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2013届高考理科数学第一轮复习测试题6


(时间:40 分钟 满分:60 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 40 分) 1 1.如图所示,AB 是⊙O 的直径,MN 与⊙O 切于点 C,AC= BC,则 sin∠MCA=________. 2

解析 由弦切角定理得, ∠MCA=∠ABC, AC AC sin ∠ABC= = 2 AB AC +BC 答案 5 5
2=

AC 5 = . 5AC 5

2.如图所示,已知 AB 是⊙O 的直径,CD 与 AB 相交于点 E,∠ACD=60° ,∠ADC=45° , 则∠AEC=________.

解析 如图,连接 BC,由圆周角定理推论 2 知,∠ACB=90° . ∵∠ACD=60° , ∴∠DCB=30° , ∴∠ADC=45° ,∴ 1 ∴∠AEC= ( 2 答案 75° 3.如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点.AD 和过 C 点 的切线互相垂直,垂足为 D, ∠DAB=80° ,则∠ACO=________. 的度数=60° . 的度数=90° . )的度数=75° .

解析 ∵CD 是⊙O 的切线,∴OC⊥CD,又∵AD⊥CD,∴OC∥AD.

由此得,∠ACO=∠CAD, ∵OC=OA,∴∠CAO=∠ACO, ∴∠CAD=∠CAO,故 AC 平分∠DAB.∴∠CAO=40° , 又∵∠ACO= ∠CAO,∴∠ACO=40° . 答案 40° 4.如右图所示,已知⊙O 的直径与弦 AC 的夹角为 30° , 过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于 P,PC=5, 则⊙O 的半径为________. 解析 如图,连接 OC,则有∠COP=60° , 5 OC⊥PC,可求 OC = 3. 3 答案 5 3 3 上任一点,AP 交 BC 于点 D,AP

5.(2011· 深圳模拟)如图,P 是等边三角形 ABC 外接圆 =4,AD=2,则 AC=________.

解析 如图,连接 PC、PB,在等边三角形 A BC 中,有∠ABC=∠ACB=60° , 又∠ABC=∠APC,所以 ∠ACB=∠APC. 而∠PAC 是公共角, 所以△APC 和△ACD 相似 , AC AD 所以 = , AP AC 即 AC2=AP· AD=4×2=8, 即 AC=2 2. 答案 2 2 6.(2011· 东莞调研)如图,PA、PB 是圆 O 的切线 ,切点分别为 A、 B,点 C 在圆 O 上,如 果∠P=50° ,那么∠ACB=________.

解析 连接 OA、OB,因为 P A、PB 是圆 O 的切线,所以∠OBP=∠OAP=90° ,又因为∠ P=50° ,所以∠AOB=130° ,所以∠ACB=65° .

答案 65° 7.(2011· 汕头调研)如图,已知 PA 是圆 O(O 为圆心)的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B,C 两点,AC= 3,∠PAB=30° ,则圆 O 的面积为________.

解析 连接 OA,由∠PAB=30° ,得∠OCA=∠OAC=30° , 由余弦定理得,AC2=OA2+OC2-2OA· OCcos 120° =3OA2, OA= 1 AC=1,因此圆 O 的面积等于 π×12=π. 3

另解 由∠PAB=30° ,∴∠ACB=30° ,在 Rt△ABC 中, AC= 3,∴CB=2,∴OC=1,因此圆 O 的面积等于 π×12=π. 答案 π 8.(2011· 韶关调研)如图所示,CA 和 CB 都是⊙O 的切线,切点分别是 A、B,如果⊙O 的 半径为 2 3,且 AB=6,则∠ACB=________.

解析 如图,连接 OC 交于 AB 于点 D.∵CA、CB 分别是 ⊙O 的切线,∴CA=CB,OC 平分∠ACB,故 OC⊥AB. 由 AB=6,可知 BD=3,在 Rt△OBD 中,OB=2 3, BD 3 3 故 sin∠BOD= = = ,所以∠BOD=60° ,又因为 B 是切点,故 OB⊥BC,所以∠ OB 2 3 2 OCB=30° .故∠ACB=60° . 答案 60° 二、解答题(共 20 分) 9.(10 分)如右图所示,AB 为圆 O 的直径,BC,CD 为圆 O 的切线,B、D 为切点. (1)求证:AD∥OC; (2) 若圆 O 的半径为 1,求 AD· 的值. OC (1)证明 如图所示,连接 OD,BD, ∵BC,CD 为⊙O 的切线,∴BD⊥OC, ∴又 AB 为圆 O 的直径,∴AD⊥DB, ∴AD∥OC.

AD AB (2)解 因为 AO=OD,则∠1=∠A=∠ 3,Rt△BAD∽Rt△COD,∴ = ,即 AD· OC OD OC =AB· OD=2. 10.(10 分)如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.

(1)证明:△ABE∽△ADC; 1 (2)若△ABC 的面积 S= AD· AE,求∠BAC 的大小. 2 (1)证明 由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACB 是同弧上的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD. 故△ABE∽△ ADC. (2)解 因为△ABE∽△ADC, AB AE 所以 = , AD AC 即 AB· AC=AD· AE. 1 1 又 S= AB· ACsin∠BAC,且 S= AD· AE. 2 2 故 AB· ACsin∠BAC=AD· AE. 则 sin∠BAC=1,又∠BAC 为三角形内角, 所以∠BAC=90° .



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