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北京市2013届高三最新文科数学模拟试题分类汇编3:三角函数


北京 2013 届高三最新文科模拟试题分类汇编 3:三角函数
一、选择题

1 ? cos 2 x 1 . (2013 届北京大兴区一模文科)函数 f ( x) ? cos x





π π , ) 上递增 2 2 π π C.在 (? , ) 上递减 2 2
A.在 (?
【答案】D

π π , 0] 上递增,在 (0, ) 上递减 2 2 π π D.在 (? , 0] 上递减,在 (0, ) 上递增 2 2
B.在 (?

2 . (2013 届北京门头沟区一模文科数学) 为得到函数 y ? sin (π-2 x) 的图象,可以将函数

π y ? sin (2 x ? ) 的图象 3 π A.向左平移 个单位 3 π C.向右平移 个单位 3
【答案】B





π 个单位 6 π D.向右平移 个单位 6
B.向左平移

3 . (2013 届北京门头沟区一模文科数学)若△ABC 的内角 A. B.C 所对的边 a、b、c 满足

(a ? b) 2 ? c 2 ? 4 ,且 C=60°,则 ab 的值为
A. 8 ? 4 3
【答案】C





B.1

C.

4 3

D.

2 3

4 . (2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)下列四个函数中,最小正周期为 ? ,且图象关于直

线x?

?
12

对称的是





x ? A. y ? sin( ? ) 2 3
C. y ? sin(2 x ? ) 3
【答案】

x ? B. y ? sin( ? ) 2 3
D. y ? sin(2 x ? ) 3 D.

?

?

5 . (2013 北京朝阳二模数学文科试题)函数 f ( x ) ? sin( x ?

? ) ( x ? R )的图象的一条对称轴 4
( ) D. x ?

方程是 A. x ? 0
【答案】

B. x ? ? B.

π 4

C. x ?

π 4

π 2

6 . (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)函数 y= 2sin( x ?

?
3

)(0≤x≤ ? )的最大值 ( )

与最小值之和为 A.0 B.2 ? 3 C.-1 D.-l ? 3

-1-

【答案】B 二、填空题

7 . (2013 北京房山二模数学文科试题及答案)已知角 A 为三角形的一个内角,且

cos A ?

3 5 ,则

tan A ? ____,
【答案】 8

? tan( A ? ) ? 4 ____.

4 , ?7 3
A,B,C

.( 2013 届 房 山 区 一 模 文 科 数 学 ) 在 △ABC 中 , 角

所对的边分别为

? a, b, c , A ? 4 ,a ? 2,c ? 2,则角 C 的大小为____.
【答案】

?
6

或 30?

9 . (2013 北京顺义二模数学文科试题及答案) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,

且 cos A ?

1 ? , ?B ? , b ? 5 ,则 sin C ? _____, ?ABC 的面积 S ? __________. 3 4

【答案】

4 ? 2 100 ? 25 2 ; , 6 9
f() s xo 的最小正周期是________________ x?i ncs x

10. (2013 届北京大兴区一模文科)函数 【答案】

π
3 , tan x ? 0 ,则 sin x =________. 5

11. (2013 届北京丰台区一模文科)若 cos x ? 【答案】 ?

4 ; 5

12. (2013 届北京西城区一模文科)在△ ABC 中,内角 A , B , C 的对边边长分别为 a , b , c ,



cos A b 3 ? ? .若 c ? 10 ,则△ ABC 的面积是______. cos B a 4 【答案】 24 ;

13. (2013 北京丰台二模数学文科试题及答案)若 tan(? 【答案】

? x) ? 2 ,则 tan 2 x 的值是_______.

4 ; 3

f ( x) ? sin(2? x ? )(0 ? ? ? 1) 14. (2013 北京海淀二模数学文科试题及答案)已知函数 的图 6
象经过点 (

?

?

6

, 0) ,则 ? ? ______, f ( x) 在区间 [0, ? ] 上的单调递增区间为________.

