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参数方程与极坐标(教师版)


一、虽然学习了极坐标方程,但很少直接用极坐标解决问题,一般都化为普通的方程处理,个别时候也有例外。

∴ 直角坐标系下点 M1(﹣1,0) ,M2(0,2) ;∴ 直线 M1M2 与圆 C2 相交于 P、Q 两点,所得线段 PQ 是圆(x+1)2+y2=1

1.极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴,已知曲线 C1 的极坐标方程为 的直径;∴ ∠ POQ=

,∴ OP⊥ OQ,∴ OA⊥ OB;又 A、B 是椭圆 x2+

=1 上的两点,在极坐标系下,设 A(ρ1,θ) ,B(ρ2,

? x ? m ? t cos? ρ=4cosθ,曲线 C2 的参数方程为 ? ?y ? t sin?
交于(不包括极点 O)三点 A、B、C.

(t 为参数,0≤α<π) ,射线 θ=φ,θ=φ+

? 4

,θ=φ﹣

? 4

与曲线 C1 θ+ ) ,分别代入方程 ρ2cos2θ+

? 2 sin2 ?
4

=1 中,

(I)求证:|OB|+|OC|=

2

|OA|; (Ⅱ )当 φ=

?
12

时,B,C 两点在曲线 C2 上,求 m 与 α 的值.



cos2θ+

?1 2 sin2 ?
4

? 2 2 sin2 (? ?
=1, cos2(θ+ )+

?
2


=1;

4


1 解: (Ⅰ )依题意,|OA|=4cosφ,|OB|=4cos(φ+

? 4

) ,|OC|=4cos(φ﹣

? 4
2

) ,…则|OB|+|OC|=4cos(φ+

? 4

)+4cos(φ

解得

=cos2θ+



=sin2θ+



? 4

)=2

2

(cosφ﹣sinφ)+2

2

(cosφ+sinφ)=4

2

cosφ,=

|OA|.… ∴ ) .化为直角坐标为 B(1, + =cos2θ+ +sin2θ+ =1+ = ;即

? (Ⅱ )当 φ= 时,B,C 两点的极坐标分别为(2, 12 3

?

) , (2

? 3 ,﹣ 6

1 | OA |
2

3) ,C(3,﹣

?

1 | OB | 2

=

.a=﹣1,b=2.

3) .…C2 是经过点(m,0) ,倾斜角为 α 的直线,又经过点 B,C 的直线方程为 y=﹣


(x﹣2) ,故直线的斜率为

二、圆的参数方程是用来求最值的,而且只限求一类特殊的最值,除此之外,都是化为 ( x ? a)

2

? ( y ? b) 2 ? r 2 ,利

3 ,所以 m=2,α=

2? 3



用必修 2 的知识解决。

2.已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? cos? (θ 为参数) ,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲 ?y ? 2 sin?

1.已知某圆的极坐标方程为:ρ2﹣4

ρcos(θ﹣

? 4

)+6=0. (1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写

线 C2 的极坐标方程是 ρ=﹣2cosθ. (Ⅰ )写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ )已知点 M1、M2 的极坐标分别

出它的参数方程; (2)若点 P(x,y)在该圆上,求 x+y 的最大值和最小值.

是(1,π) 、 (2,

? 2

) ,直线 M1M2 与曲线 C2 相交于 P、Q 两点,射线 OP 与曲线 C1 相交于点 A,射线 OQ 与曲线 C1

1 解: (1)



ρ2﹣4

相交于点 B,求

1 | OA |
2

?

1 | OB | 2

的值 ( + ) ,即 x2+y2﹣4x﹣4y+6=0. (2)圆的参数方程为 ,

2 解: (Ⅰ )∵ 曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? cos? ?y ? 2 sin?

