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江西省南昌市第三中学2015-2016学年高一数学上学期期中试题

南昌三中 2015—2016 学年度上学期期中考试 高一数学试卷
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x ? 2 ? x ? 3} , B ? {x x ? ?1或x ? 4} ,则 A ? (CU B) ? ( )

A. {x ? 2 ? x ? 4}
D. {x ?1 ? x ? 3}
2

B.

{x x ? 3或x ? 4}

C. {x ? 2 ? x ? ?1}

2.函数 y ? log2 (5 ? 4x ? x ) 的递增区间是





A. (??,?2]
A. C.
3 0.4

B. [?5,?2]
( B. D. ).

C. [ ?2,1]

D. [1,??)

3.下列大小关系正确的是

0.4 <3 <log4 0.3 log4 0.3<0.43<30.4
2 1 1 1

0.43<log4 0.3<30.4 log4 0.3<30.4<0.43
( )

4.化简 ( a 3 b 2 )(?3a 2 b 3 ) ? ( A. ? 9 a

5 1 1 a 6 b 6 ) 的结果 3

B. ? a

C. 6 a )

?9a D.

2

1 5 已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lnx,则 f(f( 2))的值为( e A. 1 1 B.- ln2 ln2 C.-ln2 D.ln2

6.设 m,n,p 均为正数,且 3 =lo A.m>p>q B.p>m>q

m

m,

=log3p, C.m>q>p

=lo D.p>q>m

q,则(

)

7、 若函数 y=f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(0,4)内仅有一 个实数根,则 f(0)·f(4)的值( A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 ) D.无法判断
y(m 2 )

8. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m 2 )与时间 t (月)的关系: y = at ,有以下叙述:① 这个指数函数的底数是 2;② 第 5 个月时,浮萍 的面积就会超过 30m 2 ;③ 浮萍从 4m 2 蔓延到 12m 2 需要经过 1.5 个月;④ 浮萍每个月增加的面积都相等.其中正确的是( ). A. ①②③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①②

8 4 2

O 12 3

t( 月 )
1

9.函数 y=

的图像大致是(

)

10. 下列命题中不 正确的是 . A. loga b? logb c? logc a = 1 (a,b,c 均为不等于 1 的正数)
x - x B.若 x log3 4 = 1 ,则 4 + 4 =

(

)

10 3

C.函数 f ( x) = ln x 满足 f (a + b) = f (a)?f (b) (a, b > 0) D.函数 f ( x) = ln x 满足 f (a? b) = f (a) + f (b) (a, b > 0) 11.已知函数y=f(x),对任意的两个不相等的实数 x1 , x2 都有

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 成立,且f(0)≠0,则f(-2015)?f(-2014)
f(-1)f(0)f(1)… ?f(2014) ?f(2015) 的值是 A.0 B.1 C.2006 ( ) D. 2006
2

?…

12. 函数 f(x)对于任意的 x∈R 恒有 f(x)<f(x+1),那么( ) A、f(x)是 R 上的增函数 B、f(x)可能不存在单调的增区间 C、f(x)不可能有单调减区间 D、f(x)一定有单调增区间 二:填空题: (本大题共 4 小题,每小 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=
2

+lg(2x+3)的定义域为
2

.

14. 若函数 f(x)=x ln(x+ a ? x )为奇函数,则 a= 15. 若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的范围是
x ? ??2 ( x ? 0) 16 设 f(x)=-x, g ( x ) ? ? 2 则方程 f[g(x)]-2=0 的解是________. ? ?? x ( x ? 0)
x

.

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17、 (10 分)设全集 U={不大于 20 的质数},且 A∩(C∪B)={3,5},(C∪A)∩B={7,19},(C∪A)∩(C∪ B)={2,11},求集合 A、B.

