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高三数学二轮专题复习课件:专题7第4讲随机变量及其分布列(理)_图文

走向高考·数学
新课标版 ? 二轮专题复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

走向高考 ·二轮专题复习 ·新课标版 ·数学
专题七 概率与统计
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专题七 第四讲 随机变量及其分布列(理)
专题七 概率与统计

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命题角度聚焦

核心知识整合

学方科法素警能示培探养究

命题热点突破

课后强化作业

专题七 第四讲

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命题角度聚焦
专题七 第四讲

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(1) 以 客 观 题 形 式 考 查 超 几 何 分 布 、 正 态 分 布 、 条 件 概 率,一般为容易题.
(2)将互斥事件、独立事件、条件概率与离散型随机变量 的分布列、期望、方差揉合在一起,综合考查概率知识,难 度为中等.
专题七 第四讲

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核心知识整合
专题七 第四讲

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1.设离散型随机变量X的分布列为: X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则①pi≥0,i=1,2,…,n; ②p1+p2+…+pi+…+pn=1.
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2.二点分布

如果随机变量X的分布列为

,其中

0<p<1,q=1-p,则称离散型随机变量X服从参数为p的二点

分布,期望E(X)=p,方差D(X)=p·(1-p).

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3.超几何分布

一般地,设有总数为N件的两类物品,其中一类有M件,

从所有物品中任取n件(n≤N),这n件中所含这类物品件数X是

一个离散型随机变量,它取值为m时的概率为P(X=m)=

CmMCnN--mM CNn

(0≤m≤l,l为n和M中较小的一个).我们称离散型随

机变量X服从参数为N、M、n的超几何分布.期望E(X)=nNM.

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4.条件概率 在事件A发生的条件下,事件B发生的概率P(B|A)=PP??AAB??. 5.若A、B相互独立,则P(AB)=P(A)·P(B).
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6.独立重复试验与二项分布

一般地,如果在一次试验中事件A发生的概率是p,那么

在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=C

k n

pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).称事件A发生的次数X服从参数

为n、p的二项分布.

若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).

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7.设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn
则E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn,D(X)=(x1- E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn.
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8.正态分布

数学期望为μ,标准差为σ的正态随机变量概率密度函数为

f(x)= 21πσe-?x-2σμ2 ?2,x∈R.

(1)正态曲线的特点

①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;

②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;

③曲线在x=μ处达到峰值σ

1; 2π

④曲线与x轴之间的面积为1;

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⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①所 示;⑥当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越小,曲线越“瘦 高”,表示总体的分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,表 示总体的分布越分散,如图②所示.
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(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值 正态变量在区间(-μ-σ,μ+σ)内取值的概率为68.3%; 正态变量在区间(-μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率为 95.4%; 正态变量在区间(-μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率为99.7%. 9.期望、方差的性质 E(aX+b)=aE(X)+b;D(aX+b)=a2D(X).
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1.正确区分计算独立事件与互斥事件的概率. 2.熟记条件概率公式和独立重复试验概率公式. 3.准确把握表示事件关系的词语与事件运算的关系.
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命题热点突破
专题七 第四讲

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离散型随机变量的分布列、期望与方差
(2013·新课标Ⅱ理,19)经销商经销某种农产品, 在一个销售季度内,每售出1t该产品获利润500元,未售出的 产品,每1t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场 需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季 度购进了130t该农产品.以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一 个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季 度内经销该农产品的利润.
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(1)将T表示为X的函数; (2)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;
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(3)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表 该组的各个值,需求量落入该区间的频率作为需求量取该区 间中点值的概率(例如:需求量X∈[100,110),则取X=105,且 X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率).求T的数学期 望.
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[解析] (1)当X=[100,130)时, T=500X-300(130-X) =800X-39000. 当X∈[130,150]时, T=500×130=65000. 所以T=?????8605000X0-,3193000≤0,X1≤0015≤0.X<130,
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(2)由(1)知利润T不少于57000元当且仅当120≤X≤150. 由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个 销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7. (3)依题意可得T的分布列为
T 45000 53000 61000 65000 P 0.1 0.2 0.3 0.4 所以E(T)=45000×0.1+53000×0.2+61000×0.3+ 65000×0.4=59400.
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(2014·安徽理,17)甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜

两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获

胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为

2 3

,乙获胜的

概率为13,各局比赛结果相互独立.