(θ 为参数) ,化为普通方程是 x2+

y2 4

=1;化为极坐标方程是

∴ x+y=4+

(sinα+cosα)=4+2sin(α+

) .由于﹣1≤sin(α+

)≤1,∴ 2≤x+y≤6,故 x+y 的最大值为 6,最小值等

ρ2cos2θ+

? 2 sin2 ?
4

=1;又∵ 曲线 C2 的极坐标方程是 ρ=﹣2cosθ,化为直角坐标方程是(x+1)2+y2=1; (Ⅱ )∵ 点 M1、

于 2.

M2 的极坐标分别是(1,π) 、 (2,

? 2

) ,

三、椭圆的参数方程是用来求最值的,而且只限求一类特殊的最值,除此之外,都是化为

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ,利用选修 2-1

即曲线 C1 的普通方程为:

.由曲线 C2:

得:

的知识解决。



1.直角坐标系 xOy 中,直线 L 方程 x﹣y+4=0,曲线 C 的参数方程为 ?

? ?x ? 3 cos? ? ? y ? sin?

(1)在极坐标系(与直角坐标

即 ρsinθ+ρcosθ=8,所以 x+y﹣8=0,即曲线 C2 的直角坐标方程为:x+y﹣8=0.

系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 极坐标(4,

? 2

(2)由(1)知椭圆 C1 与直线 C2 无公共点,椭圆上的点 ) ,判断点 P 与 L 的位

到直线 x+y﹣8=0 的距离为

置关系(2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值.

d?
x2 ? y2 ?1 3

| 3 cos? ? sin? ? 8 | 2

| 2 sin( ??
=

?
3

) ?8|

2
,此时点 P 的坐标为 .

1.解: (1)∵ 曲线 C 的参数方程为 ?

? ?x ? 3 cos? ? y ? sin? ?

,∴ 当

时,d 的最小值为

,∴ 曲线 C 的普通方程是,

∵ 点 P 的极坐标为(4,

? 2

) ,∴ 点 P 的普通坐标为(4cos

? 2

,4sin

? 2

3.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与 x 轴的正半轴重合,曲线 C 的极坐标方程为 ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3, ) ,即(0,4) ,把(0,4)代入直线 l:x﹣y+4=0, 直线 l 的参数方程为 ?

得 0﹣4+4=0,成立,故点 P 在直线 l 上.

? ?x ? ? 3t .试在曲线 C 上求一点 M,使它到直线 l 距离最大. ? ?y ? 1? t
x2 ? y 2 ? 1 .直线 l 的普通方程是 3


( 2 )∵ Q 在曲线

? ?x ? 3 cos? C: ? ? ? y ? sin?
?

上, ( 0°≤α < 360°) ∴ Q(

3 cos? , sin? ) 到直线

l : x ﹣ y+4=0 的距离:

3 解:曲线 C 的普通方程是

设点 M 的坐标是 (

3 cos? , sin? ) M 到直线的距离
3 | 2 sin( ??
=

d?

| 3 cos? ? sin? ? 4 | 2

2 | 2 sin( ? ? ? ) ? 4 | (0°≤α<360°)∴ 2



d?

| 3 cos? ? 3 sin? ? 3 | 2

?
4

) ?1 |

? ?x ? 3 cos? 2.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? ? y ? sin?
建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程为 ρsin (θ+

2

(α 为参数) ,以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴,

? 4

) =4

. (1) 求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (2)

设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 上点的距离的最小值,并求此时点 P 的坐标.

d 取得最大值)



2.解: (1)由曲线 C1: ?

? ?x ? 3 cos? ? y ? sin? ?

,可得, ?

? x ? cos ? ? 两式两边平方相加得: 3 ? y ? sin ? ?



4.在直角坐标系 xoy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系, = 设曲线 C 参数方程为 ? ,当且仅当

? ?x ? 3 cos? ? y ? sin? ?

