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广西桂林中学2014届高三10月月考数学试题答案(文)


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2013-2014 桂林中学高三十月考试题(文科数学)
试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分. 考试时间:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 化简 2 ?
3 4
3 4 1 3

A. 2 2.“ ? ?

?
4

B.

2 2

C. 4

D. 2 3 2

”是“ sin 2? ? 1 ”的 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 3. 函数 y= ? x (x ? 0)的反函数是 A. y ? x (x ? 0)
2

B. y ? ? x (x ? 0)
2

C. y ? x (x ? 0)
2

D.

y ? ? x 2 (x ? 0)

a? 4. 设向量 a ? (1,0) , b ? ( , ) ,则下列结论中正确的是 b?
A. a ? b
? ?

?

?

1 1 2 2

B. a? b ?

? ?

2 2

C. a ? b 与 b 垂直

?

?

?

?

?

D. a// b

5. 设曲线 y ? ax2 在点 (1, a ) 处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ? A.-1 B. 1 2 C. ? 1 2 D.1

? x2 ? 1 x ? 1 ? 6. 设函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( f (3)) ? x ?1 ? ?x
A.





1 5

B.3

C.

2 3

D.

13 9

1 7. 若 tanθ + =4,则 sin2θ = tanθ 1 1 A. B. 5 4 8.函数 y ? 2sin 2 (

C.

1 2

D.

1 3

?
4

? x) ? 1 是

一品高考网 www.gaokw.com 免费提供广东高考、高考复习资料 A.最小正周期为 ? 的奇函数 C.最小正周期为
2

B.最小正周期为 ? 的偶函数 D.最小正周期为

?
2

的奇函数

?
2

的偶函数

9. 函数 f ( x) ? ln( x ? 1) 的图象大致是

A.

B.

C.

D.
x

10. 函数 f ( x) 定义在实数集上有 f ( x ? 1) ? f (1 ? x) ,且当 x ? 1时, f ( x) ? 3 ? 1 ,则有

1 3 2 2 3 1 B. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 1 C. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) D. f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 3 3 2 2 3 3 ? 1 2? 11. sin( ? ? ) ? ,则 cos( ? 2? ) 的值等于
A. f ( ) ? f ( ) ? f ( )

6

3

3

A. ?

5 9

B. ?

7 9

C.

5 9

D.

7 9

12. 已知椭圆 C :

x2 y2 x2 y2 3 ,双曲线 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 ? ? 1 的渐近线与椭 a2 b 2 2 2

圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为 16,则椭圆的方程为 A.

x2 y2 ? ?1 8 2

B.

x2 y2 ? ?1 12 6

C.

x2 y2 ? ?1 16 4

D.

x2 y2 ? ?1 20 5

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在答题卡中横线上. 13. log 2 9 ? log3 4 ? 14. 已知 ? ? (

?

3 ? , ? ),sin ? ? , 则 tan(? ? ) 的值为 2 5 4
2

15. 命题“存在 x ?R ,使 x ? 2 x ? m ? 0 ”是假命题,则实数 m 的取值范围为 16. 对于函数 假: 命题甲:f(x+2)是偶函数; 命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数; 命题丙:f(x+2)-f(x)在(-∞,+∞)上是增函数. ①f(x)=lg(|x-2|+1), ②f(x)=(x-2)2, ③f(x)=cos(x+2), 判断如下三个命题的真

一品高考网 www.gaokw.com 免费提供广东高考、高考复习资料 能使命题甲、乙、丙均为真的所有函数的序号是 ______ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 已知 {an } 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 . (I)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若等比数列 {bn } 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求

?a b ?的前 n 项和公式
n n

18. (本小题满分 12 分)

? ? ? ? ? ? ? ? 已知 O为坐标原点,OA x OB3 x x ) fx O B . , ? 2, ( 2 1 ? 2sin 1 () A ? sin ), ( 1 , ? cos ? ? ? Om
(Ⅰ)求 y? f (x 的单调递增区间; ) (Ⅱ)若 f (x ) 的定义域为 [

? , ? ] ,值域为[2,5],求 m 的值. 2

19. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已

3 sin 2 A ? sin C cos B ? sin B cos C , 2

(Ⅰ)求 sin A 的值;

(Ⅱ)若 a ? 1, cos B ? cos C ?

2 3 ,求边 c 的值. 3

20. (本小题满分 12 分) 质检部门将对 12 个厂家生产的婴幼儿奶粉进行质量抽检,若被抽检厂家的奶粉经检验合 格,则该厂家的奶粉即可投放市场;若检验不合格,则该厂家的奶粉将不能投放市场且作废 品处理。假定这 12 个厂家中只有 2 个厂家的奶粉存在质量问题(即检验不能合格) ,但不知 道是哪两个厂家的奶粉.

一品高考网 www.gaokw.com 免费提供广东高考、高考复习资料 (I)从中任意选取 3 个厂家的奶粉进行检验,求至少有 2 个厂家的奶粉检验合格的概率; (Ⅱ)每次从中任意抽取一个厂家的奶粉进行检验(抽检不重复) ,求恰好在第二次抽检到 合格奶粉的概率.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,点 P(1, f (1)) 在函数 y ? f (x) 的图象上,过P点的切
3 2

线方程为 y ? 3x ? 1 . (Ⅰ)若 y ? f (x) 在 x ? ?2 时有极值,求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)若函数 y ? f (x) 在区间 ?? 2,1? 上单调递增,求实数 b 的取值范围.

