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高中数学几种排列组合综合问题的解法


几种排列组合综合问题的解法

1.排列的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,按照一定的 顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m 个元素的一个排列. 2.组合的定义:从n个不同元素中,任取m个元素,并成一组, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个 组合.
m 3.排列数公式: An ? n(n ? 1)(n ? 2) ?(n ? m ? 1)

n! ? (n ? m)! m An n( n ? 1)(n ? 2) ? ( n ? m ? 1) m C ? ? 4.组合数公式: n m m! Am

n! ? m!( n ? m)!

排列与组合的区别与联系:与顺序有关的 2018/5/24 为排列问题 ,与顺序无关的为组合问题.

2

1.插空法: 解决一些不相邻问题时,可以先排“一 般”元素然后插入“特殊”元素,使问题得以 解决. ♀ ♀ ♀ ♀ ♀♀ ♀ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ↑
例1 . 7人排成一排.甲、乙两人不相邻,有多少种不同的排法? 解:分两步进行: 第1步,把除甲乙外的一般人排列: 有A5 =120种排法 第2步,将甲乙分别插入到不同的间隙或两端中(插空):
5

有A =30种插入法
?共有120 ? 30=3600种排法
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2 6

几个元素不能相邻 时,先排一般元素, 再让特殊元素插空.
3

变 学校组织老师学生一起看电影,同一排电影票12张。 8个学生,4个老师,要求老师在学生之间,且老师互不 相邻,共有多少种不同的坐法?

分析 此题涉及到的是不相邻问题,并且是对老师有特殊 的要求,因此老师是特殊元素,在解决时就要特殊对待. 所涉及问题是排列问题. 8 A 解 先排学生共有 8 种排法,然后把老师插入学生 之间的空档,共有7个空档可插,选其中的4个空档,共 4 8 4 有 A7 种选法.根据乘法原理,共有的不同坐法为 A8 A7 种. 结论1 插空法:对于某两个元素或者几个元素要求不 相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的 元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素 2018/5/24 4 的空档之中即可 .

2.捆绑法 相邻元素的排列,可以采用“局部到整体”的 排法,即将相邻的元素局部排列当成“一个”元素, 然后再进行整体排列.
例2 . 6人排成一排.甲、乙两人必须相邻,有多少种不的排法? 解:(1)分两步进行: 第一步,把甲乙排列(捆绑): ♀♀♀♀♀♀ 甲乙 2

有A2=2种捆法

第二步,甲乙两个人的梱看作一个元素与其它的排队:

有A =120种排法
?共有2 ?120=240种排法
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5 5

几个元素必须相邻时,先 捆绑成一个元素,再与 其它的进行排列.
5

变 5个男生3个女生排成一排,3个女生要排在一起, 有多少种不同的排法? 分析 此题涉及到的是排队问题,对于女生有特殊的限 制,因此,女生是特殊元素,并且要求她们要相邻,因此 可以将她们看成是一个元素来解决问题. 解 因为女生要排在一起,所以可以将3个女生看成是 6 A 一个人,与5个男生作全排列,有 6 种排法,其中女生内 3 6 3 部也有A3种排法,根据乘法原理,共有A6 种不同的排 A3 法.

结论2 捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问 题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合 并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意 合并元素内部也可以作排列.
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3.除法消序法(留空法) 几个元素顺序一定的排列问题,一般是先排列,再 消去这几个元素的顺序.或者,先让其它元素选取位置 排列,留下来的空位置自然就是顺序一定的了. 例4. 5个人站成一排,甲总站在乙的右侧的有多少 种站法? 5 种站法, 解法1:将5个人依次站成一排,有 A5 2 5 然后再消去甲乙之间的顺序数 A2 A5 3 ? 5 ? 4 ? 3 ? A 5 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A2 2 解法2:先让甲乙之外的三人从5个位置选出3个站好, 3 有 A5 种站法,留下的两个位置自然给甲乙有1种站法 3 3 ∴甲总站在乙的右侧的有站法总数为 A5 ?1 ? A5
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变式:如下图所示,有5 B 横8竖构成的方格图,从 A到B只能上行或右行 共有多少条不同的路线? 也可以看作是 1,2,3,4,5,6,7,①,②,③, B A ④顺序一定的排列, 将一条路经抽象为如下的一个 11 A11 有 排法(5-1)+(8-1)=11格:
A 种排法 . 其中必有四个↑和七个→组成! 所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经, 5?1 4 所以从A到B共有 C(5?1)?(8?1) ? C11 条不同的路径.
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解: 如图所示

