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2009年高考数学试题分类汇编09——圆锥曲线


2009 年高考数学试题分类汇编 09——圆锥曲线

2009 年高考数学试题分类汇编 09——圆锥曲线 ——圆锥曲线 ——
*******************大纲版教材 大纲版教材********************** 大纲版教材 1、 (北京理 8)点 P 在直线 l : y = x ? 1 上,若存在过 P 的直线交抛物线 y = x 于 A, B 两点,且
2

| PA =| AB | ,则称点 P 为“
A.直线 l 上的所有点都是“

点” ,那么下列结论中正确的是





点”

B.直线 l 上仅有有限个点是“

点”

C.直线 l 上的所有点都不是“

点”

D.直线 l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“

点”

2、 (北京文 8)设 D 是正 ?P P2 P3 及其内部的点构成的集合,点 P0 是 ?P P2 P3 的中心,若集合 1 1

S = {P | P ∈ D,| PP0 |≤| PPi |, i = 1, 2, 3} ,则集合 S 表示的平面区域是
A. 三角形区域 B.四边形区域 C. 五边形区域

(

) D.六边形区域

3、 (湖北理 7)已知双曲线

x2 y 2 x2 y 2 ? = 1 的准线过椭圆 + 2 = 1 的焦点,则直线 y = kx + 2 与椭圆至 2 2 4 b
) B. K ∈ ? ?∞, ? ? 2 D. K ∈ ? ?∞, ?
x2 y2 ? = 1的准线经过椭圆 2 2

多有一个交点的充要条件是( A. K ∈ ? ?

? 1 1? , ? 2 2? ?

? ?

1?

U ? , +∞ ? ? ? ?2

?1

?

C. K ∈ ? ?

? ?

2 2? , ? 2 2 ?

? ? ?

? 2? ? 2 , +∞ ? ?U? ? 2 ? ? 2 ?
x2 y2 + 2 = 1 (b>0)的焦点,则 b=( 4 b

4、 (湖北文 5)已知双曲线 B. 5



A.3

C. 3

D. 2

5、 (湖南文 2)抛物线 y 2 =-8x 的焦点坐标是 ( ) A. (2,0) B. (- 2,0) C. (4,0)
2 2

D. (- 4,0)

6、 (江西理 6)过椭圆
o

x y + 2 = 1 ( a > b > 0 )的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P , F2 为右焦点, 2 a b


若 ∠F1 PF2 = 60 ,则椭圆的离心率为( A.

2 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

1 3

7、 (江西文 7)设 F1 和 F2 为双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0,b > 0) 的两个焦点,若 F1 , F2 ,P(0,2b) a2 b2


是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( A.

3 2

B.2

C.

5 2

D.3

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x2 y2 2 8、 (全国 1 理 4)设双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y = x + 1 相切,则该双曲线 a b
的离心率等于( (A) 3 ) (B)2 (C) 5 (D) 6

9、 (全国 1 理 12) 已知椭圆 C : 若 FA = 3FB ,则 | AF | =( (A).

x2 + y 2 = 1 的右焦点为 F ,右准线为 l , A ∈ l , 点 线段 AF 交 C 于点 B , 2

uuu r

uuu r

uuuu r



2

(B). 2

(C). 3

(D). 3

10、 (全国 1 文 5)设双曲线 线的离心率等于( (A) 3 )

x2 y2 - 2 =1 ( a>0,b>0 ) 的渐近线与抛物线 y=x2+1 相切,则该双曲 2 a b

(B)2

(C) 5

(D) 6

x2 11、 (全国 1 文 12)已知椭圆 C : + y 2 = 1 的右焦点为 F,右准线 l ,点 A ∈ l ,线段 AF 交 C 于点 B。 2 uuu r uuu r uuur 若 FA = 3FB ,则 AF =( )
(A)

2

(B) 2

(C)

3

(D) 3

12、 (全国 2 理 9 文 11)已知直线 y = k ( x + 2 )( k > 0 ) 与抛物线 C : y 2 = 8 x 相交于 A、B 两点,F 为

C 的焦点,若 | FA |= 2 | FB | ,则 k = (



A.

1 3

B.

2 3

C.

2 3
x2 a

D.

2 2 3

13、 (全国 2 理 11)已知双曲线 C: 2 ?

y2 = 1( a > 0, b > 0 ) 的右焦点为 F ,过 F 且斜率为 3 的直线 b2
w.w.