(1)求甲在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率;

(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数,求X的分布列和均

值(数学期望).

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[分析] ①甲在四局内赢得比赛,即甲前两局胜,或第一 局败,二、三局胜,或第一局胜,第二局败,第三、四局 胜.
②比赛总局数最少2局,最多5局,求概率时,既要考虑 甲胜结束,又要考虑乙胜结束.
③由于各局比赛结果相互独立,故按独立事件公式计算 积事件的概率.
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[解析] 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,Ak表

示“第k局甲获胜”,Bk表示“第k局乙获胜”,则P(Ak)=

2 3



P(Bk)=13,k=1,2,3,4,5.

(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+

P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=(

2 3

)2+

1 3

×(

2 3

)2+

2 3

×

1 3

×(23)2=5861.

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(2)X的可能取值为2,3,4,5. P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)=59, P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3) =P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)=29, P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4) =P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)=1801, P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.
专题七 第四讲

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故X的分布列为

X2 3 4 5

P

5 9

2 9

10 81

8 81

E(X)=2×59+3×29+4×1801+5×881=28214.

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[方法规律总结] 1.求复杂事件的概率的一般步骤: 1°列出题中涉及的各事件,并且用适当的符号表示; 2°理清各事件之间的关系,列出关系式; 3°根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算. 2.直接计算符合条件的事件的概率较繁时,可先间接地 计算对立事件的概率,再求出符合条件的事件的概率.
专题七 第四讲

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3.要准确理解随机变量取值的意义,准确把握每一个事 件所包含的基本事件,然后依据类型代入概率公式进行计 算.
4.概率与统计知识结合的问题,先依据统计知识明确条 件,求出有关统计的结论,再将所求问题简化为纯概率及其 分布的问题,依据概率及其分布列、期望、方差的知识求 解.
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超几何分布 (2014·山西省重点中学联考)学校设计了一个实
验学科的考查方案:考生从6道备选题中一次随机抽取3道题, 按照题目要求独立完成全部实验操作,并规定:在抽取的3道 题中,至少正确完成其中2道题便可通过考查.已知6道备选题 中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能完成;考生乙每题正 确完成的概率都为23,且每题正确完成与否互不影响.
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(1)求考生甲正确完成题目个数ξ的分布列和数学期望; (2)用统计学知识分析比较甲、乙两考生哪位实验操作能 力强及哪位通过考查的可能性大? [分析] ①由“每题正确完成与否互不影响”知这是独立 事件;②由甲6道题中,能正确回答4道题,从中任取3道,则 正确回答题数ξ服从参数为6,4,3的超几何分布;③由乙每题正 确完成的概率都为23,从6道题中选取3道,则正确回答题数η~ B(3,23).
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[解析] (1)设考生甲正确完成实验操作的题目个数为ξ, 则ξ可能取值为1,2,3,
P(ξ=1)=CC14C63 22=15, P(ξ=2)=CC24C63 12=35, P(ξ=3)=CC34C63 02=15,
专题七 第四讲

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所以,考生甲正确完成题目数的分布列为

ξ

1

2

3

P

1 5

3 5

1 5

所以Eξ=1×15+2×35+3×15=2.

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(2)设考生乙正确完成实验操作的题目个数为η,

因为η~B(3,

2 3

),其分布列为:P(η=k)=C

k 3

(

2 3

)k(

1 3

)3-k,k

=0、1、2、3,

所以Eη=3×23=2,

又因为Dξ=(1-2)2×15+(2-2)2×35+(3-2)2×15=25,

Dη=3×23×13=23,

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所以Dξ<Dη, 又因为P(ξ≥2)=35+15=0.8, P(η≥2)=1227+287≈0.74, 所以P(ξ≥2)>P(η≥2). ①从做对题数的数学期望考查,两人水平相当;从做对题 数的方差考查,甲较稳定; ②从至少完成2题的概率考查,甲获得通过的可能性大, 因此,可以判断甲的实验操作能力强.
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一盒中有12个零件,其中有3个次品,从盒中每一次取出 一个零件,取后不放回,求在取到正品前已取次数X的分布列 和期望.
[分析] 由于题设中要求取出次品不再放回,故应仔细分 析每一个X所对应的事件的准确含义.据此正确地计算概率p.
专题七 第四讲