(θ 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ρcos(θ﹣

? 4

)=2

2

. (1)写出曲线 C

,即

(k∈Z)时取等号.∴ Q 点到直线 l 距离的最小值为



的普通方程和直线 l 的直角坐标方程;

四、直线的参数方程主要是用它的几何意义解决问题,一般形式有:|PA|+|PB|,||PA|-|PB||,|PA| ? |PB|,|AB| 的最值,

1 1 ? | PA | | PB |

等,除此之外,基本都化为Ax+By+C=0处理

(2)求曲线 C 上的点到直线 l 的最大距离,并求出这个点的坐标. 1.在极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4 4 解: (1)由 ,得 ρ(cosθ+sinθ)=4,∴ l:x+y﹣4=0, sin(θ+

? 4

) .现以点 O 为原点,极轴为 x 轴的非负半轴建立平面直

∵ ?

? ?x ? 3 cos? ? y ? sin? ?

, (θ 为参数) ,∴ 消去参数得

,∴ 曲线 C 的普通方程为

和直线 l 的直角坐

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数) . (I)写出直线 l 和曲线 C 的普通方程(Ⅱ )设直线 l 和曲 ? y ? ?3 ? 3 t ? 2 ?
线 C 交于 A,B 两点,定点 P(﹣2,﹣3) ,求|PA|?|PB|的值.

标方程为 x+y﹣4=0; (2)在 C: ?

? ?x ? 3 cos? ? ? y ? sin?

上任取一点(

cosθ,sinθ) ,

1解 (Ⅰ ) 曲线 C 的极坐标方程即

, 所以 ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ,

则点 P 到直线 l 的距离为 d=

=

≤3



∴ 当 sin(θ+

)=﹣1 时,dmax=3

,此时这个点的坐标为(

) .

1 ? x ? ?2 ? t ? 2 ? 所以 x2+y2﹣4x﹣4y=0,即(x﹣2)2+(y﹣2)2=8.把直线 l 的参数方程为 ? (t 为参数)消去参数,化 ? y ? ?3 ? 3 t ? 2 ?
为普通方程为: .

5.在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 C1 的极坐标方程为

ρ2=

, 直线 l 的极坐标方程为 ρ=

. (Ⅰ ) 写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ )

(Ⅱ )把直线 l 的参数方程带入到圆 C:x2+y2﹣4x﹣4y=0,得

,∴ t1t2=33.因为点 P

设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值.

(﹣2,﹣3)显然在直线 l 上,由直线标准参数方程下 t 的几何意义知|PA||PB|=|t1t2|=33,所以|PA||PB|=33.

5:(Ⅰ )以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角坐标系,曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2=

,直线 l

的极坐标方程为 ρ=

,根据 ρ2=x2+y2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,则 C1 的直角坐标方程为 x2+2y2=2,直

? x? ? ? 2. 已知圆 C 的极坐标方程为 ρ=2cosθ, 直线 l 的参数方程为 ? ?y ? ? ?

1 3 ? t 2 2 2 (t 为参数) , 点 A 的极坐标为 ( 2 1 1 ? t 2 2



? 4

) ,

线 l 的直角坐标方程为



设直线 l 与圆 C 交于点 P、Q. (1)写出圆 C 的直角坐标方程; (2)求|AP|?|AQ|的值.

(Ⅱ )设 Q

,则点 Q 到直线 l 的距离为

2解: (1)圆极坐标方程为 ρ=2cosθ 即 ρ=2ρcosθ,即 (x﹣1)2+y2=1,表示以 C(1,0)为圆心、半径等于 1 的圆.

(2) 由直线 l 参数方程为 ?

? x ? 2 ? t cos? ?y ? t sin?

, 可得 l 与 x 轴的交点 F (2, 0) . 把直线 l 的方程代入抛物线方程可得 (tsinα)

(2)∵ 点 A 的直角坐标为( ,

? x? ? ? ) ,∴ 点 A 在直线 ? ?y ? ? ?

1 3 ? t 2 2 (t 为参数)上.把直线的参数方程代入曲线 C 的 1 1 ? t 2 2
<0,根据参数的几何意义可得|AP|?|AQ|=|t1?t2|= .

2

=8(2+tcosα) ,整得 t2sin2α﹣8tcosα﹣16=0,由已知 sinα≠0,△ =(﹣8sinα)2﹣4×(﹣16)sinα>0,∴ sinα≠0,cos2α+sinα

>0.∴



<0.

