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辽宁省沈阳市第十中学09-10学年高二下学期期中考试(数学理)

沈 阳 十 中 2019(下)期中考试 高二试题

数学(理科)

1.若复数 z 满足 (1? i) ? z ? 3 ? i ,则 z ?

()

A. 4 ? 4i

B. 2 ? 4i

C. 2 ? 2i

D.1? 2i

2.一质点做直线运动,由始点经过 t s 后的距离为 s ? 1 t3 ? 6t2 ? 32t ,则速度为 0 3
的时刻是( )

A. t ? 4 s

B. t ? 8 s

C. t ? 4 s 与 t ? 8 s

D. t ? 0 s 与

3.在证明 f (x) ? 2x ?1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义

是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数 f (x) ? 2x ?1满足增函数的定义是

小前提;④函数 f (x) ? 2x ?1满足增函数的定义是大前提;其中正确的命题是

()

A.①②

B.②④

C.①③

D.②③

4.由直线 x ? 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 1 及 x 轴所围成的图形的面积是(



2

x

A. 15 4

B. 17 4

C. 1 ln 2 2

D. 2ln 2

5.从单词“ctbenjin”中选取 5 个不同字母排成一排,含有“en”(其中“en”

相连且顺序不变)的不同排列共有

()

A.240 个

B.480 个

C.720 个

D. 840 个

6.

1 ? 90C110

? 902 C120

? 903 C130

?



?9010

C10 10

除以

88

的余数是

()

A.-1

B.1

C.-87

D.87

7.函数 f (x) ? x2 ? ex?1 , x ?[?2,1] 的最大值为

()

A. 4e?1

B.1

C. e

D. e2

8. 设 f (x) 是定义在正整数集上的函数,且 f (x) 满足:“当 f (k) ? k 2 成立时,总

可以推出 f (k ?1) ? (k ?1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是(



A.若 f (3) ? 9 成立,则当 k ?1时,均有 f (k) ? k 2 成立

B.若 f (5) ? 25 成立,则当 k ? 5 时,均有 f (k) ? k 2 成立

C.若 f (7) ? 49 成立,则当 k ? 8 时,均有 f (k) ? k 2 成立

D.若 f (4) ? 25 成立,则当 k ? 4 时,均有 f (k) ? k 2 成立

9. 右图是函数 y ? f (x) 的导函数 y ? f ?(x) 的图象,

给出下列命题:

y

① ?3 是函数 y ? f (x) 的极值点;

② ?1 是函数 y ? f (x) 的最小值点;

③ y ? f (x) 在 x ? 0 处切线的斜率小于零;

-3 -2

-1 O 1

x

④ y ? f (x) 在区间 (?3, 1) 上单调递增.

则正确命题的序号是(

A.①②

B.①④

) C.②③

D.③④

10. (1? 2)4 ? a ? b 2(a,b 为有理数),则 a ? b ?

()

A.33

B.29

C.23

D.19

11. 设有编号为 1,2,3,4,5 的五个茶杯和编号为 1,2,3,4,5 的五个杯盖,

将五个杯盖盖在五个茶杯上,至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有( )

A.30 种

B.31 种

C.32 种

D.36 种

12.已知直线 y ? kx是 y ? ln x 的切线,则 k 的值为

()

(A) 1 e

(B) ? 1 e

(C) 2 e

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.

(D) ? 2 e

13. 若复数 z ? m2 ?1? (m ?1)i 为纯虚数,则实数 m ? ____________.

14. ?a ? b?8 的展开式中系数最小的项等于

.

15. 市内某公共汽车站有 10 个候车位(排成一排),现有 4 名乘客随便坐在某个 座位上候车,则恰好有 5 个连续空座位的候车方式共有_____________种. 16.函数 y ? x3 ? 12x 的单调递增区间为 ___.
x ?1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
17. (本小题满分 12 分)已知二次函数 f (x) ? ax2 ? bx ? 3 在 x ?1处取得极值,且

在 (0, ?3) 点处的切线与直线 2x ? y ? 0 平行.