-2-

【答案】

1 2



2? [0, ] 3

15. (2013 北京昌平二模数学文科试题及答案)在△ABC 中,若 a ? 4, b ? 5, c ? 61 ,则 ?C 的大

小为_________.
【答案】

120? ;

16 . 北 京 市 石 景 山 区 2013 届 高 三 一 模 数 学 文 试题) 在△ABC 中,若 ∠B= (

?
4

,b=

2a , 则

∠C=__________________.
【答案】

7? 12
cos A ? 1 4 ,则 c ? ______.

17. (2013 届北京海滨一模文)在 ?ABC 中,若 a ? 4, b ? 2, 【答案】 4

18 . 2013 北 京 西 城 高 三 二 模 数 学 文 科 ) 在 △ ABC 中 , BC ? 2 , (

AC ? 7 , B ?

? ,则 3

AB ? ______;△ ABC 的面积是______.
【答案】3,

3 3 2

19. (北京市朝阳区 2013 届高三第一次综合练习文科数学) 在 ?ABC 中, a , b , c 分别为角

A , B , C 所对的边,且满足 b ? 7 a sin B ,则 sin A ? _______,
若 B ? 60? ,则 sin C ? _______.
【答案】

1 13 ; 7 14

20. (2013 届北京东城区一模数学文科)函数 f ( x ) ? sin( x ?

?
3

) 的图象为 C ,有如下结论:①图

象 C 关于直线 x ?

5? 4? ? 5? , 0) 对称;③函数 f (x) 在区间 [ , ] 对称;②图象 C 关于点 ( 6 3 3 6

内是增函数,其中正确的结论序号是____.(写出所有正确结论的序号) 【答案】①②③
21. (2013 北京东城高三二模数学文科)在△ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b ,

c ,且

A +C ? 2 B . 若 a = 1 , b =
【答案】

3 ,则 c 的值为___.

? , 2; 3

22. (2013 届北京市延庆县一模数学文)在 ?ABC 中, a, b, c 依次是角 A, B, C 的对边,且 b ? c .

若 a ? 2, c ? 2 3 , A ?

?
6

,则角 C ? _______.

-3-

【答案】 120 三、解答题

?

23. (2013 届北京海滨一模文)已知函数 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 .

(Ⅰ)求 f ( ) 的值和 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数在区间 [? , ] 上的最大值和最小值.

π 3

π π 6 3

π 3 1 2 f ( ) ? 2?( 3? ? ) ?1 3 2 2 【答案】解:(I)
因为 f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)
2

? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x) ? 2 ? (1 ? 2sin2 x ? 3sin2 x)
? 1 ? 2sin2 x ? 3sin 2 x ? cos2 x ? 3sin 2 x
2π 2π π T? ? ?π = 2sin(2 x ? ) |? | 2 6 所以 f ( x ) 的周期为
π π π 2π π π 5π x ? [? , ] 2 x ? [ ? , ] (2 x ? ) ? [ ? , ] 6 3 时, 3 3 , 6 6 6 (II)当 x??
所以当

?
6 时,函数取得最小值

f (?

?
6

) ? ?1


x?

?
6 时,函数取得最大值

f ( )? 2 6
24. (2013 北京丰台二模数学文科试题及答案) 本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为

?

A,B,C,且 2sin 2 ( B ? C) ? 3sin 2 A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.
2 【答案】解: (Ⅰ)? 2sin ( B ? C) ? 3sin 2 A.

?2sin 2 A ? 2 3 sin A cos A ,

?sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 ,

? 0 ? A ? ? ,? A ? 60 °
(Ⅱ)在 ?ABC 中, ? BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ? cos60 , BC ? 7, AC ? 5,
2 2 2 ?

-4-

? 49 ? AB2 ? 25 ? 5 AB, ? AB2 ? 5 AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3 (舍),
? S?ABC ?
25 . ( 2013

1 1 3 AB ? AC ? sin 60? ? ? 5 ? 8 ? ? 10 3 2 2 2
北 京 昌 平 二 模 数 学 文 科 试 题 及 答 案 ) 已 知 函 数

f ( x? )

3? i n x ? 2 s ? ( 2

. o ) x ?2 cx ? s

1 ,

R

(Ⅰ)求 f ( ) ;

?

