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函数零点的教学设计


函数的零点教案设计 ※ 教案背景 (1) 、课题:函数的零点 (2) 、教材版本:人教 B 版数学必修(一)第二章 2.4.1 函数的零点 (3) 、课时:1 课时 ※ 教材分析 (1)本节课的主要内容有函数零点的概念、函数零点存在性判定定理。 函数 f(x)的零点,是中学数学的一个重要概念,从函数值与自变量对应的角度看,就 是使函数值为 0 的实数 x;从方程的角度看,即为相应方程 f(x)=0 的实数根,从 函数的图形表示看,函数的零点就是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标.函数是中学数 学的核心概念, 核心的根本原因之一在于函数与其他知识具有广泛的联系性,而 函数的零点就是其中的一个链结点,它从不同的角度,将数与形,函数与方程有机 的联系在一起。 (2)本节是函数应用的第一课,因此教学时应当站在函数应用的高度,从函 数与其他知识的联系的角度来引入较为适宜。 ※教学目标: 1、知识与技能 (1)理解函数(结合二次函数)零点的概念。 (2)领会函数零点与相应方程的根的关系,掌握零点存在的判定条件。 2、过程与方法 (1)通过观察例题的图象,发现函数在区间端点上的函数值之积的特点,找到 连续函数在某个区间上存在零点的判断方法。 (2)让学生归纳整理本节所学知识。 3、情感、态度与价值观 在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值,培养学生的观 在函数与方程的联系中体验数形结合思想和转化思想的意义和价值, 发展学生对 变量数学的认识,体会函数知识的核心作用.体验数学内在美,激发学习热情,培 养学生创新意识和科学精神。 ※教学重点: 是函数零点的概念及求法 ※教学难点: 是利用函数的零点作图教学方法: ※教学方法:以教师为主导,以学生为主体,以能力发展为目标,从学生的认识 规律出发进行启发式教学,利用课件,视频等引导学生对问题的思考,运用学生 自主学习、小组合作探究的教学方式。 ※ 教学环节 (一) 、课前延伸 1、知识链接,温故知新 求方程 x2-2x-3=0 的实数根,并画出函数 y=x2-2x-3 的图象。 通过学生熟悉一元二次方程入手, 观察函数图像与 x 轴的交点与相应方程根的关 系,让学生建立数型结合的思想。 (用投影仪展示函数图象) 【百度搜索】http://czsx.cooco.net.cn/testdetail/26588/

2、情景导引,体验概念
2 探 究 一 元 二 次 方 程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的 根 与 相 应 二 次 函 数

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 图象与 x 轴交点的关系?(师用投影仪展示表格,学生完
成,然后针对搜索的答案比较,纠错) Δ >0 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 二次函数的图像 图像与 x 轴交点个数 Δ =0 Δ <0

ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0)
方程根的个数 【百度搜索】 http://stu1.huanggao.net/stu1_course/0910shang/08281006001/SK_SX_13_0 1_003/。 说明:通过完成以上两个题目,让学生从具体到一般函数图像与 x 轴交点与 相应方程根的关系。 这一环节是为学生课内探究学习作好铺垫,使用方法是课前 发下去,学生自己解答,上课后教师根据学生的反馈情况给予讲解。 3、自主学习,了解概念
2 自学课本第 70 页,通过二次函数 y ? x ? x ? 6 的图像与 x 轴的交点与相应

方程根的关系了解函数的零点的概念。 (师用投影仪展示图像,学生回答概念)

4、收集问题,把握学情 通过预习, 引导学生通过自学, 找出那些问题已经掌握, 那些问题还有疑惑, 有待教师解答。教师通过收集学生的预习学案,批阅之后发现学生存在的问题, 以便准确的把握学情,作为课堂教学的重要依据。 (二)、课内探究 1、创设情境,导入新课 实际问题情境:在体育测试时,高一的一名男同学推铅球,已知铅球所经过 的路线是某个二次函数图像的一部分,如图所示,如果这个男同学的出手处 A 点的坐标(0,2),铅球路线的最高处 B 点的坐标为(6,5) (1)求这个二次函数的解析式; (2)该男同学把铅球推出去多远? 说明:学生经过思考,得到结论:要求二次函数与 x 轴的交点坐标, 只要令 y=0,解出相应方程的根即 可。 2、合作探究,形成概念
2 (1) :课本第 70 页,通过画二次函数 y ? x ? x ? 6 的图像,了解当 y=0,y>0,y<0

相应 x 的取值(学生回答) ,初步了解函数零点的概念。 (2) :通过预习案中二次函数图像表格中,让学生说出对应二次函数零点,进一 步了解零点概念。 小组合作探究,由学生回答做法,教师作一下点拨,结合二次函数的图像,推 广到一般函数零点的定义:一般的,如果函数 y=f(x)在实数α 处的值等于零, 即 f(α )=0,则 α 叫做这个函数的零点。在坐标系中表示图像与 x 轴的公共点 (α ,0)点。 3、点拨指导,理解概念 通过对以上函数的零点的求解,可以得到结论:函数 y=f(x)的零点就是方 程 f(x)=0 实数根,亦即函数 y=f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标.函数零点的个 数即相应方程实数根的个数, 也就是函数图像与 x 轴的交点个数。它们之间存在 以下关系: (教师用投影仪展示)

函数 y ? f ? x ?的图象与 x轴有交点( x0 ,0)

x0是函数 ? f ?x?的零点 y

x0 是方程 f(x)=0 的实根
有了上述的等价关系,我们就可用函数的观点看待方程,方程 f ?x ? ? 0 的根即函 数 y ? f ?x ?的零点, 可以把解方程的问题互化为思考函数图象与 x 轴的交点问题。 这正是函数与方程思想的基础。 4、典例剖析,应用概念 (3) :求下列函数的零点,并画出下列函数的简图。
2 ① y ? 2 x ? 1 ② y ? x ? 4x ? 4 3 2 3 2 ③ y ? x ? 3x ? 2x ④ y ? x ? 2x ? x ? 2