交 C 于 A、B 两点,若 AF = 4 FB ,则 C 的离心率为 w.k.s A.





6 5

B.

7 5

C.

5 8

D.

9 5


x2 y2 14、 (全国 2 文 8)双曲线 ? = 1 的渐近线与圆 ( x ? 3) 2 + y 2 = r 2 (r > 0) 相切,则 r=( 6 3
(A) 3 (B)2 (C)3 (D)6

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15、 (陕西理 7 文 7) m > n > 0 ”是“方程 mx + ny = 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆”的 ( “
2 2



(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

w.w. w. k.s.5 .u.c.o.m

(B)必要而不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

16、 (四川理 7 文 8)已知双曲线

x2 y2 ? = 1(b > 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,其一条渐近线方程为 2 b2


uuur uuuu r y = x ,点 P( 3, y0 ) 在该双曲线上,则 PF1 ? PF2 =(
A. ?12 B. ?2 C .0 D. 4

抛物线 y 2 = 4 x 上一动点 P 到直线 l1 和 17、 (四川理 9) 已知直线 l1 : 4 x ? 3 y + 6 = 0 和直线 l2 : x = ?1 , 直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 B.3 ) C.

11 5

D.

37 16

**********************新课标教材********************** 新课标教材 新课标教材 18、 (安徽理 3 文 6)下列曲线中离心率为 6 的是 ( 2
学科网


2 2 (D) x ? y = 1

(A)

x2 y2 ? =1 2 4

(B)

x2 y 2 ? =1 4 2

2 2 (C) x ? y = 1

4

6

4

10

x2 y2 19、 (福建文 4)若双曲线 2 ? 2 = 1( a > o ) 的离心率为 2,则 a 等于( a 3
A. 2 B.



3

C.

3 2

D. 1

20、 (宁夏海南理 4)双曲线

x2 y 2 =1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
C. 3 D.1



A. 2 3

B.2

x2 y2 21、 (山东理 9)设双曲线 2 ? 2 = 1 的一条渐近线与抛物线 y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的 a b
离心率为( A. ). B. 5 C.

5 4

5 2

D. 5

22、 (天津理 9)设抛物线 y 2 =2x 的焦点为 F,过点 M( 3 ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点, 与抛物线的准线相交于 C, BF =2,则 ? BCF 与 ? ACF 的成面积之比

S ?BCF =( S ?ACF



(A)

4 5

(B)

2 3

(C)

4 7

(D)

1 2

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

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x2 y2 23、 (天津文 4)设双曲线 2 ? 2 = ( a > b > 0 ) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程 a b
为( ) B. y = ±2 x C.

A. y = ± 2 x

y=±

2 x 2

D. y = ±

1 x 2

24、 (浙江理 9)过双曲线

x2 y2 ? = 1 (a > 0, b > 0) 的右顶点 A 作斜率为 ?1 的直线,该直线与双曲线 a2 b2 uuu r r 1 uuu BC ,则双曲线的离心率是( 2
C. 5 )

的两条渐近线的交点分别为 B, C .若 AB = A. 2 B. 3

D. 10

25、 (浙江文 6)已知椭圆

x2 y2 + = 1 (a > b > 0) 的左焦点为 F ,右顶点为 A ,点 B 在椭圆上,且 a2 b2


uuu r uuu r BF ⊥ x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P .若 AP = 2 PB ,则椭圆的离心率是 (
A.

3 2

B.

2 2

C.

1 3

D.

1 2

**********************大纲版教材 大纲版教材********************** 大纲版教材 26、 ( 北 京 理 12 文 13 ) 椭 圆

x2 y 2 + = 1 的 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P 在 椭 圆 上 , 若 | PF1 |= 4 , 则 9 2

| PF2 |= _________; ∠F1 PF2 的小大为__________.
27、 (湖南理 12)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中,有一个内角为 60
o

,则双曲线 C 的离心率为

28、 (湖南文 13)过双曲线 C:

x2 y2 ? 2 = 1 (a > 0, b > 0) 的一个焦点作圆 x 2 + y 2 = a 2 的两条切线, 2 a b


切点分别为 A.B,若 ∠AOB = 120 (O 是坐标原点) ,则双曲线线 C 的离心率为
o

29、 (江西理 16 文 16)设直线系 M : x cos θ + ( y ? 2) sin θ = 1 (0 ≤ θ ≤ 2π ) ,对于下列四个命题:

A . M 中所有直线均经过一个定点 B .存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上 C .对于任意整数 n(n ≥ 3) ,存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上 D . M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是 (写出所有真命题的代号) .