2

(Ⅱ)求 f (x) 的最小正周期及单调递增区间.
【 答
2





解:(Ⅰ)? f ( x) ? 3 sin(? ? 2 x) ? 2 cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ?

?
6

)

? ? 1 ? f ( ) ? 2sin(? ? ) ? 2 ? ? 1 2 6 2 ? (Ⅱ) f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 的最小正周期 T ? ? , 6 ? ? ? ? ? 又由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z) 可得 2 6 2 6 3
函数 f (x) 的单调递增区间为 ? k? ?

? ?

?

?? , k? ? ? (k ? Z) 6 3?
3π . 4

26. (2013 届北京西城区一模文科)已知函数 f ( x) ? sin x ? a cos x 的一个零点是

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 g ( x) ? [ f ( x)] ? 2sin x ,求 g ( x) 的单调递增区间.
2 2

【答案】

(Ⅰ)解:依题意,得 f (

3π ) ? 0, 4

即 sin

3π 3π 2 2a ? a cos ? ? ? 0 , 解得 a ? 1 4 4 2 2

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin x ? cos x

g ( x) ? [ f ( x)]2 ? 2sin 2 x ? (sin x ? cos x)2 ? 2sin 2 x
? sin 2 x ? cos 2 x π ? 2 sin(2 x ? ) 4
-5-

π π π ? 2 x ? ? 2kπ ? , 2 4 2 3π π ? x ? kπ ? , k ? Z 得 kπ ? 8 8
由 2kπ ? 所以 g ( x) 的单调递增区间为 [kπ ?

3π π , kπ ? ] , k ? Z 8 8

27. (2013 北京朝阳二模数学文科试题) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且

f ( A) ? 2 cos

A A A A sin(? ? ) ? sin 2 ? cos 2 . 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值;

?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12 A A A ? 2 A ? cos 2 ? sin A ? cos A ? 2 sin( A ? ) . 【答案】(Ⅰ) f ( A) ? 2 cos sin ? sin 2 2 2 2 4 ? ? ?? 因为 0 ? A ? ? ,所以 ? ? A ? ? . 4 4 4 ? ? 3? 则所以当 A ? ? ,即 A ? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 4 2 4 ? ? (Ⅱ)由题意知 f ( A) ? 2 sin( A ? ) ? 0 ,所以 sin( A ? ) ? 0 . 4 4 ? ? ?? ? ? 又知 ? ? A ? ? ,所以 A ? ? 0 ,则 A ? . 4 4 4 4 4 ?? 7? ? 因为 C ? ,所以 A ? B ? ,则 B ? . 12 12 3 ? 6 ? sin a b a sin B 3 ?3 ? 由 得, b ? ? ? sin A sin B sin A sin 4
(Ⅱ)若 f ( A) ? 0, C ?
28. (2013 北京西城高三二模数学文科)如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与

? ? x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点 A ,且 ? ? ? , ) .将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 6 2 ? ,交单位圆于点 B .记 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) . 3 1 (Ⅰ)若 x1 ? ,求 x2 ; 3
(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S1 ,△ BOD 的面 积为 S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角 ? 的值.

-6-

【答案】

(Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 因为 ? ? ? , ) , cos ? ? 所以 sin ? ? 1 ? cos

? ? 6 2

? ) 3

1 , 3

2

??

2 2 3

所以 x2 ? cos(? ? ) ?

? 3

1 3 1? 2 6 cos ? ? sin ? ? 2 2 6
? ). 3

(Ⅱ)解:依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以 S1 ?