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[解析] X可能的取值为0、1、2、3这四个数,而X=k表 示,共取了k+1次零件,前k次取得的是次品,第k+1次取得 正品,其中k=0、1、2、3.
(1)当X=0时,第1次取到正品,试验中止,此时 P(X=0)=CC11192=34. (2)当X=1时,第1次取到次品,第2次取到正品, P(X=1)=CC11132×CC11191=494.
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(3)当X=2时,前2次取到次品,第3次取到正品, P(X=2)=CC11132×CC11121×CC11190=2920. 当X=3时,前3次将次品全部取出, P(X=3)=CC11132×CC11121×CC11110=2120.
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所以X的分布列为:

X0 1

2

3

P

3 4

9 44

9 220

1 220

E(X)=0×34+1×494+2×2920+3×2120=130.

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[方法规律总结] 如果题目条件是从含A类物品M件,总数为N的A、B两类 物品中,抽取n件,其中含有A类物品件数X为随机变量,则按 超几何分布公式直接计算.
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独立重复试验与二项分布 为了了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员
学生的体身素质,学校对他们的体重进行了测量,将所得的数 据整理后,画出了频率分布直方图(如图),已知图中从左到右 的前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
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(1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,若从 全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选3人,设X表示体重超 过60kg的学生人数,求X的分布列和数学期望. [分析] 先由频率直方图中前三组频率的比及第2小组频 数及频率分布直方图的性质求出n的值和任取一个报考学生体 重超过60kg的概率.再由从报考飞行员的学生中任选3人知, 这是三次独立重复试验,故X服从二项分布.
专题七 第四讲

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[解析] (1)设报考飞行员的人数为n,前3个小组的频率分 别为p1,p2,p3,则由条件可得:
??p2=2p1, ?p3=3p1, ??p1+p2+p3+?0.037+0.013?×5=1. 解得p1=0.125,p2=0.25,p3=0.375. 又因为p2=0.25=1n2,故n=48.
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(2)由(1)可得,一个报考学生体重超过60kg的概率为 P=p3+(0.037+0.013)×5=58, 由题意知X服从二项分布B(3,58), P(x=k)=C3k(58)k(38)3-k(k=0,1,2,3),
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所以随机变量X的分布列为

X0 1 2 3

P

27 512

135 512

225 512

125 512

E(X)=0×52172+1×153152+2×252152+3×152152=185.

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(2014·辽宁理,18)一家面包房根据以往某种面包的销售记 录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
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将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售 量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于 100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求 随机变量X的分布列,期望E(X)及方差D(X).
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[解析] (1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”,A2 表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3 天是有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50 个”,因此
P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6 P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
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(2)X可能取的值为0、1、2、3,相应的概率为 P(X=0)=C03·(1-0.6)3=0.064, P(X=1)=C13·0.6(1-0.6)2=0.288. P(X=2)=C23·0.62(1-0.6)=0.432. P(X=3)=C33·0.63=0.216.
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分布列为

X0

1

2

3

P 0.064 0.288 0.432 0.216

因为X~B(3,0.6) 所以期望E(X)=3×0.6=1.8, 方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.

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[方法规律总结]

1.准确辨别独立重复试验的基本特征(①在每次试验中,

试验结果只有发生与不发生两种情况;②在每次试验中,事件

发生的概率相同),牢记公式Pn(k)=C

k n

pk(1-p)n-k,k=0、1、

2、…、n,并深刻理解其含义,是解二项分布问题的关键.

2.对于复杂事件,要先辨析其构成,依据互斥事件,或

者相互独立事件按事件的和或积的概率公式求解,还要注意含

“至多”,“至少”类词语的事件可转化为对立事件的概率求

解.

