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鼓楼高二数学期中考试(文科)20160425


高二数学(文科)
参考公式:

1 样本数据 x1,x2,…,xn 的方差:s = n
2

n -)2 ,其中 x -=1 x . (xi-x n? i i=1 i=1

?

n

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答卷纸相应位 ...... 置上 . .. 1.已知复数 z=1+2i,则复数 1 在复平面内对应的点位于第 z ▲ 象限.

2.某班有 52 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知编号分别为 6,32, 45 的同学都在样本中,那么样本中另一位同学的编号是 ▲ . 3.交通部门对某段公路上汽车的速度实施监控,并从速度在 50~90 km/h 的汽车中抽取 150 辆进行分析, 得到数据的频率分布直方图如图所示, 则速度在 70 km/h 以下的汽车有 ▲ 辆.
频率 组距 0.04 0.03 0.02 0.01 50 60 70 80 90 速度(km/h)

1 2

4779 01

S←0 For I From 1 To 7 step 2 S←S + I End For Print S
(第 5 题)

(第 3 题)

(第 4 题)

4 .已知如图是一位篮球运动员在 6 场比赛中得分的茎叶图,那么该组数据的方差为 ▲ . ▲ .

5.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 为

6.某教师出了一份三道题的测试卷,每道题 1 分,全班得 3 分、2 分、1 分和 0 分的学生所 占比例分别为 30%、50%、10%和 10%,则全班学生的平均分为 ▲ 分.

7.某人射击 1 次,命中 8~10 环的概率如下表所示: 命中环数 概 率 10 环 0.12 9环 0.18 ▲ . ▲ .
1

8环 0.28

则他射击 1 次,至少命中 9 环的概率为

8.在区间[-1,2]上随机取一个实数 x,则 x∈[0,1]的概率为

9. 执行如图所示的伪代码, 当输入 a, b 的值分别为 1, 3 时, 最后输出的 a 的值为





开始

Read a, b i ?1 While i ? 2 a ? a?b b ? a ?b i ? i ?1 End While Print a

S ←1 I← 2 I Y S ← S×I 结束 I ← I+2 N N

输入 x x<0 Y

y ←2x +1 输出 S

y ←-(x?1)2

输出 y 结束

(第 9 题)

(第 10 题)

(第 11 题)

10.为了计算 2×4×6×8×10 的值,小明同学设计了一个正确的算法,流程图如图所示, 只是判断框(菱形框)中的内容看不清了,那么判断框中的内容可以是 ▲ . 11.根据如图所示的流程图,若输入值 x?[0,3],则输出值 y 的取值范围是 ▲ . π 12. 已知函数 f0(x)= cosx, f1(x)=f0′(x), f2(x)=f1′(x), …, fn+1(x)=fn′(x), …, 其中 n∈N, 则 f19( )= 3 ▲ . 13.对于非零实数 a,b,c,以下四个命题都成立: ①(a+b)2=a2+2a?b+b2; ②若 a?b=a?c,则 b=c; ③(a+b)?c=a?c+ b?c; ④(a?b)?c=a?(b?c); 那么类比于此,对于非零向量 a , b , c ,相应命题仍然成立的所有序号是 ▲ . 1 14. 设函数f(x) = x , 类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法, 可求得f(-2015)+ 2+ 2 f(-2014)+ f(-2013)+…+ f(2014)+f(2015)+ f(2016)的值为 ▲ .
→ → →

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答卷纸指定区域内作答,解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知复数 z1 满足 z1· i=1+i (i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2. (1)求 z1; (2)复数 z1z2 是纯虚数时,比较|z1|与|z2|的大小. 16. 某高校从参加自主招生考试的学生中随机抽取容量为 100 的学生成绩样本, 得到频率分 布表如下:
2

组号 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 合

分组

频数 24 16 ① 20 10 100

频率 0.24 ② 0.3 0.20 0.10 1.00

? 235, 240 ? ? 240, 245? ? 245, 250 ?
? 250, 255?

? 255, 260?