(Ⅰ)求 f (x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 g(x) ? xf (x) ? 4x 的单调递增区间.
18.(本小题满分 12 分)用 0,1,2, 3,4,5 这六个数字: (1)能组成多少个无重复数字的四位偶数? (2)能组成多少个无重复数字且为 5 的倍数的五位数? (3)能组成多少个无重复数字且比 1325 大的四位数?
19. (本小题满分 12 分)用总长14.8m 的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做 容器的底面的一边长比另一边长多 0.5m ,那么高是多少时,容器的容积最大,并 求出它的最大容积.
20.(本小题满分 12 分)已知 f (x) ? (1? x)m ? (1? x)n (m,n ? N?) 的展开式中 x 的系数 为 19,求 f (x) 的展开式中 x2 的系数的最小值.
21. (本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn ,且对 n ? N* 都有 Sn ? 2an ? n , 则: (1)求数列{an}的前三项 a1, a2 , a3 ; (2)求数列{an}的通项 an ,并说明理由;

(3)求证:对任意 n? N* 都有 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1

a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3

an?1 ? an

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f (x) ? 1 x2 ? ln x 2
(1)求函数 f (x) 在[1, e] 上的最大值和最小值.
(2)求证:在区间[1,+ ?) ,函数 f (x) 的图象,在函数 g(x) ? 2 x3 的图象下 3
方。

答题卷

2019.5

班级

座号

姓名

得分

一、选择题:每小题 5 分,共 60 分.

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

选项

二、填空题(16 分)

13、



14、



15、



16、



三.解答题(74 分)

17、(本小题满分 12 分)

18、(本小题满分 12 分) 19、(本小题满分 12 分)

20、(本小题满分 12 分) 21、(本小题满分 12 分)

22、(本小题满分 14 分)

参考答案

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分)

1. D 2.C 3.C

4.D

5.A 6.B

7. D 8.D 9.B

10.B

11.B 12.A

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

13.1 14. 15.480 16. (??, ?1) (2, ??)

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 12 分,共 36 分) 17.(本小题满分 12 分)

(3)符合要求的比 1325 大的四位数可分为三类: 第一类:形如 2□□□,3□□□,4□□□,5□□□,共 A41· A53 个;
第二类:形如 14□□,15□□,共有 A21· A42 个;
第三类:形如 134□,135□,共有 A21· A31 个; 由分类加法计数原理知,无重复数字且比 1325 大的四位数共有: A41· A53 ? A21· A42 ? A21· A31 ? 270 个.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12 分

21、解: (1)令 n ?1得, S1 ? 2a1 ?1 ? a1 ,故 a1 ? 1; 令 n ? 2 得, S2 ? 2a2 ? 2 ? a1 ? a2 ? 1? a2 ,故 a2 ? 3 ; 令 n ? 3 得, S3 ? 2a3 ? 3 ? a1 ? a2 ? a3 ? 1? 3 ? a3 ,故 a3 ? 7 ;
(2)由(1)可以猜想 an ? 2n ?1,下面用数学归纳法进行证明: ①当 n ?1时,结论显然成立; ②假设当 n ? k 时结论成立,即 ak ? 2k ?1 ,从而由已知 Sn ? 2an ? n 可得:
Sk ? 2ak ? k ? 2(2k ?1) ? k ? 2k?1 ? k ? 2 .故 Sk?1 ? 2k?2 ? k ? 3 . ∴ ak?1 ? Sk?1 ? Sk ? (2k?2 ? k ? 3) ? (2k?1 ? k ? 2) ? 2k?1 ?1. 即,当 n ? k ?1时结论成立. 综合①②可知,猜想 an ? 2n ?1成立.即,数列{an}的通项为 an ? 2n ?1.

(3)∵ an ? 2n ?1,∴ an?1 ? an ? (2n?1 ?1) ? (2n ?1) ? 2n ,

∴1?1?1? a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3

?

1 an?1 ? an

?

1? 2

1 22

?

1 23

?

?

1 2n

?

1

?

1 2n

?1

∴对任意 n? N* 都有 1 ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 1 .

a2 ? a1 a3 ? a2 a4 ? a3

an?1 ? an

()



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