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www.1117248.con:2019-2020学年【课堂坐标】高中数学北师大版必修五学业分层测评:第二章 解三角形 14 Word版含解析

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北师大版 2019-2020 学年数学精品资料

学业分层测评(十四)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.轮船 A 和轮船 B 在中午 12 时同时离开海港 O,两船航行方向的夹角为 120° ,两船的航行速度分别为 25 n mile/h,15 n mile/h,则 14 时两船之间的距离 是( ) A.50 n mile C.90 n mile 【解析】 B.70 n mile D.110 n mile

到 14 时,轮船 A 和轮船 B 分别走了 50 n mile,30 n mile,由余 502+302-2×50×30×cos 120° =70 n mile.

弦定理得两船之间的距离为 l= 【答案】 B

2.如图 237 所示,从山顶望地面上 C,D 两点,测得它们的俯角分别为 45° 和 30° ,已知 CD=100 米,点 C 位于 BD 上,则山高 AB 等于( )

图 237 A.100 米 C.50 2米 【解析】 B.50 3米 D.50( 3+1)米 设山高为 h,则由题意知

CB=h,DB= 3h, 所以 3h-h=100,

即 h=50( 3+1)米. 【答案】 D

3.如图 238,D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C,D 两点测 得 A 点仰角分别是 β,α(α<β),则 A 点离地面的高度 AB 等于( )

图 238 A. C. asin α· sin β sin ?β-α? B. asin α· sin β cos ?α-β? acos α· sin β cos ?α-β?

asin α· cos β sin ?β-α?

D.

【解析】

在△ADC 中,∠DAC=β-α. a sin ?β-α? , a· sin α· sin β sin ?β-α? AC =sin α,

由正弦定理得

∴AC=

a· sin α sin ?β-α?

∴AB=AC· sin β= 【答案】 A

.

4. 有一个长为 1 千米的斜坡, 它的倾斜角为 75° , 现要将其倾斜角改为 30° , 则坡底要伸长( A.1 千米 C. 3千米 【解析】 ) B. 2千米 D.2 千米 如图,∠BAO=75° ,C=30° ,AB=1,

∴∠ABC=∠BAO-∠BCA=75° -30° =45° .

AB 在△ABC 中,sin C=

AC , sin∠ABC 2 1× 2 1 = 2千米. 2

AB· sin∠ABC ∴AC= = sin C 【答案】 B

5.(2014· 四川高考)如图 239,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B,C 的俯角分别为 75° ,30° ,此时气球的高是 60 m,则河流的宽度 BC 等于( )

图 239 A.240( 3-1)m C.120( 3-1)m 【解析】 B.180( 2-1)m D.30( 3+1)m

如图,在△ACD 中,∠CAD=90° -30° =60° ,

AD=60 m,所以 CD=AD· tan 60° =60 3(m). 在△ABD 中,∠BAD=90° -75° =15° , 所以 BD=AD· tan 15° =60(2- 3)(m). 所以 BC=CD-BD=60 3-60(2- 3) =120( 3-1)(m). 【答案】 二、填空题 6.某人向正东方向走 x km 后向右转 150° ,然后朝新方向走 3 km,结果他 离出发点恰好 3 km,那么 x 的值为______. 【解析】 如图所示,在△ABC 中,AB=x,BC=3, C

AC= 3,∠ABC=30° .由余弦定理得( 3)2=32+x2-2×3· x· cos 30° ,即 x2-3 3 x+6=0,解得 x1= 3,x2=2 3,检验均符合题意. 【答案】 3或 2 3

7.在 200 m 的山顶上,测得山下一塔的塔顶与塔底的俯 角分别为 30° ,60° ,则塔高为________. 【解析】 如图,设塔 AB 高为 h,在 Rt△CDB 中,CD

=200 m,∠BCD=90° -60° =30° , 200 400 3 ∴BC=cos 30° = 3 (m). 在△ABC 中,∠ABC=∠BCD=30° ,∠ACB=60° -30° =30° , ∴∠BAC=120° . BC AB 在△ABC 中,由正弦定理得sin 120° =sin 30° , BC· sin 30° 400 ∴AB= sin 120° = 3 m. 【答案】 400 3 m

8. 江岸边有一炮台高 30 m, 江中有两条船, 船与炮台底部在同一水平面上, 由炮台顶部测得俯角分别为 45° 和 60° ,而且两条船与炮台底部连线成 30° 角,则 两条船相距________m.