29. (2013 北京房山二模数学文科试题及答案)已知函数 f ( x) ? sin(? x ? ? ) (? ? 0,0 ? ? ? ?) 的最

1 1 1 x1 y1 ? cos ? ? sin ? ? sin 2? , 2 2 4 1 1 ? ? 1 2? S2 ? | x2 | y2 ? [? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) 2 2 3 3 4 3 2? ), 依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? 3 整理得 cos 2? ? 0 ? ? ? ? ? ? , 所以 ? 2? ? ? , 因为 6 2 3 ? ? 所以 2? ? , 即 ? ? 2 4 ? 1 6 2

小正周期为 ? ,且图象过点 ( , ) . (Ⅰ)求 ?,? 的值;

-7-

? (Ⅱ)设 g ( x) ? f ( x) f ( x ? ) ,求函数 g ( x) 的单调递增区间. 4
【答案】(Ⅰ)由最小正周期为 ? 可知

??

由 f( )?

?

6

1 得 2

又0 ?? ?? , (Ⅱ)由(Ⅰ)知

?
3

?

?

? 1 sin( ? ? ) ? , 3 2
3 ?? ? ? ?

2? ? 2, T

?

3

所以

?
3

?? ?

? 1 ) ? ] ? cos 2 x sin 2 x ? sin 4 x 4 2 2 ? ? k? ? k? ? ? ?x? ? (k ? Z) 解 2 k? ? ? 4 x ? 2 k? ? 得 2 2 2 8 2 8 k ? ? k? ? ? , ? ] (k ? Z) 所以函数 g ( x) 的单调增区间为 [ 2 8 2 8
所以 g ( x) ? cos 2 x ? sin[2( x ?
30. (北京市石景山区 2013 届高三一模数学文试题)已知函数 f(x)=sin(2x+

f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 2

?

5? ? ,? ? , 6 2

?

?
6

)+cos 2x.

(Ⅰ)求函数 f(x)的单调递增区间. (Ⅱ)在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 f(A)= 的面积.
【答案】

3 ? ,a=2,B= ,求△ABC 2 3

-8-

31. (2013 北京顺义二模数学文科试题及答案)已知函数

f ( x) ?

( 3 cos x ? sin x)sin 2 x 1 ? . 2cos x 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值;

?

3

(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及单调递减区间.
【 答 案 】



-9-

(Ⅰ) f ( ) ?

?

( 3 cos

?

3

? 2? 1 3 3 ? sin )sin 1 1 1 ( 3 ? 2 ? 2 )? 2 1 3 3 3 ? ? ? ? 0? ? ? 1 2 2 2 2 2cos 2? 3 2
?
2 (k ? Z )


(Ⅱ)



cos ? 0得x ? k? ?

f ( x)











? ? ? ? x ? R x ? k? ? , k ? Z ? 2 ? ?
因为 f ( x ) ?

1 ( 3 cos x ? sin x )sin 2 x 1 ? ? sin x( 3 cos x ? sin x ) ? 2 2cos x 2

?

3 1 sin 2 x ? sin 2 x ? 2 2

?

3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? 2 2 2

?

? 3 1 sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 6 2 2
2? ?? 2

所以 f ( x ) 的最小正周期为 T ?

因为函数 y ? sin x 的单调递减区间为 ? 2k? ?

? ?

?

3 ? , 2k? ? ? ? (k ? Z ) , 2 2 ?

由 2k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

3? ? , x ? k? ? ( k ? Z ) 2 2

得 k? ?

?
6

? x ? k? ?

2? ? , x ? k? ? 3 2

所以 f ( x ) 的单调递减区间为 ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

?? ?

? 2? ? ? , ? k? ? 2 , k? ? 3 ? (k ? Z ) 2? ? ?
2

32. (2013 届北京门头沟区一模文科数学)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x cos (

π - x) . 2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及值域.
【答案】解:(I)由已知,得 f ( ) ? sin

π 3

π 3

2

π π π π ? cos cos( ? ) 3 3 2 3

- 10 -

π 3 1 3 3? 3 f( )? ? ? = 3 4 2 2 4
(II) f ( x) ? sin 2 x ? cos x sin x

?

1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

?

2 π 1 sin(2 x ? ) ? 2 4 2

函数 f (x) 的最小正周期 T ? π

值域为 [

1- 2 1+ 2 , ] 2 2

33. (2013 北京东城高三二模数学文科)已知函数

f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x) .