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30、 (全国 1 文 15)已知 OA 为球 O 的半径,过 OA 的中点 M 且垂直于 OA 的平面截球面得到圆 M , 若圆 M 的面积为 3π ,则球 O 的表面积等于__________________.

31、 (上海理 9)已知 F1 、 F2 是椭圆 C :

x2 y2 + = 1( a > b >0)的两个焦点, P 为椭圆 C 上一点, a2 b2

且 PF1 ⊥ PF2 .若 ?PF1 F2 的面积为 9,则 b =____________.

32、 (上海文 9)过点 A(1,0)作倾斜角为

π
4

的直线,与抛物线 y 2 = 2 x 交于 M 、N 两点,则

MN

=



2 33、 (四川文 13)抛物线 y = 4 x 的焦点到准线的距离是

.

34、 (重庆理 15)已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 (?c, 0), F2 (c, 0) ,若双 a2 b2

曲线上存在一点 P 使

sin ∠PF1 F2 a = ,则该双曲线的离心率的取值范围是 sin ∠PF2 F1 c



x2 y2 35、 (重庆文 15)已知椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 ( ?c, 0), F2 (c, 0) 若椭圆上存 a b
在点 P 使

a c = ,则该椭圆的离心率的取值范围为______________。 sin ∠PF1 F2 sin ∠PF2 F1
**********************新课标教材********************** 新课标教材 新课标教材

36、 (福建理 13)过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于 A、B 两点,
o

若线段 AB 的长为 8,则 p = ________________ 37、 (广东理 11)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方程为 38、 ( 江 苏 卷 13 ) 如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 。

3 ,且 G 上一点到 G 的 2

xoy 中 ,
y T B2 M

x2 y2 A1 , A2 , B1 , B2 为椭圆 2 + 2 = 1(a > b > 0) 的四个顶点, a b
F 为其右焦点,直线 A1B2 与直线 B1F 相交于点 T,线段 OT
与椭圆的交点 M 恰为线段 OT 的中点,则该椭圆的离心率 . 为
A1

O

A2

x

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x2 y 2 39、 (辽宁理 16)已知 F 是双曲线 ? = 1 的左焦点, A(1, 4), P 是双曲线右支上的动点,则 4 12

PF + PA 的最小值为



40、 (宁夏海南文 14) 已知抛物线 C 的顶点坐标为原点, 焦点在 x 轴上, 直线 y=x 与抛物线 C 交于 A, B 两点,若 P ( 2, 2 ) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为 。

**********************大纲版教材 大纲版教材********************** 大纲版教材 41、 (北京理 19)已知双曲线 C : (Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 是圆 O : x 2 + y 2 = 2 上动点 P ( x0 , y0 )( x0 y0 ≠ 0) 处的切线, l 与双曲线 C 交于不同的两点

x2 y2 3 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x = 2 a b 3

A, B ,证明 ∠AOB 的大小为定值.
42、 (北京文 19)已知双曲线 C : (Ⅰ)求双曲线 C 的方程;

x2 y2 3 ? 2 = 1(a > 0, b > 0) 的离心率为 3 ,右准线方程为 x = 。 2 a b 3

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

(Ⅱ) 已知直线 x ? y + m = 0 与双曲线 C 交于不同的两点 A, 且线段 AB 的中点在圆 x 2 + y 2 = 5 上, B, 求 m 的值.
w.w.w.k.s.5.u .c.o.m

2 43、 (湖北理 20)过抛物线 y = 2 px ( p > 0) 的对称轴上一点 A ( a, 0 )( a > 0 ) 的直线与抛物线相交于

M、N 两点,自 M、N 向直线 l : x = ?a 作垂线,垂足分别为 M 1 、 N1 。 (Ⅰ)当 a = (Ⅱ) 记
2

p 时,求证: AM 1 ⊥ AN1 ; 2

?AMM 1 、?AM 1 N1 、?ANN1 的面积分别为 S1 、S2 、S3 , 是否存在 λ , 使得对任意的 a > 0 ,

都有 S 2 = λS1 S 3 成立。若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由。 44、 (湖北文 20)如图,过抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )的焦点 F 的直线与抛 物线相交于 M、N 两点,自 M、N 向准线 L 作垂线,垂足分别为 M1、N1 (Ⅰ)求证:FM1⊥FN1: (Ⅱ)记△FMM1、 、△FM1N1、△FN N1 的面积分别为 S1 、 S2 、 S3 ,试判断
2 S 2 = 4 S1S3 是否成立,并证明你的结论。