2

18、 (12 分)化简求值: (lg 5) 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 20 ? 4 (?4) 2 ? 6 125 ? 2

1 (1? log2 5) 2

19、 (12 分)某小型自来水厂的蓄水池中存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来 水 60 吨, 若蓄水池向居民小区不间断地供水, 且 t 小时内供水量为 120 6t 吨 (0≤t≤24) . 问 (1)供水开始几小时后,蓄水池中的水量最少?最少水量为多少吨? (2)若蓄水池中的水量少于 80 吨,就会出现供水紧张现象,试问在一天的 24 小时内, 有多少小时会出现供水紧张现象,并说明理由.

20 (12 分) .函数 y = a2 x + 2a x - 1(a > 0且a ? 1)在区间[-1,1]上的最大值为 14, 求a的 值。

21(12 分)已知幂函数 f ( x) ? x

?2 m2 ? m?3

(m ? Z ) 为偶函数,且在 (0,??) 上是增函数.

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 g ( x) ? loga [ f ( x) ? ax](a ? 0, a ? 1) 在区间 (2,3) 上为 增函数,求实数 a 的取值范围.

3

22、 (12 分)定义在 D 上的函数 f ( x ) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有

f ( x) ? M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的一个上界.已知
5 1? x ?1? ?1? 函数 f ( x) ? 1 ? a? ? ? ? ? , g ( x) ? log 1 . (1)求函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所 3 ?2? ?4? 2 x ?1 有上界构成的集合; (2)若函数 f ( x ) 在 [0,??) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取
值范围.
x x

南昌三中高一上数学期中考试卷 一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? R ,集合 A ? {x ? 2 ? x ? 3} , B ? {x x ? ?1或x ? 4} ,则 A ? (CU B) ? ( ) D
2

A. {x ? 2 ? x ? 4}

B. {x x ? 3或x ? 4} C. {x ? 2 ? x ? ?1}

D. {x ?1 ? x ? 3}

2.函数 y ? log2 (5 ? 4x ? x ) 的递增区间是





A. (??,?2]
A. C.
3 0.4

B. [?5,?2]
( B. D.
1 3

C. [ ?2,1]
).
3

D. [1,??)

B

3.下列大小关系正确的是

0.4 <3 <log4 0.3 log4 0.3<0.43<30.4
2 3 1 2 1 2

0.4 <log4 0.3<30.4 log4 0.3<30.4<0.43
( ) D. ?9a
2

C

5 1 1 6 6 4.化简 ( a b )(?3a b ) ? ( a b ) 的结果 3

A. ? 9 a

B. ? a

C. 6 a

A )

1 5 已知函数 f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lnx,则 f(f( 2))的值为( e 1 1 A. B.- C.-ln2 D.ln2 C ln2 ln2

4

6.设 m,n,p 均为正数,且 3 =lo

m

m,

=log3p,

=lo

q,则(

)

A.m>p>q B.p>m>q C.m>q>p D.p>q>m D 7、 若函数 y=f(x)在区间[0,4]上的图像是连续不断的曲线,且方程 f(x)=0 在(0,4)内仅有一 个实数根,则 f(0)·f(4)的值( ) A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.无法判断 D 8. 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积( m 2 )与时间 t (月)的关系: y = at , 有以下叙述:① 这个指数函数的底数是 2;② 第 5 个月时,浮萍的面积就会超过 30m 2 ; ③ 浮萍从 4m 2 蔓延到 12m 2 需要经过 1.5 个月; ④ 浮萍每个月增加的面积 都相等.其中正确的是( ). A. ① ② ③ B. ① ② ③ ④ C. ② ③ ④ D. ① ② D
y(m 2 )

8 4 2

O 12 3
9.函数 y= 的图像大致是( )

t( 月 )

C 10. 下列命题中不 正确的是 . A. loga b? logb c? logc a = 1 (a,b,c 均为不等于 1 的正数) ( )

B.若 x log3 4 = 1 ,则

4 x + 4- x =

10 3 C.函数 f ( x) = ln x 满足 f (a + b) = f (a)?f (b) (a, b > 0) D.函数 f ( x) = ln x 满足 f (a? b) = f (a) + f (b) (a, b > 0)