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)当 x ? (0, ) 时,求 f ( x ) 的取值范围.
【答案】 13 分)解:(Ⅰ)因为 (共

2? 3

f ( x) ? sin x( 3 cos x ? sin x)

? 3 sin x cos x ? sin 2 x

=

1 1 ? 1 1 ? sin(2 x ? ) ? . (2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x) = ( 3 sin 2 x ? cos 2 x) ? 2 2 6 2 2
2? ? ?. ?

所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? (Ⅱ) 因为 0 ? x ?

2? ? ? 3? , 所以 ? 2 x ? ? . 3 6 6 2
3 1 , ] 2 2

所以 f ( x ) 的取值范围是 ( ?

34. 2013 北京海淀二模数学文科试题及答案) ( 已知点 D 为 Δ ABC 的边 BC 上一点.且 BD =2DC,

? ADB =750,∠ACD=30°,AD = 2 .
(I)求 CD 的长; (II)求 Δ ABC 的面积
? ? 【答案】解:(I)因为 ?ADB ? 75 ,所以 ?DAC ? 45

- 11 -

CD AD ? ? ? 在 ?ACD 中, AD ? 2 ,根据正弦定理有 sin45 sin30
(II)所以 BD ? 4 又在 ?ABD 中, ?ADB ? 75? , sin 75? ? sin(45? ? 30? ) ? 所以 S?ADB ? 所以 S?ABC ?

所以 CD ? 2

6? 2 4

1 AD ? BD ? sin75? ? 3 ? 1 2
3 3 3?3 S?ABD ? 2 2

法 2:同理,根据根据正弦定理有 而 sin105? ? sin(45? ? 60? ) ? 又 BD ? 4 , BC ? 6

AC AD ? ? sin105 sin30?
所以 AC ? 3 ? 1

6? 2 4

所以 S ?ABC ?

1 3 3?3 AC ? BC ? sin 30? ? 2 2

35 .( 2013 届 北 京 大 兴 区 一 模 文 科 ) 在

? B 中 , 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 AC

a,b,c, cos A =
(Ⅰ)求 a 的值;

π 3 , B= ,b= 4 5

2.

(Ⅱ)求 sinC 及 ? B 的面积. AC

【答案】解:(Ⅰ)因为 cos A ?

4 3 , A是?ABC 内角 ,所以 sin A ? , 5 5


由正弦定理:

a b ? sin A sin B

a 2 ? 4 π sin 5 4

得: a ?

8 5

(Ⅱ)在 ?ABC 中, sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B)

4 2 3 2 7 2 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 2 5 2 10 1 1 8 7 2 28 ? ?ABC 的面积为: s ? absin C ? ? ? 2 ? 2 2 5 10 25
36. (2013 届北京丰台区一模文科)已知函数

f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x.

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [
【答案】已知函数

? 3?
4 , 4

] 上的值域.

f ( x) ? (sin x ? cos x)2 ? 2cos2 x.

- 12 -

(Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期和单调递增区间;

? 3? (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在 [ , ] 上的值域. 4 4
2 解:(Ⅰ) f ( x) ? 1 ? sin 2 x ? 2 cos x ?

? 最小正周期 T= ? , ? 3? ](k ? Z ) , 单调增区间 [k? ? , k? ? 8 8 ? 3? ? 3? ? ? 5? ,? ? 2 x ? (Ⅱ)? ? x ? ,? ? 2 x ? ? , 4 4 2 2 4 4 4 ? 3? ? f ( x) 在 [ , ] 上的值域是 [?1, 2] 4 4
37. (2013 届房山区一模文科数学)已知函数 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? 1 .

2 sin(2 x ? ) , 4

?

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [0, ] 上的最小值和最大值.
【答案】(Ⅰ)

? 2

f ( x) ? 2 cos2 x ? 2 3 sin x cos x ? 1

? cos2x ? 3 sin 2x
1 3 ? 2( cos2 x ? sin 2 x) 2 2
? 2 sin( 2 x ?
周期为 T ?