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期望与方差的实际应用

(2014·吉林九校联合体摸底)某批发市场对某种

商品的日销售量(单位:t)进行统计,最近50天的统计结果如

下:

日销售量

1

1.5 2

频数

10 25 15

频率

0.2 a

b

(1)求表中的a、b的值;

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(2) 若 以 上 表 频 率 作 为 概 率 , 且 每 天 的 销 售 量 相 互 独 立.求:
①5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5t的概率; ②已知每吨该商品的销售利润为2千元,ξ表示该种商品两 天销售利润的和(单位:千元),求ξ的分布列和期望.
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频数 [分析] (1)由频率=样本容量可求得a,b的值; (2)将频率视作概率,且每天销售量相互独立,因此5天中 销售量为1.5t的天数X~B(5,0.5);由于每吨商品利润2千元,因 此每日利润取值为2,3,4元,任取2天,可得ξ的取值为 4,5,6,7,8,据此可求出分布列与期望.
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[解析] (1)由题意知:样本容量n=10÷0.2=50,∴a= 0.5,b=0.3,
(2)①依题意,随机选取一天,销售量为1.5t的概率p= 0.5,设5天中该种商品有X天的销售量为1.5t,则X~B(5,0,5), P(X=2)=C25×0.52×(1-0.5)3=0.3125.
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②ξ的可能取值为4、5、6、7、8,则: P(ξ=4)=0.22=0.04,P(ξ=5)=2×0.2×0.5=0.2, P(ξ=6)=0.52+2×0.2×0.3=0.37, P(ξ=7)=2×0.3×0.5 =0.3, P(ξ=8)=0.32=0.09,ξ的分布列为:
ξ4 5 6 7 8 P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09 所以:Eξ=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09 =6.2.
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(2014·福建理,18)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的 方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个 标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值 之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3 个均为10元,求:
①顾客所获的奖励额为60元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;
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(2)商场对奖励总额的预算是60000元,并规定袋中的4个 球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20 元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能 符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋 中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.
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[解析] (1)设顾客所获的奖励额为X, (ⅰ)依题意,得P(X=60)=CC11C42 13=12, 顾客所获的奖励额为60元的概率为12; (ⅱ)依题意,得X的所有可能取值为20,60, P(X=60)=12,P(X=20)=CC2324=12.
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即X的分布列为

X

20

60

P

0.5

0.5

∴顾客所获的奖励额的期望E(X)=20×0.5+60×0.5=

40(元).

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(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励为60元,所以 先寻找期望为60的可能方案,对于面值由10元和50元组成的 情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的 最大值,所以期望不可能是60元;如果选择(50,50,50,10)的方 案 , 因 为 60 元 是 面 积 之 和 最 小 值 , 所 以 期 望 也 不 可 能 是 60 元,因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案1,
对 于 面 值 由 20 元 和 40 元 组 成 的 情 况 , 同 理 可 排 除 (20,20,20,40) 和 (40,40,40,20) 的 方 案 , 所 以 可 能 的 方 案 是 (20,20,40,40),记为方案2,
专题七 第四讲

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以下是对两个方案的评价:

对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获奖励额为

X1,则X1的分布列为

X1 20 60 100

P

1 6

2 3

1 6

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X1的期望为E(X1)=20×16+60×23+100×16=60,

X1的方差为D(X1)=(20-60)2×

1 6

+(60-60)2×

2 3

+(100-

60)2×16=16300 .

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对于方案2,即方案(20,20,40,40)设顾客所获的奖励额为

X2,则X2的分布列为

X2

40

60

80

P

1 6

2 3

1 6

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X2的期望为E(X2)=40×16+60×23+80×16=60,

X2的方差为D(X2)=(40-60)2×

1 6

+(60-60)2×

2 3

+(80-

60)2×16=4300.

由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励

额的方差比方案1的小,所以应选择方案2.

