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【志鸿优化设计—赢在高考】2014届高考一轮复习数学(人教A版·理)【配套训练】第九章 平面解析几何9.9


第9讲

直线与圆锥曲线的位置关系

基础巩固 1.AB 为过椭圆=1 中心的弦,F(c,0)为该椭圆的焦点,则△FAB 的最大面积为( A.b2 B.ab 【答案】D C.ac D.bc )

【解析】设 A,B 两点的坐标为(x1,y1),(-x1, -y1),则 S△FAB=|OF||2y1|=c|y1|≤bc. 2.过双曲线 x2-y2=4 上任一点 M 作它的一条渐近线的垂线段,垂足为 N,O 是坐标原点,则△OMN 的面积是( A.1 B.2 【答案】A S△OMN=1. 3.双曲线 x2-y2=1 的左焦点为 F,点 P 为其左支下半支上任意一点(异于顶点),则直线 PF 的斜率的变化范围是 ( ) A.(-∞,0) B.(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-∞,0)∪(1,+∞) C.3 D.不确定 )

【解析】过双曲线上任一点 M(x0,y0)作渐近线 y=±x 的垂线,垂足分别为 N,N'.|MN|·|MN'|=·=2,故

【答案】C 【解析】数形结合法,与渐近线斜率比较.可得答案为 C. 4.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,而且被直线 2x-y+1=0 所截得的弦长等于,则抛物线的方程是( A.y2=-12x 或 y2=4x B.y2=-4x 或 y2=12x C.y2=-10x 或 y2=4x D.y2=-6x 或 y2=10x 【答案】B 【解析】设所求抛物线为 y2=ax(a∈R 且 a ≠0), 由得 2y2-ay+a=0.若弦两端点纵坐标分别为 y1 和 y2,则|y1-y2|=. 于是弦长=,解得 a=12 或 a=-4. 5.已知椭圆=1,若在此椭圆上存在不同的两点 A,B 关于直线 y=4x+m 对称,则实数 m 的取值范围是( A. C. B. D. ) )

【答案】B 【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),AB 的中点为 M(x,y),由题意知 kAB==,x1+x2=2x,y1+y2=2y,3+4=12①,3+4=12②.①②两式相减得 3()+4()=0,即 y1+y2=3(x1+x2),即 y=3x,与 y=4x+m 联立得 x=-m,y=-3m,而 M(x,y)在椭圆的内部,则<1,即-<m<. 6.设 F1,F2 为椭圆+y2=1 的左 、右焦点,过椭圆中心任作一直线与椭圆交于 P,Q 两点,当四边形 PF1QF2 的面积 最大时,的值等于( A.0 B.2 【答案】D C.4 ) D.-2

【解析】易知当 P,Q 分别在椭圆短轴端点时,四边形 PF1QF2 的面积最大. 此时,F1(-,0),F2(,0),P(0,1), 则=(-,-1),=(,-1). 故·=-2. 7.当 x>1 时,直线 y=ax-a 恒在抛物线 y=x2 的下方,则 a 的取值范围是 【答案】(-∞,4) 【解析】由题意联立整理可得 x2-ax+a=0,由 Δ =a2-4a=0,解得 a=0 或 a=4,此时直线与抛物线相切,因为直线 横过定点(1,0),结合图形可知当 a∈(-∞,4),x>1 时直线 y=ax-a 恒在抛物线 y=x2 的下方. .