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45、 (湖南理 20)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到点 F(3,0)的距离的 4 倍与它到直线 x=2 的距 离的 3 倍之和记为 d,当 P 点运动时,d 恒等于点 P 的横坐标与 18 之和 (Ⅰ)求点 P 的轨迹 C; (Ⅱ)设过点 F 的直线 I 与轨迹 C 相交于 M,N 两点,求线段 MN 长度的最大值。 46、 (湖南文 20)已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的 圆边形是一个面积为 8 的正方形(记为 Q) (1) 求椭圆 C 的方程: (2) 设点 P 是椭圆 C 的左准线与 x 轴的交点,过点 P 的直线 L 与椭圆 C 相交于 M.N 两点,当线段 MN 的中点落在正方形 Q 内(包括边界)时,求直线 L 的斜率的取值范围。

x2 y 2 47、 (江西理 21)已知点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线 2 ? 2 = 1 ( b 为正常数)上任一点, F2 为双曲线的右 1 8b b
y

焦点,过 P 作右准线的垂线,垂足为 A ,连接 F2 A 并延长交 y 轴于 1

P2 .
P 1

P

P2

A
O

(1)

求线段 P P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; 1

F1

F2

x

(2) 设 轨 迹 E 与 x 轴 交 于 B、D 两 点 , 在 E 上 任 取 一 点

Q x1 , y1)y1 ≠ 0) ,直线 QB,QD 分别交 y 轴于 M ,N 两点.求 ( (
证:以 MN 为直径的圆过两定点. 48、 (江西文 22)如图,已知圆 G: ( x ? 2) 2 + y 2 = r 2 是椭圆

x2 + y 2 = 1 的内接△ABC 的内切圆,其中 A 为椭圆的左顶点. 16
(1) 求圆 G 的半径 r; (2) 过点 M(0,1)作圆 G 的两条切线交椭圆于 E、F 两点,证明: 直线 EF 与圆 G 相切 49、 (全国 1 理 21 文 22)如图,已知抛物线 E : y 2 = x 与圆 M : ( x ? 4) 2 + y 2 = r 2 ( r > 0) 相交于 A 、

B 、 C 、 D 四个点。
(I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标

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50、 (全国 2 理 21 文 22) 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 + 2 = 1(a > b > 0) 的离心率为 , 过右焦点 F 的直线 l 与 2 a b 3
2 2

C 相交于 A 、 B 粮店,当 l 的斜率为 1 时,坐标原点 O 到 l 的距离为
(I)求 a , b 的值;

w.w. w. k.s. 5.u.c.o.m

(II) C 上是否存在点 P,使得当 l 绕 F 转到某一位置时,有 OP = OA + OB 成立?若存在,求出所有的 P 的坐标与 l 的方程;若不存在,说明理由。

uuu r

uuu uuu r r

y 2 x2 5 51、 (陕西理 21 文 22)已知双曲线 C 的方程为 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) ,离心率 e = ,顶点到渐 a b 2

近线的距离为

2 5 。 5

(I)求双曲线 C 的方程; (II)如图,P 是双曲线 C 上一点,A,B 两点在双曲线 C 的两条渐近 线上, 且分别位于第一、 二象限, AP = λ PB, λ ∈ [ , 2] , ?AOB 若 求 面积的取值范围。
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

uuu r

uuu r

1 3

v x2 52、 (上海理 21)已知双曲线 c : ? y 2 = 1, 设过点 A( ?3 2, 0) 的直线 l 的方向向量 e = (1, k ) 2
(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离;

w.w.w. k.s.5.u.c.o.m

(2) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 。 2 v

53、 (上海文 22)已知双曲线 C 的中心是原点,右焦点为 F ( 3, ,一条渐近线 m: x+ 2 y = 0 ,设过 0) 点 A (?3 2, 0) 的直线 l 的方向向量 e = (1, k ) 。 (1) 求双曲线 C 的方程;
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