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[方法规律总结] 解决概率的实际应用问题,先通过审题,将条件翻译为 解题需要的数学语言,再依据条件判明概率类型、弄清随机 变量取值时所表示事件的含义,并把复杂事件进行合理的分 拆,转化为简单事件,最后代入对应公式进行计算.
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学科素能培养
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对离散型随机变量取值的意义不明确,答题不规 范
(2013·济宁三模)某项选拔共有三轮考核,每轮 设有一个问题,回答问题正确者进入下一轮考核,否则即被淘 汰,已知某选手能正确回答一、二、三轮问题的概率分别为 45、35、25,且各轮问题能否正确回答互不影响.
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(1)求该选手被淘汰的概率; (2)记该选手在考核中回答问题的个数为X,求随机变量X 的分布列与数学期望. [错解] (1)由题意知P=1-45×35×25=110215. (2)X的可能取值为1、2、3. 则P(X=1)=15, P(X=2)=45×25=285, P(X=3)=45×35×25=12245.
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∴X的分布列为

X1

2

3

P

1 5

8 25

24 125

∴E(X)=1×15+2×285+3×12245=117275.

[辨析] 解题过程粗线条,没有具体给出各具体事件及其

对应的概率,对事件含义理解不准.

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[正解] (1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”为事件 Ai(i=1、2、3),则P(A1)=45,P(A2)=35,P(A3)=25.
∴该选手被淘汰的概率P=1-P(A1A2A3)=1- P(A1)·P(A2)·P(A3)=1-45×35×25=110215.
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(2)X的所有可能取值为1、2、3.

则P(X=1)=P(-A 1)=15,

P(X=2)=P(A1

-A

2)=P(A1)P(

-A

2)=

4 5

×

2 5



8 25

,P(X=3)=

P(A1A2)=P(A1)P(A2)=45×35=1225,

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∴X的分布列为

X1

2

3

P

1 5

8 25

12 25

∴E(X)=1×15+2×285+3×1225=5275.

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[警示] 解答离散型随机变量的综合问题,首先要正确辨 明事件的关系及运算,能将题中事件用基本事件表示;其次 依据互斥、对立、独立事件公式和常见概率分布模型等正确 列出分布列,还要用规范的语言加以表述,条理写出解答过 程.
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对条件概率不理解致误 (1)甲罐中有5个红球,2个白球和3个黑球,乙
罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一 球放入乙罐,分别以A1、A2和A3表示由甲罐取出的球是红球, 白球和黑球的事件;再从乙罐中取出一球,以B表示由乙罐取 出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是________(写出 所有正确结论的编号).
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①P(B)=25; ②P(B|A1)=151; ③事件B与事件A1相互独立; ④A1、A2、A3是两两互斥的事件; ⑤P(B)的值不能确定,因为它与A1、A2、A3中究竟哪一个 发生有关.
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[错解] 填②④⑤.

∵从甲罐中拿出的球是什么球不清楚,∴P(B)的值不能确

定,因此⑤对,①错;又在A1发生的条件下,乙罐中共11个

球,其中有5个红球,∴P(B|A1)=

5 11

,故②正确,③错误;由

于从甲罐中取出一球,A1,A2,A3中任意两个不会同时发生,

故A1,A2,A3互斥,∴④正确.

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[辨析] 从甲罐中取出一球放入乙罐后,再从乙罐中取出 一球,该球是红球,这是条件概率问题.

[正解]

由条件知A1,A2,A3两两互斥且P(A1)=

1 2

,P(A2)

=15,P(A3)=130.

P(B|A1)=151,P(B|A2)=141,P(B|A3)=141.

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因此P(B)=P(BA1+BA2+BA3)=P(BA1)+P(BA2)+P(BA3)

=P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)=

1 2

×

5 11



1 5

×

4 11

+130×141=292,故①③⑤错,②④正确.

[警示] 要正确依据题目背景分清事件A与B同时发生的概 率和在事件A发生的条件下B发生的概率.

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(2014·新课标Ⅱ理,5)某地区空气质量监测资料表明,一

天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是

0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为

优良的概率是( )

A.0.8

B.0.75

C.0.6

D.0.45

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[答案] A [解析] 本题考查条件概率的求法. 设A=“某一天的空气质量为优良”,B=“随后一天的 空气质量为优良”,则 P(B|A)=P?PA?∩A?B?=00.7.65=0.8,故选A.
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