【解析】

如图,OM=AOtan 45° =30(m),

3 ON=AOtan 30° = 3 ×30=10 3(m), 在△MON 中,由余弦定理得,

MN=

3 900+300-2×30×10 3× 2

= 300=10 3(m). 【答案】 三、解答题 9.A、B、C、D 四个景点,如图 2310,∠CDB=45° ,∠BCD=75° ,∠ADC =15° .A、D 相距 2 km,C、D 相距(3 2- 6)km,求 A、B 两景点的距离. 10 3

图 2310 【解】 在△BCD 中,

∠CBD=180° -∠BCD-∠CDB=60° , 由正弦定理得 BD CD = , sin∠BCD sin∠CBD

CD· sin 75° 即 BD= sin 60° =2. 在△ABD 中,∠ADB=45° +15° =60° , BD=AD,∴△ABD 为等边三角形, ∴AB=2. 即 A、B 两景点的距离为 2 km. 10.据气象台预报,距 S 岛正东方向 300 km 的 A 处有一台风中心形成,并 以每小时 30 km 的速度向北偏西 30° 的方向移动,在距台风中心 270 km 以内的 地区将受到台风的影响,问:S 岛是否受其影响?若受到影响,从现在起经过多 少小时 S 岛开始受到台风的影响?持续时间多久?说明理由 . 【 导学号: 67940044】

图 2311 【解】 设台风中心经过 t 小时到达 B 点,

由题意,∠SAB=90° -30° =60° , 在△SAB 中,SA=300,AB=30t,∠SAB=60° , 由余弦定理得: SB2=SA2+AB2-2SA· AB· cos ∠SAB =3002+(30t)2-2· 300· 30t· cos 60° , 若 S 岛受到台风影响,则应满足条件|SB|≤270, 即 SB2≤2702,化简得 t2-10t+19≤0, 解得 5- 6≤t≤5+ 6, 所以从现在起, 经过 5- 6小时 S 岛开始受到影响, 5+ 6小时后影响结束. 持续时间为(5+ 6)-(5- 6)=2 6小时. 即 S 岛受台风影响,从现在起,经过 5- 6小时台风开始影响 S 岛,持续 2 6小时. [能力提升] 1.一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱,为了测量喷水柱喷出的水柱 的高度,某人在喷水柱正西方向的点 A 测得水柱顶端的仰角为 45° ,沿点 A 向北 偏东 30° 前进 100 m 到达点 B,在 B 点测得水柱顶端的仰角为 30° ,则水柱的高 度是( ) B.100 m D.150 m

A.50 m C.120 m

【解析】 设水柱高度是 h m,水柱底端为 C,则在△ABC 中,A=60° ,AC

=h,AB=100,BC= 3h,根据余弦定理得( 3h)2=h2+1002-2· h· 100· cos 60° , 即 h2+50h-5 000=0,即(h-50)(h+100)=0,即 h=50,故水柱的高度是 50 m. 【答案】 A

2.甲船在岛 A 的正南 B 处,以 4 km/h 的速度向正北航行,AB=10 km,同 时乙船自岛 A 出发以 6 km/h 的速度向北偏东 60° 的方向驶去, 当甲、 乙两船相距 最近时,它们所航行的时间为( 150 A. 7 min C.21.5 min ) 15 B. 7 h D.2.15 h D

【解析】 如图所示,当两船航行 t h 时,甲船到 处,乙船到 C 处, 则 AD=10-4t,AC=6t,∠CAD=120° 或 AD′=4t-10,AC=6t,∠CAD′=60° . ? 1? ∴CD2=(6t)2+(10-4t)2-2×6t×(10-4t)×?-2? ? ? =28t2-20t+100, 5 ∴当 t=14 h 时,CD2 最小,即两船最近, 5 150 t=14 h= 7 min. 【答案】 A

3.某同学骑电动车以 24 km/h 的速度沿正北方向的公路行驶,在点 A 处测 得电视塔 S 在电动车的北偏东 30° 方向上,15 min 后到点 B 处,测得电视塔 S 在 电动车的北偏东 75° 方向上,则点 B 与电视塔的距离是________km.

图 2312 【解析】 15 如题图,由题意知 AB=24×60=6,在△ABS 中,∠BAS=30° ,

BS AB=6,∠ABS=180° -75° =105° ,∴∠ASB=45° ,由正弦定理知sin 30° = AB , sin 45° AB· sin 30° ∴BS= sin 45° =3 2. 【答案】 3 2

4.如图 2313,一辆汽车从 O 点出发,沿海岸一条直线公路以 100 km/h 的 速度向东匀速行驶,汽车开动时,在 O 点南偏东方向距 O 点 500 km 且在海岸距 离为 300 km 的海上 M 处有一快艇,与汽车同时出发,要把一件重要的物品递送 给这辆汽车的司机, 问快艇至少必须以多大的速度行驶,才能把物品递送到司机 手中?并求快艇以最小速度行驶时方向与 OM 所成的角.

图 2313 【解】 如图所示,

设快艇从 M 处以 v km/h 的速度出发, 沿 MN 方向航行,t h 后与汽车在 N 点相遇,在△MON 中,MO=500,ON=100t,MN=vt.设∠MON=α,由题意知, 3 4 sin α=5,则 cos α=5, 由余弦定理知 MN2=OM2+ON2- 2· OM· ON· cos α,

4 即 v2t2=5002+1002t2-2×500×100t×5, 1 ? ? -80?2+3 600, 整理得,v2=?500· t ? ? 1 80 25 当 t =500,即 t= 4 时,v2 min=3 600, ∴vmin=60. 25 即快艇至少必须以 60 km/h 的速度行驶,此时 MN=60× 4 =375. ∵MQ=300, 300 4 设∠MNO=β,则 sin β=375=5, ∴α+β=90° ,即 MN 与 OM 所成的角为 90° .


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