(2) 若过原点的直线 a // l ,且 a 与 l 的距离为 6 ,求 K 的值; (3) 证明:当 k >

2 时,在双曲线 C 的右支上不存在点 Q,使之到直线 l 的距离为 6 . 2

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54、 (四川理 20 文 21)已知椭圆 右准线方程为 x = 2 。 (I)求椭圆的标准方程;

x2 y2 2 + = 1(a > b > 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率 e = , 2 a b 2

(II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M , N 两点,且 F2 M + F2 N =

uuuur uuuu r

2 26 ,求直线 l 的方程。 3 4 3 3 ,离心率 e = , M 是椭 3 2

55、 (重庆理 20)已知以原点 O 为中心的椭圆的一条准线方程为 y = 圆上的动点.

求 (Ⅰ) C , D 的坐标分别是 (0, ? 3), (0, 3) , MC ?MD 的最大值; 若 (Ⅱ)如题(20)图,点 A 的坐标为 (1, 0) , B 是圆 x 2 + y 2 = 1 上的点,

uuur uuuu uuur r N 是 点 M 在 x 轴 上 的 射 影 , 点 Q 满 足 条 件 : OQ = OM + ON , uuu uuu r r QA?BA = 0 .求线段 QB 的中点 P 的轨迹方程;

56、 (重庆文 20)已知以原点 O 为中心的双曲线的一条准线的方程为

x=

5 ,离心率 e = 5 。 5

(Ⅰ)求该双曲线的方程; (Ⅱ)如图(20)图,点 A 的坐标为 ( ? 5, 0) ,B 是圆 x 2 + ( y ? 5) 2 = 1 上的点,点 M 在双曲线的右支上,求|MA|+|MB|的最小值,并求此时 M 点 的坐标。
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

**********************新课标教材********************** 新课标教材 新课标教材 57、 (安徽理 20) P ( x0 , y0 ) 在椭圆 点 直线 l2 与直线 l1 :

x2 y2 π + 2 = 1(a > b > 0) 上, 0 = a cos β , y0 = b sin β , 0 < β < . x 2 a b 2

x0 y0 x + 2 y = 1 垂直,O 为坐标原点,直线 OP 的倾斜角为 α ,直线 l2 的倾斜角为 γ . 2 a b x2 y2 + = 1 与直线 l1 的唯一交点; a2 b2

(I)证明: 点 P 是椭圆

(II)证明: tan α , tan β , tan γ 构成等比数列.
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58、 (安徽文 18)已知椭圆

x2 y2 3 + 2 = 1 (a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心,椭圆短半轴长 2 a b 3

为半径的圆与直线 y = x + 2 相切, (I) 求 a 与 b ; (II) 设该椭圆的左,右焦点分别为 F1 和 F2 ,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l2 与 y 轴垂直, l2 交

l1 于点 P .求线段 PF1 垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型。 x2 59、 (福建理 19)已知 A,B 分别为曲线 C: 2 + y 2 =1(y ≥ 0,a>0) a
与 x 轴的左、右两个交点,直线 l 过点 B,且与 x 轴垂直,S 为 l 上异于 点 B 的一点,连结 AS 交曲线 C 于点 T. (1)若曲线 C 为半圆,点 T 为圆弧 ? 的三等分点,试求出点 S 的坐 AB 标; (II)如图,点 M 是以 SB 为直径的圆与线段 TB 的交点,试问:是否存在 a ,使得 O,M,S 三点共线?若 存在,求出 a 的值,若不存在,请说明理由。

60、 (福建文 22) 已知直线 x ? 2 y + 2 = 0 经过椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左顶点 A 和上顶点 D, a 2 b2

椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 和椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点, 直线, AS , BS 与直线 l : x =

10 分别交于 M , N 两点。 3

(I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)求线段 MN 的长度的最小值; (Ⅲ)当线段 MN 的长度最小时,在椭圆 C 上是否存在这样的 点 T ,使得 ?TSB 的面积为 不存在,说明理由 61、 (广东理 19)已知曲线 C : y = x 2 与直线 l : x ? y + 2 = 0 交于两点 A( x A , y A ) 和 B ( xB , y B ) ,且

1 ?若存在,确定点 T 的个数,若 5

xA < xB .记曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域(含边界)为 D 。设点 P ( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合。
(1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x ? 2ax + y ? 4 y + a +
2 2 2

51 = 0 与 D 有公共点,试求 a 的最小值。 25

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2009 年高考数学试题分类汇编 09——圆锥曲线

62、 (广东文 19)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为

3 ,两个焦点分别为 F1 2

和 F2 ,椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12,圆 Ck : x 2 + y 2 + 2kx ? 4 y ? 21 = 0 ( k ∈ R ) 的圆心为 点 Ak . (1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?Ak F1 F2 的面积; (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G? 请说明理由.