(1)上表中①②位置的数据分别是多少? (2)为了更多了解第三组、第四组、第五组的学生情况,该高校决定在这三个组中用分 层抽样法抽取 6 名学生进行考察,这三个组参加考核的人数分别是多少? 17. (本题满分 14 分) (1)不透明的袋子中装有除颜色外其它都相同的 4 只球,其中 1 只白球,1 只红球,2 只 黄球,从中一次随机摸出 2 只球,求这 2 只球颜色不同的概率; (2)已知关于 x 的一元二次方程 x2-2bx+c2=0,其中 b 是从 0、1、2、3 四个数中随机 取出的一个数,c 是从 0、1、2 三个数中随机取出的一个数,求这个方程没有实根的概 率. * 18.已知数列{an}满足 a1=3,an+1· an-2· an+1=0 (n∈N ). (1)求 1 1 1 , , 的值; a2-1 a3-1 a4-1

(2)求{an}的通项公式. x2 y2 6 19.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,且过点 A(0,1), a b 3 (1)求椭圆的方程; (2)过点 A 作两条相互垂直的直线,分别交椭圆于点 M,N(M,N 不与点 A 重合) .直 线 MN 是否过定点?若过定点,则求出定点坐标;若不过定点,则请说明理由. 20.已知函数 f(x)= lnx . x

(1)当 e≤x≤e2 时,求函数 f(x)的最小值; ax(x-1) (2)已知函数 g(x)=2x- ,且 f(x)g(x)≤0 恒成立,求实数 a 的值; ln x (3)某同学发现:存在正实数 m、n(m<n),使 mn=nm,试问:他的发现是否正确?若不正 确,则请说明理由;若正确,则请直接写出 m 的取值范围,而不需要解答过程.

3

高二数学(文科)参考答案和评分标准
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 32 1 1.四 2.19 3.75 4. 5.16 6.2 7.0.3 8. 5 3 9.5 3 2 13.①③

10.I≤10 或 I<11 或 I≤11 或 I<12 或 I<10.5,等 11.[1,7] 12. 14.1008 2 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.

15.(1)1-i;……………………………………………………………………………………6 分 (2) z2=-2+i,…………………………………………………………………………10 分 |z1|= 2, |z2|=2 2,……………………………………………………………………………12 分 |z1|<|z2|.…………………………………………………………………………14 分 16.(1)100-(16+24+20+10)=30 或 100× 0.3=30,………………………………………3 分 1-(0.24+0.3+0.20+0.10)=0.16 或 16÷ 100=0.16;…………………………………6 分 (没有任何过程,最多得 4 分) 6 (2) =0.1,………………………………………………………………………………8 分 60 30×0.1=3,所以第三组参加考核的人数是 3;………………………………………10 分 类似地,第四组,第五组参加考核的人数分别是 2,1.……………………………14 分 17.(1)设事件 A 为“这 2 只球颜色不同”; -----……………………-----------------1 分 基本事件共 6 个:(白,红),(白,黄 1),(白,黄 2),(红,黄 1),(红,黄 2),(黄 1, 黄 2), 事件 A 包含 5 个基本事件(白,红),(白,黄 1),(白,黄 2),(红,黄 1),(红,黄 2),----4 分 因为每个基本事件发生的可能性都相同, 5 所以,事件 A 发生的概率 P(A)= . 6 ----------------------5 分 ----------------------7 分

(2)设事件 B 为“方程 x2-2bx+c2=0 无实根”; ------------------……………---8 分 当 Δ=4b2-4c2=4(b2-c2)<0,即 b<c 时,方程 x2-2bx+c2=0 无实根. 基本事件共 12 个:(0,0),(0,1),(0,2),(1,0) ,(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0), (3,1),(3,2).其中第一个数表示 b 的取值,第二个数表示 c 的取值.--…………--4 分 事件 B 包含 3 个基本事件(0,1),(0,2),(1,2),--…………………………………---11 分 因为每个基本事件发生的可能性都相同, 3 1 所以事件 B 发生的概率 P(A)= = . 12 4 ----------------------12 分 ----------------------14 分
4