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 , 最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , B 两点( A,B 不是左,右顶点) ,且以

AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

桂林中学 2014 届高三十月考(文科数学)答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

一品高考网 www.gaokw.com 免费提供广东高考、高考复习资料 答案 D A B C D D C A A B B D

二、填空题: 14、 ?

13、 4

1 7

15、

(1, ??)

16、 ②

三、解答与证明题: (本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明证明过程或演算 步骤) 17. (本小题满分 10 分) 解: (I)设等差数列 {an } 的公差 d . 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 ,所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6, 解得 a1 ? ?10, d ? 2 ? a1 ? 5d ? 0,

所以 an ? ?10 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 12 .......5 分 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q ,因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ? 24, b1 ? ?8 , 所以 ?8q ? ?24 ,即 q =3, 所以Sn=-8[ 所以

b

n

? ( ?8) 3

n ?1

13 13 n ? (n ? ) 3 ]......10分 2 2
2

18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) fx 2 x2 sin ? m (? ) sin 3 x x ? ? cos 1

? 2 x sin? = 2 2 ? ? ? = 1cos 3 x 1m? sin( )? ? ?? 4 分 x 2 m


?

? 2 ?x ? 3 ?k (k?Z) ?2 ?k 2? ? ? ?
2 6 2

6

2 ? ] (k?Z) ??6 分 6 3 ? 7 ? ? 13 ? ?2 ? ? x (Ⅱ)当 ? x ? ? 时, ??8 分 2 6 6 6 ? 1 1 sin( x ∴ ? ? 2 ? )? ∴ 1mf x?? , ? ?() 4 m 6 2 k ? 得 y? f (x 的单调递增区间为 [ ?? ,k ? )

?

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∴?

1 ? ?m?2 ? ?1??12 分 m 4 ? ?m?5

19. (本小题满分 12 分) 解答:(Ⅰ)由

3 sin 2 A ? sin C cos B ? sin B cos C 得 2 3 sin A cos A ? sin( B ? C ) ? sin A , , 1 , 3

由于 ?ABC 中 sin A ? 0 ,? 3 cos A ? 1 , cos A ?

? sin A ? 1 ? cos 2 A ?

2 2 , ??6 分 3 2 3 2 3 得 ? cos( A ? C ) ? cos C ? , 3 3

(Ⅱ)由 cos B ? cos C ?

即 sin A sin C ? cos A cos C ? cos C ?

2 3 2 2 2 2 3 ,? sin C ? cos C ? 3 3 3 3 6 , 3

得 2 sin C ? cos C ?

3 , cos C ? 3 ? 2 sin C ,平方得 sin C ?

由正弦定理得 c ?

a sin C 3 ? sin A 2

??12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (I)任意选取 3 个厂家进行抽检,至少有 2 个厂家的奶粉检验合格有两种情形;一是选 取抽检的 3 个厂家中,恰有 2 个厂家的奶粉合格,此时的概率为 P ? 1
2 1 C10C2 9 ? 3 C12 22

2分

3 C10 12 二是选取抽检的 3 个厂家的奶粉均合格,此时的概率为 P2 ? 3 ? ……4 分 C12 22 21 故所求的概率为 P ? P ? P2 ? …………6 分 1 22

(Ⅱ)记 A 恰好在第二次抽检到合格奶粉的事件,则 P( A) ? 21、 (本小题满分 12 分)

2 1 1 …12 分 ? ? 12 11 66

解:(1)? x ? ?2 是方程 f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 的根,?14 ? 4a ? b ? 0
2

又切线的斜率,即 f ' ( x) 在 x ? 1时的值,?3 ? 2a ? b ? 3

…….2 分

且点 P 既在函数 y ? f (x) 的图像上,又在切线 y ? 3x ? 1 上,

? f (1) ? 4 ? 1 ? a ? b ? c

……..4 分

一品高考网 www.gaokw.com 免费提供广东高考、高考复习资料 解得 a ? 2, b ? ?4, c ? 5 ,故 f ( x) ? x ? 2 x ? 4 x ? 5
3 2

…….6 分

(2)?曲线在点 P 处的切线方程为 y ? 3x ? 1 ? f ' (1) ? 3 ,得 2a ? ?b . 欲使函数 y ? f (x) 在区间 [?2,1] 上单调递增, 只需当 ? 2 ? x ? 1 时, f ' ( x) ? 3x ? 2ax ? b ? 0 成立.
2

即 3x ? b( x ? 1) 成立……8 分
2

当 x ? 1时对一切的实数 b 不等式 3x ? b( x ? 1) 成立
2

3x 2 当 ? 2 ? x ? 1 时,则 ? 3 ? x ? 1 ? 0 ,可以化不等式为 b ? , x ?1 3x 2 此时 的最大值为 0 . x ?1 故 b ? 0 时 y ? f (x) 在区间 [?2,1] 上单调递增 ……12 分
22. (本小题满分 12 分) (I) ?

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

………………4 分

? y ? kx ? m ? (II)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 得 y2 ? ?1 ? 3 ? 4 2 2 2 (3 ? 4k ) x ? 8mkx ? 4(m ? 3) ? 0

? ? 64m2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .

x1 ? x2 ? ?

8mk 4(m2 ? 3) , x1 ? x2 ? . 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

……6 分

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

?以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), k AD ? k BD ? ?1 ,
? y1 y2 ? ? ?1, y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2 ………………7 分

3(m 2 ? 4k 2 ) 4(m 2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 ……9 分
解得 m1 ? ?2k , m2 ? ?

7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0



2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 . …10 分 7 当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾; 2k 2 2 当m ? ? 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). ……………12 分 7


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