C

11 . 已 知 函 数 y=f(x), 对 任 意 的 两 个 不 相 等 的 实 数

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )
2

x1
B. 1

,

x2

都 有 C. 2006

成 立 , 且 f(0) ≠ 0, 则 f(-2015) ? f(-2014) ? … ( )A. 0

f(-1)f(0)f(1)… ?f(2014) ?f(2015) 的值是

D. 2006 B 12. 函数 f(x)对于任意的 x∈R 恒有 f(x)<f(x+1),那么( ) A、f(x)是 R 上的增函数 B、f(x)可能不存在单调的增区间 C、 f(x)不可能有单调减区间 D、 f(x)一定有单调增区间 二:填空题: (本大题共 4 小题,每小 5 分,共 20 分) 13.函数 f(x)=
2

B

+lg(2x+3)的定义域为
2

. 答案: 答案 1 答案:(1,+∞).

14. 若函数 f(x)=x ln(x+ a ? x )为奇函数,则 a=
x

15. 若函数 f(x)=a -x-a(a>0 且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的范围是

5

16 设 f(x)=-x, g ( x ) ? ?

??2 x ( x ? 0) ? 则方程 f[g(x)]-2=0 的解是______.答案 x ? 2 2 ? ?? x ( x ? 0)

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分) 17、 (10 分)设全集 U={不大于 20 的质数},且 A∩(C∪B)={3,5},(C∪A)∩B={7,19},(C∪A)∩(C∪ B)={2,11},求集合 A、B. 解:∪={2,3,5,7,11,13,17,19} 由(C∪A)∩(C∪B)=C∪(A∩B)={2,11}知 A∪B={3,5,7,13,17,19},将它们及已知条件的有关数据填 入 Venn 图中. 由图可知: A={3,5,13,17} B={7,13,17,19} 18、 (12 分)化简求值: (lg 5) 2 ? lg 2 ? lg 5 ? lg 20 ? 4 (?4) 2 ? 6 125 ? 2 解:原式 ? lg 5(lg5 ? lg 2) ? lg 20 ? 2 5 ? 2 ? 2
log2 5
1 (1? log2 5) 2

? lg 5 ? lg 20 ? 2 5 ? 2 5

?2

19、 (12 分)某小型自来水厂的蓄水池中存有 400 吨水,水厂每小时可向蓄水池中注入自来 水 60 吨, 若蓄水池向居民小区不间断地供水, 且 t 小时内供水量为 120 6t 吨 (0≤t≤24) . 问 (1)供水开始几小时后,蓄水池中的水量最少?最少水量为多少吨? (2)若蓄水池中的水量少于 80 吨,就会出现供水紧张现象,试问在一天的 24 小时内,有 多少小时会出现供水紧张现象,并说明理由. 解: (1)设 t 小时后蓄水池中水量为 y 吨, 则 y ? 400 ? 60t ?120 6t ,令 6t ? x ,则 0≤x≤12. ∴y=400+10x -120x=10(x-6) +40. 当 x=6,则 t=6 时, ymin ? 40 ,即从开始供水 6 小时后蓄水池中水最少,最少水量为 40 吨. 2 (2)由 400+10x -120x<80,得 4<x<8. 即 4 ? 6t ? 8 ,∴
2 2

8 32 32 8 ?t ? ? ? 8, ,∵ 3 3 3 3
x

∴在一天的 24 小时内,有 8 小时供水紧张. 20 (12 分) .函数 y = a + 2a - 1(a > 0且a ? 1)在区间[-1,1]上的最大值为 14, 求a的 值。 [解] ? y = a + 2a - 1 = (a + 1) - 2 当 a > 1时,x ? [ 1,1], 有
2x x x 2 2x

1 #a x a

a.则ymax = (a + 1) 2 - 2 = 14
当 0 < a < 1时,x ? [ 1,1], 有a #a
x

\ a + 1= 4
则:

\

a = 3或a = - 5(舍去)

1 , a

6

1 ymax = ( + 1) 2 - 2 = 14. a
综上所述: a = 3或a =

\
1 . 3

1 + 1 = ? 4. a

\

1 1 1 = 3或 = - 5 (舍去) \ a = a a 3

21(12 分)已知幂函数 f ( x) ? x ?2m

2

? m ?3

(m ? Z ) 为偶函数,且在 (0,??) 上是增函数.