8.已知直线 l 与椭圆 x2+2y2=2 交于 P1,P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P,设直线 l 的斜率为 k1(k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值等于 . 【答案】 【解析】设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则 P,k2=,k1=,k1k2=. 由相减得=-). 故 k1k2=-. 9.过抛物线 x2=2py(p>0)的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A,B 两点,A,B 在 x 轴上的正射影分别为 D,C.若梯形 ABCD 的面积为 12,则 p= . 【答案】2 【解析】抛物线的焦点为,设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y-=x,即 y=x+. 联立消去 y,得 x2-2px-p2=0. ∴x1=(1+)p,x2=(1-)p. ∴y1+y2=x1++x2+=2p+p=3p,|CD|=|x1-x2|=2p. 由 S 梯形 ABCD=(|AD|+|BC|)·CD=×3p×2p=12, 解得 p2=4,∴p=±2. ∵p>0,∴p=2. 10.已知双曲线方程:x2-=1,则以 A(2,1)为中点的弦所在直线 l 的方程是 【答案】6x-y-11=0 【解析】设 l 与双曲线交于 P(x1,y1)和 Q(x2,y2), 则 ②-①,得(x2+x1)(x2-x1)-(y2+y1)(y2-y1)=0, 而 x1+x2=4,y1+y2=2, ∴4(x2-x1)-(y2-y1)=0. ∴=6,即 kl=6. ∵点 A(2,1)在双曲线的内部, ∴直 线 l 的方程为 y-1=6(x-2),即 6x-y-11=0. 11.已知点 A(0,2)和抛物线 C:y2=6x,求过点 A 且与抛物线 C 相切的直线 l 的方程. 【解】设直线 l 的方程为 y=kx+2 ,这个方程与抛物线 C 的方程 联立,得方程组 当 k=0 时,由方 程组得 6x=4,x=,可知此时直线 l 与抛物线相交于点. 当 k≠0 时,由方程组消去 x,得方程 ky2-6y+12=0.(*) 关于 y 的二次方程(*)的判别式 Δ =36-48k.由 Δ =0,得 k=,可知此时直线 l 与抛物线 C 有一个公共点,即它们 相切.直线 l 的方程为 3x-4y+8=0. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 就是 y 轴,其方程为 x=0. 所以,直线 l 的方程为 3x-4y+8=0,或 x=0. 12.已知椭圆=1(a>b>0)的一个焦点在直线 l:x=1 上,其离心率 e=.设 P,Q 为椭圆上不同的两点,且弦 PQ 的中点 T 在直线 l 上,点 R. (1)求椭圆的方程; (2)试证:对于所有满足条件的 P,Q,恒有|RP|=|RQ|. 【解】(1)椭圆的一个焦点在直线 l:x=1 上,所以 c=1. 又因为离心率 e=,即,所以 a=2,从而 b2=3. 所以椭圆的方程为=1. (2)证明:设 T(1,y0),P(x1,y1),Q(x2,y2), 则=(x2-x1,y2-y1), ·(x2-x1)+y0(y2-y1). 又因为 P,Q 都在椭圆=1 上, 所以=1,=1,两式相减得 .

(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0, 因为点 T 是 PQ 的中点,所以 x1+x2=2,y1+y2=2y0, 于是(x1-x2)+y0(y1-y2)=0, 所以(x1-x2)+y0(y1-y2)=0, 即·=0,所以,即 RT 是线段 PQ 的垂直平分线,所以恒有|RP|=|RQ|. 13.已知椭圆 C1:=1(a>b>0)的右顶点为 A(1,0),过 C1 的 焦点且垂直长轴的弦长为 1. (1)求椭圆 C1 的方程. (2)设点 P 在抛物线 C2:y=x2+h(h∈R)上,C 2 在点 P 处的切线与 C1 交 于点 M,N.当线段 AP 的中点与 MN 的中点 的横坐标相等时,求 h 的最小值. 【解】(1)由题意,得 从而 因此,所求的椭圆方程为+x2=1. (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),P(t,t2+h), 则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y'|x=t=2t, 直线 MN 的方程为 y=2tx-t2+h. 将上式代入椭圆 C1 的方程中,得 4x2+(2tx-t2+h)2-4=0, 即 4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0.① 因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点, 所以①式中的 Δ 1=16[-t4+2(h+2)t2-h2+4]>0.② 设线段 MN 的中点的横坐标是 x3,则 x3=. 设线段 PA 的中点的横坐标是 x4,则 x4=. 由题意,得 x3=x4, 即 t2+(1+h)t+1=0.③ 由③式中的 Δ 2=(1+h)2-4≥0,得 h≥1,或 h≤-3. 当 h≤-3 时,h+2<0,4-h2<0, 则不等式②不成立,所以 h≥1. 当 h=1 时,代入方程③得 t=-1, 将 h=1,t=-1 代入不等式②,检验成立. 所以,h 的最小值为 1. 拓展延伸 14.(2012·辽宁卷,20)如图,动圆 C1:x2+y2=t2,1<t<3,与椭圆 C2:+y2=1 相交于 A,B,C,D 四点,点 A1,A2 分别 为 C2 的左、右顶点. (1)当 t 为何值时,矩形 ABCD 的面积取得最大值?并求出其最大面积; (2)求直线 AA1 与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程. 【解】(1)设 A(x0,y0),则矩形 ABCD 的面积 S=4|x0||y0|. 由=1 得=1-,从而 =-. 当时,Smax=6.从而 t=时,矩形 ABCD 的面积最大,最大面积为 6. (2)由 A(x0,y0),B(x0,-y0),A1(-3,0),A2(3,0)知 直线 AA1 的方程为 y=(x+3),① 直线 A2B 的方程为 y=(x-3),② 由①②得

y2=(x2-9).③ 又点 A(x0,y0)在椭圆 C 上,故 =1-.④ 将④代入③得-y2=1(x<-3,y<0). 因此点 M 的轨迹方程为 -y2=1(x<-3,y<0).



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