方程可得 t2+

t﹣ =0.由韦达定理可得 t1?t2=﹣

+ 3.在直角坐标系 xOy 中,l 是过定点 P(4,2)且倾斜角为 α 的直线;在极坐标系(以坐标原点 O 为极点,以 x 轴非

=

=

=

=

负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ(Ⅰ )写出直线 l 的参数方程,并将曲线 C 的方程

化为直角坐标方程; (Ⅱ )若曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.

3解: (I) 直线 l 的参数方程为

(t 为参数) . 曲线 C 的极坐标方程 ρ=4cosθ 可化为 ρ2=4ρcosθ. 把 x=ρcosθ,

5.已知极坐标系的极点为直角坐标系 xoy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线 C

y=ρsinθ 代入曲线 C 的极坐标方程可得 x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4. (II)把直线 l 的参数方程为

(t

为参数)代入圆的方程可得:t2+4(sinα+cosα)t+4=0.

1 ? x? t ? 2 ? 的极坐标方程为 ρ=2(cosθ+sinθ) . (Ⅰ )求 C 的直角坐标方程; (Ⅱ )直线 l ? (t 为参数)与曲线 C 交于 A, ?y ? 1 ? 3 t ? 2 ?
B 两点,与 y 轴交于 E,求

∵ 曲线 C 与直线相交于不同的两点 M、N,∴ △ =16(sinα+cosα)2﹣16>0,∴ sinαcosα>0,又 α∈[0,π) ,

1 1 的值. ? | EA | | EB |



.又 t1+t2=﹣4(sinα+cosα) ,

5解: (I)由曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2(cosθ+sinθ) ,化为 ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,∴ x2+y2﹣2x﹣2y=0,即(x﹣1)2+

t1t2=4.∴ |PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=

,∵





, ∴

. ∴ |PM|+|PN|的取值范围是



1 ? x? t ? 2 ? (y﹣1)2=2. (II)把直线 ? ?y ? 1 ? 3 t ? 2 ?
t1t2=1.∴ + =

(t 为参数)与代入曲线 C 的方程可得:t2﹣3t+1=0,∴ t1+t2=3,

4.极坐标系与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已知直线 l 的参数方程为

=

=3.

? x ? 2 ? t cos? ? ?y ? t sin?

(t 为参数) .曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=8cosθ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)设直线 l

与曲线 C 交于 A,B 两点,与 x 轴的交点为 F,求

1 1 的值. ? | AF | | BF |

6.以直角坐标系的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位.已知直线 l 的参数方程为

4: (1)由曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=8cosθ,可得 ρ2sin2θ=8ρcosθ.把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入上式可得 y2=8x.

? x ? 1 ? t cos ? ? ?y ? t sin?

(t 为参数,0<α<π) ,曲线 C 的极坐标方程为 ρsin2θ=4cosθ. (Ⅰ )求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ )

设直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,当 α 变化时,求|AB|的最小值.

6解: (I)由 ρsin2θ=4cosθ,得(ρsinθ)2=4ρcosθ,∴ 曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x. (II)将直线 l 的参数方程代入

8解: (Ⅰ )根据 x=ρcosθ、y=ρsinθ,求得曲线 C 的直角坐标方程为 y2=4x,用代入法消去参数求得直线 l 的普通方程 x﹣

y2=4x, 得 t2sin2α﹣4tcosα﹣4=0. 设 A、 B 两点对应的参数分别为 t1、 t2, 则 t1+t2=

, t1t2=﹣

, ∴ |AB|=|t1

﹣t2|=

=

=

,当 α=

时,|AB|

? ? x ? ?2 ? ? y﹣2=0. (Ⅱ )直线 l 的参数方程为: ? ? y ? ?4 ? ? ?
代入 y2=4x,得到

2 t 2 2 t 2

(t 为参数) ,

,设 M,N 对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=12

,t1?t2=48,

的最小值为 4.