4 7 A4 ? A7

→ ↑ → ↑ ↑ → → → ↑ → → 1 ① 2 ② ③ 3 4 5 ④ 6 7

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4. 隔板法: n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 例4. 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选手 名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班至少一个 名额,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于把16个相同小球放入4个盒子里, 每个盒子至少有一个小球的放法种数问题. 3 将16个小球串成一串,截为4段有 C15 ? 455 种截断法,对应放到4个盒子里. 因此,不同的分配方案共有455种 .
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n个 相同小球放入m(m≤n)个盒子里,要求每个 盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选m-1个结点剪截成m段. 变式: 某校准备参加今年高中数学联赛,把16个选 手名额分配到高三年级的1-4 个教学班,每班的名额 不少于该班的序号数,则不同的分配方案共有___种. 解: 问题等价于先给2班1个,3班2个,4班3个, 再把余下的10个相同小球放入4个盒子里,每个盒子 至少有一个小球的放法种数问题. 3 将10个小球串成一串,截为4段有 C9 ? 84 种截断法,对应放到4个盒子里. 因此,不同的分配方案共有84种 .
2018/5/24 10

变: 在高二年级中的8个班,组织一个12个人的年级学 生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析 此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果 我们将其转换为等价的其他问题,就会显得比较清楚, 方法简单,结果容易理解. 解 此题可以转化为:将12个相同的白球分成8份,有多 少种不同的分法问题,因此须把这12个白球排成一排, 在11个空档中放上7个相同的黑球,每个空档最多放一 7 C11 个,即可将白球分成8份,显然有 种不同的放法,所以 7 名额分配方案有 C11 种. 结论3 隔板转化模型法:对于某些较复杂的、或较抽 象的排列组合问题,可以利用转化思想,将其化归为简 单的、具体的问题来求解 . 2018/5/24 11

?5.另两种转化模型 法

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例5(1) 袋中有不同的5分硬币23个,不同的1角硬 币10个,如果从袋中取出2元钱,有多少种取法? 分析 此题是一个组合问题,若是直接考虑取钱的问题 的话,情况比较多,也显得比较凌乱,难以理出头绪来. 但是如果根据组合数性质考虑剩余问题的话,就会很 容易解决问题. 解 把所有的硬币全部取出来,将得到 0.05×23+0.10×10=2.15元,所以比2元多0.15元,所 以剩下0.15元即剩下3个5分或1个5分与1个1角,所以 3 1 1 C ? C ? C 共有 23 23 10 种取法. 结论4 剩余法:在组合问题中,有多少取法,就有多少 种剩法,他们是一一对应的,因此,当求取法困难时,可 转化为求剩法.
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例5(2) 期中安排考试科目9门,语文要在数学之前 考,有多少种不同的安排顺序? 分析 对于任何一个排列问题,就其中的两个元素来讲 的话,他们的排列顺序只有两种情况,并且在整个排列 中,他们出现的机会是均等的,因此要求其中的某一种 情况,能够得到全体,那么问题就可以解决了.并且也避 免了问题的复杂性. 9 种,“语文安排 解 不加任何限制条件,整个排法有 A9 在数学之前考”,与“数学安排在语文之前考”的排法 1 9 A9 是相等的,所以语文安排在数学之前考的排法共有 2 种 . 5 对等法:在有些题目中,它的限制条件的肯定与 结论
否定是对等的,各占全体的二分之一.在求解中只要求 出全体,就可以得到所求.
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6.剔除法 从总体中排除不符合条件的方法数,这是一 种间接解题的方法.
排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面 解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解 答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.