63、 (辽宁理 20 文 22)已知椭圆 C 过点 A (1, ) ,两个焦点为 (?1, 0) , (1, 0) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜 率为定值,并求出这个定值。 64、 (宁夏海南理 20)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 s 轴上,它的一个顶点到 两个焦点的距离分别是 7 和 1. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

3 2

OP
(Ⅱ)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, =λ,求点 M 的轨迹方程,

OM
并说明轨迹是什么曲线。
w.w.w.k.s.5.u. c.o.m

65、 (宁夏海南文 20)已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点,焦点在 x 轴上,它的一个项点到 两个焦点的距离分别是 7 和 1 (I) 求椭圆 C 的方程 若 P 为椭圆 C 的动点, M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点,

OP OM

(II)

= e (e 为椭圆 C 的离心

率) ,求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。 (III)

66、 (山东理 22)设椭圆 E: (I)求椭圆 E 的方程;

x2 y2 + = 1(a,b>0)过 M(2, 2 ) ,N( 6 ,1)两点,O 为坐标原点, a2 b2

(II) 是否存在圆心在原点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且 OA ⊥ OB ?若 存在,写出该圆的方程,并求|AB |的取值范围,若不存在说明理由。

uuu r

uuu r

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2009 年高考数学试题分类汇编 09——圆锥曲线

67、 (山东文 22)设 m ∈ R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a = ( mx, y + 1) ,向量 b = ( x, y ? 1) , a ⊥ b , 动点 M ( x, y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状; (2)已知 m =

r

r

r

r

1 ,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且 4

OA ⊥ OB (O 为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知 m =

1 2 2 2 ,设直线 l 与圆 C: x + y = R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,当 R 为 4

何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值. 68、 (天津理 21)已知椭圆

x2 y2 + = 1(a > b > 0) 的两个焦点分别为 F1 (?c, 0)和F2 (c, 0)(c > 0) ,过 a2 b2

点 E(

a2 , 0) 的直线与椭圆相交与 A, B 两点,且 F1 A / / F2 B, F1 A = 2 F2 B 。 c
w.w.w. k.s.5 .u.c.o.m

(1) 求椭圆的离心率; (2) 求直线 AB 的斜率;

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

(3) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H ( m, n)( m ≠ 0) 在 ? AF1C 的外接圆上, 求

n 的值 m

w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

69、 (天津文 22)已知椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) 的两个焦点分别为 F1 ( ?c, 0 ) 和 F2 ( c, 0 ) ,过点 a2 b2

? a2 ? E ? , 0 ? 的直线与椭圆相交于 A, B 两点,且 F1 A // F2 B, F1 A = 2 F2 B ? c ?
(1)求椭圆的离心率 (2)求直线 AB 的斜率 (3)设点 C 与点 A 关于坐标原点对称,直线 F2 B 上有一点 H ( m, n )( m ≠ 0 ) 在 ?AF1C 的外接圆上,求

n 的值 m
70、 ( 浙 江 理 21 ) 已 知 椭 圆 C1 :

y 2 x2 + = 1 (a > b > 0) 的 右 顶 点 为 a 2 b2

A(1, 0) ,过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1 .
(I)求椭圆 C1 的方程;
2 (II) 设点 P 在抛物线 C2 :y = x + h ( h ∈ R) 上,C2 在点 P 处的切线与 C1

交于点 M , N .当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时,求 h 的最小值.
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2009 年高考数学试题分类汇编 09——圆锥曲线

71、 (浙江文 22)已知抛物线 C : x 2 = 2 py ( p > 0) 上一点 A( m, 4) 到其焦点的距离为 (I)求 p 与 m 的值;

17 . 4

(II) 设抛物线 C 上一点 P 的横坐标为 t (t > 0) , P 的直线交 C 于另一点 Q , x 轴于点 M , 过 交 过点 Q 作 PQ 的垂线交 C 于另一点 N .若 MN 是 C 的切线,求 t 的最小值.

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