7.在极坐标系中,已知圆 C 的圆心 C(

? 2, 4

∴ |PM|+|PN|=|t1+t2|= ) ,半径 r= . (Ⅰ )求圆 C 的极坐标方程;



(Ⅱ )若 α∈[0,

? 4

) ,直线 l 参数方程 ?

?x ? 2 ? cos? ? y ? 2 ? sin?

9.已知曲线 C1 的极坐标方程为 ρ2cos2θ=8,曲线 C2 的极坐标方程为 ? (t 为参数) ,直线 l 交圆 C 于 A、B,求弦长|AB|的取值范围.

?

?
6

,曲线 C1、C2 相交于 A、B 两点. (p∈R)

7解: (Ⅰ )∵ C(

2



? 4

) )的直角坐标为(1,1) ,∴ 圆 C 的直角坐标方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=3.化为极坐标方

程是 ρ2﹣2ρ (cosθ+sinθ) ﹣1=0 … (Ⅱ ) 将?

?x ? 2 ? cos? ? y ? 2 ? sin?

2 2 代入圆 C 的直角坐标方程 (x﹣1) + (y﹣1) =3, 得 (1+tcosα)

? 3 x ? 1? t ? ? 2 (Ⅰ )求 A、B 两点的极坐标; (Ⅱ )曲线 C1 与 ? (t 为参数)分别相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度. ?y ? 1 t ? 2 ?

2

+(1+tsinα)2=3,即 t2+2t(cosα+sinα)﹣1=0.

9解: (Ⅰ )由

得:

,∴ ρ2=16,即 ρ=±4.

∴ t1+t2=﹣2(cosα+sinα) ,t1?t2=﹣1.∴ |AB|=|t1﹣t2|=

=2

. ∴ A、B 两点的极坐标为: 或 .

∵ α∈[0,

) ,∴ 2α∈[0,

) ,∴ 2

≤|AB|<2

.即弦长|AB|的取值范围是[2

,2

)… (Ⅱ )由曲线 C1 的极坐标方程 ρ2cos2θ=8 化为 ρ2(cos2θ﹣sin2θ)=8,得到普通方程为 x2﹣y2=8.

8. 在平面直角坐标系 xoy 中, 以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ρsin θ=4cosθ,

2

? ? x ? ?2 ? ? 直线 l 的参数方程为: ? ? y ? ?4 ? ? ?

2 t 2 2 t 2

(t 为参数) ,两曲线交 M,N 两点. (Ⅰ )写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l

? 3 x ? 1? t ? ? 2 将直线 ? 代入 x2﹣y2=8,整理得 1 ?y ? t ? 2 ?

的普通方程; (Ⅱ )若 P(﹣2,﹣4) ,求|PM|+|PN|的值.

.∴ |MN|=

=



10.圆锥曲线 C: ?

? ? x ? 2 cos? ?y ? 3 sin? ?

(θ 为参数)和定点 A(0,

3 ),F1,F2 是此圆锥曲线的左、右焦点.

(1)以原点 O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求直线 AF2 的极坐标方程;

(2)经过点 F1,且与直线 AF2 垂直的直线 l 交此圆锥曲线于 M、N 两点,求||MF1|﹣|NF1||的值.

2.在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ?

? x ? 1 ? cos? ?y ? sin?

(φ 为参数) .以 O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极

坐标系. (Ⅰ )求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ )直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+ 10解(1)C: ,轨迹为椭圆,其焦点 F1(﹣1,0) ,F2(1,0) 的交点为 O,P,与直线 l 的交点为 Q,求线段 PQ 的长. : 即 2 解: (I)圆 C 参数方程 ? 即 ; (2)由(1) ,∵ l⊥ AF2,∴ l 的斜率为 ,倾斜角为 30°,

3 cosθ)=3 3 ,射线 OM:θ=

? 3

与圆 C

? x ? 1 ? cos? (φ 为参数) .消去参数可得: (x﹣1)2+y2=1.把 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入化简: ?y ? sin?
)=3 ,射线 OM:

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 (t 为参数) 所以 l 的参数方程 ? ?y ? 1 t ? 2 ?
代入椭圆 C 的方程中,得:

ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程. (II)如图所示,由直线 l 的极坐标方程是 ρ(sinθ+

,代入椭圆方程

,得

θ=

.可得普通方程:直线 l

,射线 OM



因为 M、N 在 F1 的异侧

联立

,解得

,即 Q

.联立

,解得

五、无论直线,圆,椭圆,一般已知条件中的参数方程,极坐标方程,统一都化为普通方程解决问题(上面的3个特例 除外) , 1.在极坐标系中,曲线 L:ρsin2θ=2cosθ,过点 A(5,α) (α 为锐角且 tan ? 或 .∴ P .∴ |PQ|= =2.

?

3 ? )作平行于 ? ? ( ? ? R) 的直 4 4

线 l,且 l 与曲线 L 分别交于 B,C 两点. (Ⅰ )以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,取与极坐标相同单位长度,建立平

面直角坐标系,写出曲线 L 和直线 l 的普通方程; (Ⅱ )求|BC|的长.

1.解: (Ⅰ )由题意得,点 A 的直角坐标为(4,3) ,曲线 L 即 ρ2 sin2θ=2ρcosθ,它的普通方程为:y2=2x, 3.已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ= ? 由于直线 l 的斜率为 1,且过点 A(4,3) ,故直线 l 的普通方程为:y﹣3=x﹣4,即 y=x﹣1.

?

4 cos? sin ?
2

直线 l 的参数方程为 ?

?x ? t cos? ? y ? 1 ? sin?

(t 为参数,0≤α<π) .

(Ⅰ )把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,并说明曲线 C 的形状; (Ⅱ )若直线 l 经过点(1,0) ,求直线 l 被曲线 C (Ⅱ )设 B(x1,y1) 、C(x2,y2) ,由 可得 x2﹣4x+1=0,由韦达定理得 x1+x2=4,x1?x2=1,由弦长公式得

截得的线段 AB 的长.



解: (1)对 C:ρ=

,可化为 ρsinθ=

.把互化公式代入,得 y=

,即 y2=4x,为抛物线.

(可验证原点(0,0)也在曲线上) (Ⅱ )根据条件直线 l 经过两定点(1,0)和(0,1) ,所以其方程为 x+y=1.



,消去 x 并整理得 y2+4y﹣4=0.令 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 y1+y2=﹣4,y1?y2=﹣4.

(2)圆心 (

3 ,1) 到直线的距离为

.设圆 C 直线 l 所得弦长为 m,则

所以|AB|=

?

=

?

=8.

,∴



? x ? a ? 4t 4.直线 ? , ?y ? ?1 ? 2t

圆 C:

. (1)求圆 ? ? 2 2 cos( ? ? ) (极轴与 x 轴的非负半轴重合,且单位长度相同)

?

6.在极坐标系下,已知圆 O:ρ=cosθ+sinθ 和直线 l: ?sin(?

? 2 ? )? 4 2

. (1)求圆 O 和直线 l 的直角坐标方程; (2)

4

当 θ∈(0,π)时,求直线 l 与圆 O 公共点的极坐标. ,求 a. 6 解: (1)圆 O:ρ=cosθ+sinθ,即 ρ2=ρcosθ+ρsinθ,故圆 O 的直角坐标方程为:x2+y2=x+y,即 x2+y2﹣x﹣y=0. ) ,即 x+2y+2﹣a=0. 直线 l: ?sin(?

6 5 心 C 到直线 l 的距离; (2)若直线 l 被圆 C 截的弦长为 5

? x ? a ? 4t 4 解: (I)把 ? ?y ? ?1 ? 2t

用代入法消去参数 t,化为普通方程为 x=a+4(

? ? 2 2 cos( ? ? ) ,即
4
化为直角坐标系中的方程为

?