(第(1)小题,有一点过程且结果正确,得 7 分;第(2)小题,至少交待清楚三个数据 12, 1 3 和 的由来才能得 7 分) 4 1 18.(1)由 an+1an=2· an-1 得 an+1=2- ,…………………………………………………2 分 an 代入 a1=3,n 依次取值 2,3,4,得 1 3 1 5 1 7 = , = , = ,………………………………………………………6 分 a2-1 2 a3-1 2 a4-1 2 1 (2)猜想:{ }是等差数列. an-1 证明:由 an+1· an=2· an-1 变形,得 (an+1-1)· (an-1)=-(an+1-1)+(an-1), 即 1 1 * - =1 在 n∈N 时恒成立, an+1-1 an-1

1 所以{ }是等差数列.………………………………………………………………12 分 an-1 由 1 1 1 1 = ,所以 = +n-1, a1-1 2 an-1 2

2 变形得 an-1= ,…………………………………………………………………14 分 2n-1 2n+1 所以 an= 为数列{an}的一个通项公式.…………………………………………16 分 2n-1 19.(1) x2 +y? =1;……………………………………………………………………………4 分 3

(2)解法一 因为 M,N 不与点 B 重合,所以直线 AM 的斜率存在,且不为零.………………5 分 1 设 AM 的斜率为 k,则 AN 的斜率为- . k 直线 AM 方程:y=kx+1, 1 直线 AN 方程:y=- x+1. k 将 AM 方程代入椭圆,整理:(3k? +1)x? +6kx=0.………………………………………7 分 1-3k? 6k 则点 M 横坐标 xM=- ,纵坐标 yM= .……………………………………9 分 3k? +1 3k? +1 k? -3 1 6k 用- 替换 k 可得点 N 横坐标 xN= ,纵坐标 yN= .…………………………12 分 k k? +3 k? +3 直线 MN 方程: y= k? -1 1 x- .……………………………………………………15 分 4k 2 1 ).………………………………………………………16 分 2
5

由此,可知,过定点(0,-

解法二 设直线 MN 方程为 y=kx+ m, 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 1 可得 m=- . 2 1-ln x 20.(1) f(x)定义域为 (0 , +∞) , f ′ (x)= . x2 1-ln x 令 f ' (x)= =0,则 x =e . x2 列表如下: x f ' (x) f(x) (0 , e) + ↗ e 0 1 e (e , +∞)




所以 f(x)在区间 (e , +∞) 上单调减. 2 2 -2 当 e≤x≤e 时,函数 f(x)单调减,所以,函数 f(x)的最小值为 f(e ) =2e .…4 分 (2)f(x) g(x)≤0 恒成立,即 2ln x-ax+a≤0 在 x>0 时恒成立. 2-ax 令 h(x) = f(x) g(x),则 h′(x)= ,x>0. x 若 a≤0,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 2 若 a>0,当 x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)单调递增; a 2 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ………………………………………6 分 a 所以,若 a≤0,则 f(x)在(0,+∞)上单调递增,又 f(1)=0,故 f(x)≤0 不恒成立. ……………………………………………………………………………………………8 分 2 若 a>2,则当 x∈( ,1)时,f(x)单调递减,f(x)>f(1)=0,不合题意,………………10 分 a 2 若 0<a<2,则当 x∈(1, )时,f(x)单调递增,f(x)>f(1)=0,不合题意,……………12 分 a 若 a=2,f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,f(x)≤f(1)=0 符合题意. 故 a=2.…………………………………………………………………………………14 分 (3)正确, m 的取值范围是 1 < m< e .………………………………………… 16 分 理由如下,研究函数图像, f(x)在 (0 , e) 上单调递增,在 (e , +∞) 上单调递减. 又∵当 x →+∞ 时,f( x )→0 .∴总存在正实数 m,n 且 1 < m< e < n,使得 f ( m)= f ( n) , 即 lnm lnn = ,即 mn=nm. m n

6



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