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2013届高考理科数学第一轮复习测试题4


A级

基础达标演练

(时间:40 分钟 满分:60 分)

一、选择题( 每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 全国新课标)复数 2+i 的共轭复数是( 1-2i ).

3 3 A.- i B. i C.-i D.i 5 5 解析 2+i i?-2i+1? 2+i = =i,∴ 的共轭复数为-i. 1-2i 1-2i 1-2i

答案 C i-2 2. (2011· 北京)复数 =( 1+2i A.i 4 3 C.- - i 5 5 解析 因为 答案 A i 3.复数 z= 在复平面上对应的点位于( 1+i A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 ). B.-i 4 3 D.- + i 5 5 i-2 ?i-2??1-2i? 5i = = =i,故选择 A. 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 ).

i?1-i? i 1 1 解析 z= = = + i. 1+i ?1+i??1-i? 2 2 答案 A a+2i 4.已知 =b+i(a,b∈R),则 a+b=( i A.-1 B.1 C.2 D.3 a+2i 解析 由 =b+i.得:a+2i=-1+bi,利用复数相等知:a=-1,b=2.∴a+b=-1+ i 2=1 . 答案 B 5. (2011· 浙江)把复数 z 的共轭复数记作 z , 为虚数单位. z=1+i, i 若 则(1+z)·z =( ). ).

A.3-i C.1+3i

B.3+i D.3

解析 (1+z)·z =(2+i)(1-i)=3-i. 答案 A 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6.(2011· 江苏)设复数 z 满足 i(z+1)=-3+2i,则 z 的实部是________. -3+2i 解析 由 i(z+1)=-3+2i,得 z +1= =2+ 3i,即 z=1+3i. i 答案 1 7.复数(1+i)2 012=________. 解析 (1+i)2 012=(2i)1 006=21 006· 006=21 006· i1 (-1)=-21 006. 答案 -21 006 1-i a 8.(2011· 济南一模)已知 a∈R,复数 + 是纯虚数,则 a=________. 2 1-i 解析 1-i a?1+i? 1-i a ai 1 i 1 a 1 + == + = + + - = (a+1)+ (a-1)i,∴a+1=0,a- 2 2 2 2 2 2 2 2 1-i ?1-i??1+i?

1≠0,∴a=-1. 答案 -1 三、解答题(共 23 分) 9.(11 分)已知复数 z=m(m-1)+(m2+2m-3)i;当实数 m 取什么值时,复数 z是: (1)零;(2)纯虚数.
?m?m-1?=0, ? 解 ( 1)由? 2 得 m=1,即当 m=1 时,z=0. ? ?m +2m-3=0, ? ?m?m-1?=0, (2)由? 2 得 m=0.即当 m=0 时,z 是纯虚数. ?m +2m-3≠0, ?

10.(12 分)如图所示,平行四边形 OABC,顶点 O,A,C 分别表示:0,3+2i,-2+4i,试 求:

→ → (1)AO、BC所表示的复数; → (2)对角线CA所表示的复数; (3)求 B 点对应的复数.

→ → → 解 (1)AO=-OA,∴AO所表示的复数为-3-2i. → → → ∵BC=AO,∴BC所表示的复数为-3-2i. → → → → (2)CA=OA-OC,∴CA所表示的复数为 (3+2i)-(-2+4i)=5-2i. → → → → → (3)OB=OA+AB=OA+OC, → ∴OB表示的复数为(3+2i)+ (-2+4i)=1+6i, 即 B 点对应的复数为 1+6i. B 级 综合创新备选 (时间:30 分钟 满分:40 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 10 分) 1+i a 1.设 a 是实数,且 + 是实数,则 a=( 2 1+i 1 A.1 B. 2 解析 3 C. D.2 2 ).

1+i a?1-i? 1+i ?a 1? ?1 a? a 1 a + = + =?2+2?+?2-2?i 是实数,∴ - =0,∴a=1. 2 2 2 2 2 1+i

答案 A 2.设 z 是复数,f(z)=zn(n∈N*),对 于虚数单位 i,则 f(1 +i)取得最小正整数时,对应 n 的 值是( ).

A.2 B.4 C.6 D.8 解析 f(1+i)=(1+i)n,则当 f(1+i)取得最小正整数时,n 为 8. 答案 D 二、填空 题(每小题 4 分,共 8 分) y2 3.若双曲线 x2- =1 的离心率为 n,则 n=________;设 i 为虚数单位,复数(1+i)n 的运 15 算结果为________. 解析 ∵a2=1,b2=15,∴c2=a2+b2=1+15=16, c ∵e= =4.即 n=4,∴(1+i)4=-4. a 答案 4 -4 1-i 4i xi a b 4.(2012· 北京西城模拟)定义运算?c d?=ad-bc.若复数 x= ,y=? 2 x+i?,则 y= ? ? ? ? 1+i ________. 1-i ?1-i?2 解析 因为 x= = =-i. 2 1+i

4i xi 4i 1 所以 y=? 2 x+i?=? 2 0?=-2. ? ? ? ? 答案 -2 三、解答题(共 22 分) 5. 分)已知复数 x2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限, (10 求实数 x 的取值范 围. 解
?x2-6x+5<0, ? ∵x 为实数,∴x -6x+5 和 x-2 都是 实数.由题意得? ? ?x-2<0,
2

? ?1<x<5, 解得? 即 1<x<2. ? ?x<2,

故实数 x 的取值范围是 1<x<2. z 6.(12 分)已知 z 是复数,z+2i、 均为实数(i 为虚数单位),且复数(z+ai)2 在复平面上对 2-i 应的点在第一象限,求实数 a 的取值范围. 解 设 z=x+yi(x、y∈R ), ∴z+2i=x+(y+2)i,由题意得 y=-2. x-2i 1 z = = (x-2i)(2+i) 2-i 2-i 5 1 1 = (2x+2)+ (x-4)i. 5 5 由题意得 x=4,∴z=4-2i. ∵(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,
2 ? ?12+4a-a >0, 根据条件,可知? 解得 2<a<6, ? ?8?a-2?>0,

∴实数 a 的取值范围是(2,6).



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