例6. 从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直 线方程Ax+By+C=0中的A、B、C,所得的经过坐标 原点的直线有_________条. 解:所有这样的直线共有

A ? 210 条, 1 2 其中不过原点的直线有 A6 ? A6 ? 180 条,
3 7
15

∴所得的经过坐标原点的直线有210-180=30条.
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变: 某班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、 团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
分析 此题若是直接去考虑的话,就要将问题分成好几 种情况,这样解题的话,容易造成各种情况遗漏或者重 复的情况.而如果从此问题相反的方面去考虑的话,不 但容易理解,而且在计算中也是非常的简便.这样就可 以简化计算过程. 5 C 解 43人中任抽5人的方法有 43 种,正副班长,团支部 5 书记都不在内的抽法有C40 种,所以正副班长,团支部书 5 5 记至少有1人在内的抽法有 C43 ? C40 种. 结论6 排除法:有些问题,正面直接考虑比较复杂,而它 的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中 排除.
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? ? ? ? ?

互斥分类--分类法 先后有序--位置法 反面明了--排除法 相邻排列--捆绑法 分隔排列--插空法

? 。。。。。。。。。。。

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小结:
本节课我们学习了解决排列组合应用题的一些解 题技巧,具体有插入法,捆绑法,转化法,剩余法,对等法, 排异法;对于不同的题目,根据它们的条件,我们就可以 选取不同的技巧来解决问题.对于一些比较复杂的问题, 我们可以将几种技巧结合起来应用,便于我们迅速准确 地解题.在这些技巧中所涉及到的数学思想方法,例如: 分类讨论思想,变换思想,特殊化思想等等,要在应用中 注意掌握.

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分组(堆)问题 分组(堆)问题的六个模型:①无序不等分; ②无序等分;③无序局部等分;(④有序不等分; ⑤有序等分;⑥有序局部等分.) 处理问题的原则: ①若干个不同的元素“等分”为 m个堆,要将 选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ②若干个不同的元素局部“等分”有 m个均等堆, 要将选取出每一个堆的组合数的乘积除以m! ③非均分堆问题,只要按比例取出分完再用乘 法原理作积. ④要明确堆的顺序时,必须先分堆后再把堆数当 作元素个数作全排列.
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分组(堆)问题 有四项不同的工程,要发包给三个工程队,要求每 个工程队至少要得到一项工程. 共有多少种不同的发 包方式? 解:要完成发包这件事,可以分为两个步骤: ⑴先将四项工程分为三“堆”,有
2 1 1 C4 C2C1 ?6 2 A2

种分法;

⑵再将分好的三“堆”依次给三个工程队, 有3!=6种给法. ∴共有6×6=36种不同的发包方式.
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? 练习: 有12个人,按照下列要求分配,求不同的分法种 数. (1)分为两组,一组7人,一组5人; (2)分为甲、乙两组,甲组7人,乙组5人; (3)分为甲、乙两组,一组7人,一组5人; (4)分为甲、乙两组,每组6人; (5)分为两组,每组6人; (6)分为三组,一组5人,一组4人,一组3人; (7)分为甲、乙、丙三组,甲组5人,乙组4人,丙组3人; (8)分为甲、乙、丙三组,一组5人,一组4人,一组3人; (9)分为甲、乙、丙三组,每组4人; (10)分为三组,每组4人.

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巩固练习
1.将 3 封不同的信投入 4 个不同的邮筒, 则不同的投法 的种数是( B )
4 3 A.

B. 4

3

C. A

3 4

D. C

3 4

2. 从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4 种蔬菜品种中选出 3 种, 分别种在不同土质的三块地上, 其中黄瓜必须种 植,不同的种植方法共有( B ) A.24 种 B.18 种 C.12 种 D.6 种

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巩固练习
3. 12 名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调 查,若每个路口 4 人,则不同的分配方案共有( A ) A. C C C
4 12 4 8 4 12 4 8 4 4种

B.3 C C C

4 12

4 8

4 4种

C. C C A

3 3种

4 4 C12 C84 C4 D. 种 3 A3

4. 5个人排成一排,其中甲、乙不相邻的排法种数是 (C ) A.6 B.12 C.72 D.144
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