ρ =2

2

ρ (



)=2ρ cosθ﹣2ρsinθ,

? 2 ? )? 4 2

,即 ρsinθ﹣ρcosθ=1,则直线的直角坐标方程为:y﹣x=1,即 x﹣y+1=0. (2)由

x2+y2=2x﹣2y,即 x2+y2﹣2x+2y=0.∴ 圆心(1,﹣1)到直线 x+2y+2﹣a=0 的距离为

,可得

,直线 l 与圆 O 公共点的直角坐标为(0,1) ,故直线 l 与圆 O 公共点的

=



一个极坐标为



7.已知在直角坐标系 xoy 中,直线 l 过点 P(1,﹣5) ,且倾斜角为 (2)由弦心距、半径、半弦长之间的关系 ,∴ a2﹣2a=0,a=0,或 极坐标系,半径为 4 的圆 C 的圆心的极坐标为 a=2. 试判定直线 l 和圆 C 的位置关系. 5.已知在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立

. (Ⅰ )写出直线 l 的参数方程和圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ )

? ? x ? 3 ? 3 cos? , (θ 为参数) ,以 Ox 为极轴建立极坐标系, ? ?y ? 1 ? 3 sin?
7 解: (Ⅰ )∵ 直线 l 过点 P(1,﹣5) ,且倾斜角为 ,∴ 直线 l 的参数方程为 (t 为参数)

直线 l 的极坐标方程为 ? cos( ?

?

?
6

(2)求圆 C 截直线 l ) ? 0 (1)写出直线 l 的直角坐标方程和圆 C 的普通方程;

所得的弦长.

∵ 半径为 4 的圆 C 的圆心的极坐标为

,∴ 圆心坐标为(0,4) ,圆的直角坐标方程为 x2+(y﹣4)2=16

5 解: (1)圆 C 的普通方程为

.由 ? cos( ?

?

?
6

) ? 0 得直角方程



,∴ 圆的极坐标方程为 ρ=8sinθ; (Ⅱ )直线 l 的普通方程为



3x ? y ? 0
∴ 圆心到直线的距离为 ∴ 直线 l 和圆 C 相离.

8.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ρsin(θ+

)=





,∴ C1 与 C2 交点的极坐标为(4,

) . (2



) . (II)由(I)得,P 与 Q 点的坐标分别为(0,2) , (1,

? ?x ? ? ? 圆 C 的参数方程为, ? ? y?? ? ?
的点到直线 l 的最大距离为 3.

2 ? r cos? 2 2 ? r sin? 2

(θ 为参数,r>0) (Ⅰ )求圆心 C 的极坐标; (Ⅱ )当 r 为何值时,圆 C 上

3) ,故直线 PQ 的直角坐标方程为 x﹣y+2=0,由参数方程可得 y= x﹣

+1,∴

,解得

六、求轨迹问题

8 解: (1)由 ρsin(θ+

)=

,得

? ?x ? ? ? ρ(cosθ+sinθ)=1,∴ 直线 l:x+y﹣1=0.由得 C: ? ? y?? ? ?

2 ? r cos? 2 2 ? r sin? 2

1.已知在一个极坐标系中点 C 的极坐标为 ? 2, 圆

? ?

??
? 3?

。 (1)求出以 C 为圆心,半径长为 2 的圆的极坐标方程(写出解题过

程)并画出图形(2)在直角坐标系中,以圆 C 所在极坐标系的极点为原点, 极轴为 是圆 C 上任意一点, Q

x 轴的正半轴建立直角坐标系,点 P

? 5, ? 3 ?

, M 是线段 PQ 的中点,当点 P 在圆 C 上运动时,求点 M 的轨迹普通方程。

心(﹣

,﹣

) .

∴ 圆心 C 的极坐标(1,

? ?x ? ? ? ) . (2)在圆 C: ? ? y?? ? ?

1.解:(1)如图, 设圆 C 上任意一点

2 ? r cos? 2 2 ? r sin? 2

A ? ? , ? ? , 则?AOC ? ? ?

?
3



?
3

??