(师用展示台展示学生的作图,指出优缺点) 说明:求函数零点,体现函数与方程互相转化的思想。求②的零点时,学生 在解方程时发现有两个相等的根, 那对于函数的零点是一个是两个那?学生出现 疑惑。这是教师要声音洪亮,中速提出: “方程的根与函数零点个数是相同的。 大家看前面二次函数的图像表格中间一列。 ”对于三次方程的求法,要注意能否 因式分解。可以利用计算器或计算机准确地作出其图象,理解函数零点的概念。 也可以通过画简图,了解图像的变化形式。要注意体现零点性质的应用。为以后 学习高次不等式穿根法奠定基础。 5、变式拓展,深化概念
2 (4) :一元二次方程 2009 x ? 2011 x ? 1 ? 0 有没有实根?

学生小组合作探讨,3 分钟后举手抢答。 说明:通过小组合作探究,体现集体的智慧。对回答积极的小组及时表扬鼓励。 对本节课重要知识点---函数零点概念与相应方程根的关系进行更深层的理解。 体现“数型结合”,“函数与方程”思想. (5) : 【百度搜索】http://wenku.baidu.com/view/16ceb823192e45361066f5ee.html 思考: 若一个函数图像在区间[a,b]上是连续的,在什么情况下,图像在区间(a,b) 内肯定与 x 轴有交点呢? 让学生自己任意画几个函数图象验证自己的猜想.小组讨论后,派代表发言 得到的结论,教师整理后得到函数零点的存在性定理: (投影仪展示一下内容) 如果函数 y=f(x)在区间{a,b}上的图像是不间断的一条曲线,并且有在它的 两端点处的函数值异号,即 f(a)f(b)<0,那么函数 y=f(x)在区间(a,b)内有零 点,即存在 c∈(a,b)使得 f(c)=0,这个 c 也就是方程 f(x)=0 的根。

教师给出这个定理,课后学生还需多画图,讨论定理逆命题的真假,加深对 定理的理解及应用。 6、自主整理,归纳总结 说明:这个环节,学生主动总结本节课学到的知识,将本节课所讲的知识点系统整 理,为后面的函数零点的应用奠定基础. 7、当堂检测,诊断反馈 (1).已知函数 f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表,则函数在哪几 个区间内有零点? x -2 -1 0 1 2 f(x) -1 1 -1 1 -1

(2).判断下列命题的真假: ①只要函数与 x 轴相交,则相应方程一定有实数根。 ( ) ②只要方程有实数根, 则相对应的函数一定与 x 轴相交。且根的个数与交点个数 相同。 ( ) *③若函数 f(x)在区间[a,b]上是连续的,且满足 f(a)f(b)<0,则函数 f(x)在 [a,b]上恰有一个零点。 ( ) *④若连续函数 f(x)在[a,b]上有一个零点,则一定有 f(a)f(b)<0。 ( )(带* 表示选做)
2 (3).在二次函数 y ? ax ? bx ? c 中,ac<0,则其零点的个数为(



A. 1 B. 2 C. 3 D.不存在 2 (4).若 f(x)=(x-1) +1,则 y=f(x)-1 的零点个数( A. 0 B.1 C.0 或 1 D. 不确定 (5). 求函数



y ? ( x ? 2)(x ? 1)(x ? 1) 的零点,并作出它的简图。

说明:本环节用时 8 分钟,考完后小组互换,立即批改.发现问题立即纠正,再 通过课后作业加以巩固. 教师鼓励表扬:根据各小组的课堂表现颁奖-----满分卷奖、主动提问奖、问题探 讨全面奖。 (三) 、课后提升 1、作业反馈,训练巩固 【百度搜索】http://wenku.baidu.com/view/a316ef4be45c3b3567ec8b7f.html 教师用屏幕展示这些练习题,学生完成作业,得以巩固本本节内容。 2、自主选择,深化提高(自主选择) 【百度搜索】http://www.ycy.com.cn/Sdown/ShowSoft.asp?SoftID=98851 有条件的同学有兴趣的同学可以多涉猎关于这方面的习题,加深自己的认识,提 高自己对内容的把握程度。 ※教学反思 本教案已用于实际教学,反思整节课,我有以下感受: (1)方程的根与函数的零点是高中课程标准新增的内容,借助多媒体手段来 辅助教学,比较成功,借助多媒体、网络搜索应用,通过学生熟悉的一元二次函 数入手,体现函数零点与相应方程根的关系,并进行了推广;通过学生的自主探

讨、充分发表意见,解决了函数零点的存在性问题,激发学生的学习兴趣,提高 了课堂效率;同时又培养了学生的自学能力、协作互助能力,以及分析问题、解 决问题的能力。 (2)证明函数在某个区间内只有一个零点,是一个从图象的直观到抽象的代 数证明的理性思维过程。 该节课只从图象直观来认识,没有用函数单调性定义证 明,若选用一个具体的函数进行证明的话,人事会更深刻。 (3)用教科书中的例子“方程 x2-2x-3=0 是否有实根”?引入新课,学生 的反应都很平淡,课后学生认为,大家对如何解一元二次方程早就熟练了,老师 没必要再问那么简单的问题了。 以后再教授该内容是时精良选用用已学方法不能 求解的方程,激发学生的学习积极性,并让其认识到学习函数的零点的必要性。


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