?
6

)

2? ? ?. 2

(Ⅱ)? 0 ? x ?

?

时, sin( 2 x ? ) ? 1 此时 f ( x) max ? 2 2 6 ? 7? ? 1 时, sin( 2 x ? ) ? ? 此时 f ( x) min ? ?1 ?当 2 x ? ? 6 6 6 2

?当 2 x ?

?

6

?

?

2

?

?
6

? 2x ?

?
6

?

?

7? 6

38. (2013 届北京市延庆县一模数学文)已知 f ( x) ?

3 sin 2 x ? 2 sin 2 x .

(Ⅰ)求 f (x) 的最小正周期和单调递增区间;

x ? [0, ] 6 ,求 f (x) 的最小值及取得最小值时对应的 x 的取值. (Ⅱ)若
【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ?

?

3 sin 2 x ? cos 2 x ? 1

- 13 -

? 2 sin( 2 x ? T?

?
6

) ?1

?

2? ?? 2 ,? f (x) 最小正周期为 ? ? 2k? ? 2 x ?

?


?
2

?
6

?

?
2

? 2k?

(k ? Z ) ,得

? ?

?

2? ? ? 2k? ? 2 x ? ? 2k? 3 3 3 ? k? ? x ?

?

6

? k? [?

? f (x) 单调递增区间为

?
3

? k? ,

?
6

? k? ](k ? Z )

x ? [0, ] 2 x ? ?[ , ] 6 时, 6 6 2 , (Ⅱ)当 [0, ] ? f (x) 在区间 6 单调递增,

?

?

? ?

?

?[ f ( x)]min ? f (0) ? 0 ,对应的 x 的取值为 0
39 .( 北 京 市 朝 阳 区 2013 届 高 三 第 一 次 综 合 练 习 文 科 数 学 ) 已 知 函 数

f ( x) ?

3 ?x 1 sin ? x ? sin 2 ? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? . 2 2 2

(Ⅰ)求 ? 的值及函数 f ( x) 的单调递增区间; (Ⅱ)当 x ? [0, ] 时,求函数 f ( x) 的取值范围.

? 2

【答案】解:(Ⅰ) f ( x) ?

3 1 ? cos ? x 1 sin ? x ? ? 2 2 2

?

3 1 sin ? x ? cos ? x 2 2

? ? sin(? x ? ) 6
因为 f ( x) 最小正周期为 ? ,所以 ? ? 2

- 14 -

于是 f ( x) ? sin(2 x ? 由 2k ? ?

? ? ? ? ? ? 2 x ? ? 2k ? ? , k ? Z ,得 k ? ? ? x ? k ? ? . 2 6 2 3 6 ? ? 所以 f ( x) 的单调递增区间为[ k ? ? , k ? ? ], k ? Z 3 6 ? ? ? 7? (Ⅱ)因为 x ? [0, ] ,所以 2 x ? ? [ , ], 2 6 6 6 1 ? 则 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 2 6 ? 1 所以 f ( x) 在 [0, ] 上的取值范围是[ ? ,1 ]. 2 2 40. 2013 届北京东城区一模数学文科) ( 在△ ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,
且 b sin A ? 3a cos B . (Ⅰ)求角 B ; (Ⅱ)若 b ? 2 3 ,求 ac 的最大值.
【答案】(共 13 分)

? ). 6

解:(Ⅰ)因为 b sin A ? 3a cos B , 由正弦定理可得 sin B sin A ? 3 sin A cos B , 因为在△ ABC 中, sin A ? 0 , 所以 tan B ? 3 . 又0 ? B ? ? , 所以 B ?

? . 3
2 2 2

(Ⅱ)由余弦定理 b ? a ? c ? 2ac cos B , 因为 B ?

? ,b ? 2 3 , 3
2 2

所以 12 ? a ? c ? ac . 因为 a ? c ? 2ac ,
2 2

所以 ac ? 12 . 当且仅当 a ? c ? 2 3 时, ac 取得最大值 12 .

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