…2 分

的圆心到直线 l 的距离为:

由余弦定理得: 4+

? ?? ? 2 -4cos ?? - ? =4 3 ? ?

∴ 圆 C 的极坐标方程

?? ? ? =4cos ?? ? ? 3
? ?
A

…4 分

作图 (2) 在 直 角 坐 标 系 中 , 点 C 的 坐 标 为

?1, 3?
又令

,可设圆 C 上任意一点

C

∵ 圆 C 上的点到直线 l 的最大距离为 3,∴

.r=2﹣

∴ 当 r=2﹣

时,圆 C 上的点到直线 l 的最大距离

P 1 ? 2 cos ? , 3 ? 2sin ?

?

?

M ? x, y ?



Q 5, ? 3

?

?

O

,

M

是线段

PQ

的中

3.

9. 以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐标系. 圆 C1, 直线 C2 的极坐标方程分别为 ρ=4sinθ, ρcos (?

?

?
4

) =2

2

点 . (Ⅰ )

6 ? 2 cos ? ? ?x ? ? x ? 3 ? cos ? ? 2 ?? ∴M 的参数方程为: ? ? y ? sin ? ? y ? 2sin ? ? ? 2

??为参数 ?

…………

?x ? t 3 ? a ? 求 C1 与 C2 交点的极坐标; (Ⅱ ) 设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点, 已知直线 PQ 的参数方程为 ? b 3 ?y ? t ? 1 2 ?
(t∈R 为参数) ,求 a,b 的值.

∴点 M 的轨迹的普通方程为:

? x ? 3?

2

? y2 ? 1

………….10 分

2.已知直线 C1

(t 为参数) ,C2

(θ 为参数) , (Ⅰ )当 α=

时,求 C1 与 C2 的交点

坐标; (Ⅱ )过坐标原点 O 做 C1 的垂线,垂足为 A,P 为 OA 中点,当 α 变化时,求 P 点的轨迹的参数方程,并指出它是 9 解: (I)圆 C1,直线 C2 的直角坐标方程分别为 x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,解 得 什么曲线.

2 解: (Ⅰ )当 α=

时,C1 的普通方程为

,C2 的普通方程为 x2+y2=1.联立方程组

,解得 C1 与 C2 的交点为(1,0)



(Ⅱ )C1 的普通方程为 xsinα﹣ycosα﹣sinα=0① .则 OA 的方程为 xcosα+ysinα=0② ,联立① ② 可得 x=sin2α,y=﹣cosαsinα;

1 ? 2 ? x ? 2 sin ? ? A 点坐标为(sin2α,﹣cosαsinα) ,故当 α 变化时,P 点轨迹的参数方程为 ? ?y ? ? 1 sin? cos? ? 2 ?
P 点轨迹的普通方程 .故 P 点轨迹是圆心为 ,半径为 的圆.

3.平面直角坐标系 xoy 中,P 是直线 2x+2y-1=0 上的一点,Q 是射线 OP 上的一点,满足|OP| ? |OQ|=1.

(1)求 Q 的轨迹, (2)设点 M(x,y)为(1)中轨迹上的任意一点,求 x+7y 的最大值

( ? , ?) (? 1 , ?) (Ⅰ)以 O 为极点, Ox 为极轴,建立极坐标系,设点 Q , P 的极坐标分别为 ,
由题意 ? ? ?1

? 1 ,得 ?1 ?

1

?

,∴点 P

(

cos? sin? ,

?

?

)

P

在直线 2x

+ 2 y - 1 = 0 上,∴ 2

cos?

?

?2

sin?

?

? 1 ? 0 , ? ? 2 cos ? ? 2 sin ?
. 2 为半径的圆(原点除外)

化成直角坐标方程得 (x

- 1)2 + ( y - 1)2 = 2 ,∴ Q
? ?x ? 1 ? 2 cos? ? ?y ? 1 ? 2 sin?

点轨迹是以 (1,1) 为圆心,

(Ⅱ) Q 点轨迹的参数方程为 ?

∴x

+ 7 y 的最大值是 18.



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