(1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 g ( x) ? loga [ f ( x) ? ax](a ? 0, a ? 1) 在区间 (2,3) 上为增函 数,求实数 a 的取值范围.

3 . 2 又 m ? Z , m ? 0或m ? 1 ,………4 分 而 f ( x) 为偶函数,? m ? 1, f ( x) ? x 2 …………6
解: (1)? f ( x) ? x ?2m
2

? m ?3

在 (0,??) 增,? ?2m2 ? m ? 3 ? 0 ,? ?1 ? m ?

分 (2) g ( x) ? loga [ f ( x) ? ax](a ? 0, a ? 1) 在 (2,3) 上为增函数,

g ( x) ? loga ( x2 ? ax) 由 y ? loga u 和 u ? x 2 ? ax 复合而成,
当 0 ? a ? 1 时, y ? loga u 减函数, u ? x 2 ? ax 在 (2,3) 为增函数,复合为减,不符

? a ?1 ? a ?? ? 2 ,1 ? a ? 2 ……………………………………………………………12 分 ? 2 ?4 ? 2a ? 0
22、 (12 分)定义在 D 上的函数 f ( x ) ,如果满足:对任意 x ? D ,存在常数 M ? 0 ,都有

f ( x) ? M 成立,则称 f ( x) 是 D 上的有界函数,其中 M 称为函数 f ( x) 的一个上界.已知
5 1? x . (1)求函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所 3 2 x ?1 有上界构成的集合; (2)若函数 f ( x ) 在 [0,??) 上是以 3 为上界的有界函数,求实数 a 的取
函数 f ( x) ? 1 ? a? ? ? ? ? , g ( x) ? log 1

?1? ?2?

x

?1? ?4?

x

值范围.

1? x 1? x 5 ,函数 g ( x) ? log1 在区间 [ ,3] 上单调递增, x ?1 x ?1 3 2 2 1? x 5 所以函数 g ( x) ? log1 在区间 [ ,3] 上的值域为 [ ?2,?1] , x ?1 3 2 5 所以 g ( x) ? 2 ,故函数 g ( x) 在区间 [ ,3] 上的所有上界构成集合为 [2,??) .………5 分 3 ( 2 ) 由 题 意 知 , f ( x) ? 3 在 [0,??) 上 恒 成 立 . ? 3 ? f ( x) ? 3 ,
22. 解(1) g ( x) ? log1

?1? ?1? ?1? ?1? ?1? ? 4 ? ? ? ? a? ? ? 2 ? ? ? . ? ?4 ? 2 x ? ? ? ? a ? 2 ? 2 x ? ? ? ?4? ? 2? ?4? ? 2? ? 2? x x ? ? ?1? ? ?1? ? x ? a ? ?2 ? 2 x ? ? ? ? 在 [0,??) 上恒成立.? ?? 4 ? 2 ? ? ? ? ……………8 分 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? max ? ? min 1 1 x 设 2 ? t , h(t ) ? ?4t ? , p (t ) ? 2t ? ,由 x ? [0,??) 得 t ? 1 t t


x

x

x

x

x

7

1 ? t1 ? t2 , h(t1 ) ? h(t2 ) ?

? t1 ? t2 ?? 2t1t2 ? 1? ? 0 (t1 ? t2 )(4t1t2 ? 1) , ? 0 , p(t1 ) ? p(t2 ) ? t1t2 t1t2 所以 h(t ) 在 [1,??) 上递减, p(t ) 在 [1,??) 上递增,………………………………10 分 h(t ) 在 [1,??) 上的最大值为 h(1) ? ?5 , p(t ) 在 [1,??) 上的最小值为 p(1) ? 1 . 所以实数 a 的取值范围为 [?5,1] ………………………………………………………12



8



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