存在.
2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2 y2

4



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