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14级高一下期数学期末复习题3及答案


高一下期数学期末复习题
一、选择题 1.已知等差数列 {an } 中, a7 ? a9 ? 16, a4 ? 1, 则a12 的值是( A . 15 B. 30 C. 31 ) D. 64 )

2.在各项均为正数的等比数列{an}中,若 a3a8 ? 9 ,则 log3 a1 ? log3 a10 ? ( A. 1 B. 2 C. 4 ) D.- D. log3 5

3.若 tan( ? + ? )=3, tan( ? - ? )=5, 则 tan2 ? =(

4 1 4 B.- C. 7 2 7 4. 设 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不 成立的是( ) .
A. A.

1 2
1 1 ? a?b a


1 1 ? a b

B. ? a ?

?b

C. a ? ?b

D.

5.设 f ( x) ? 3ax ? 2a ? 1 ,若存在 x0 ? (?1,1), 使 f ( x0 ) ? 0, 则实数 a 的取值范围是( A. ? 1 ? a ?

1 5

B. a ? ?1

C. a ? ?1或a ?

1 5

D. a ?

1 5

? ? [0,2? ) ,且 sin ? , 6. 已知 ?,?,? 成公比为 2 的等比数列,

sin ? , sin ? 也成等比数列, 则
2? 4? 或 3 3

? 的值为(
A.

) B.

2? 或0 3

4? 3
2

C.

2? 4? 或 3 3

D. )

或0

7.在△ABC 中,若 sin A sin B ? cos A.等边三角形

C ,则△ ABC 是( 2
C.不等边三角形

B.等腰三角形

D.直角三角形 )

8.在△ ABC 中, ?A ? 60 , b ?1, S?ABC ? 3, 则 A.

a?b?c 的值等于 ( sin A ? sin B ? sin C
D. 2 3 )

2 39 3

B.

26 3 3

C.

8 3 3

9.数列 {an } 中, a3 ? 2, a5 ? 1, 如果数列 { A.

1 } 是等差数列,则 a11 ? ( an ? 1
C. ?

1 11

B. 0

1 13
3 3 2

D. ?
2

1 7

? 10.给出下列命题:① 若 a, b ? R , a ? b ,则 a ? b ? a b ? ab ;

-1-

② 若 a, b ? R? , a ? b ,则 ④当x ? (0, A.0 个 11.关于 x 的不等式 A.第一象限

a?m a a b ? ③ 若 2 ? 2 ,则 ln a>ln b; b?m b ; c c
2 的最小值为2 2 ;其中正确命题的个数为 ( sin x
C.2 个 D.3 个 )

?
2

)时,sin x ?
B.1 个

( x ? a)( x ? b) ? 0 解集为 {x | ?1 ? x ? 2, 或x ? 3} ,则点 P (a ? b, c ) 位于 x?c
B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ( D. 2 ? 1
20

12.数列 {an } 满足: a1 ? 2, an?1 ? 4an ? 3 ,则 a10 等于 A. 2 ? 1
18



B. 2 ? 1
18

B. 2 ? 1
20

二.填空题 13.已知 0 ? x ?

1 ,则 x(1 ? 3 x) 的最大值是_____________ 3
a11 a12 a13 a14 a15 a21 a22 a23 a24 a25 a31 a32 a33 a34 a35 a41 a42 a43 a44 a45 a51 a52 a53 a54 a55

14.在 200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是 30° ,60° ,则塔高为 _ 15.将给定的 25 个数排成如右图所示的数表, 若每行 5 个数按从左至右的顺序构成等差数列, 每列的 5 个数按从上到下的顺序也构成等差数列, 且表正中间一个数 a33=1,则表中所有数之和为
*

16.已知数列 {an } (n ? N ) 满足: an ? logn?1 (n ? 2) (n ? N* ) ,定义使 a1 ? a2 ? a3 ? ...... ? ak 为整数的 数 k (k ? N* ) 叫做企盼数,则区间 [1, 2011] 内所有的企盼数的和为 三.解答题 17.在锐角三角形 ABC 中, a,b,c 分别是角 A, B, C 的对边,且 a ? 2b sin A (1)求 ? B 的大小; (2)若 a ? 3 3, c ? 5, 求边 b 的长。 .

18.不查表求值: (

1 1? cos 20 ? tan5 ) ? tan5 3 sin 50 ? cos50

-2-

19.已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

(2)令 bn ? an ? 3n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n .

20.如图,公园有一块边长为 2 的等边△ ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相 等的两部分, D 在 AB 上, E 在 AC 上. (1)设 AD ? x ( x ? 1), DE ? y ,求用 x 表示 y 的函数关系式; (2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短, DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参观线 路,则希望它最长, DE 的位置又应在哪里?请说明理由. A x D B y C E

21.已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 (a ?1)Sn ? a(an ?1)(a ? 0)(n ? N ) 。
*

(1)求证数列 {an } 是等比数列,并求其通项公式 an ; (2)已知集合 A ? {x | x ? a ? (a ? 1) x}, 问是否存在实数 a , 使得对于任意的 n ? N , 都有 Sn ? A ?
2
*

若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由。

-3-

22、 设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x) ? 已知点 M 的横坐标为

1 1 x 图象上任意两点, 且 OM ? (OA ? OB) , ? log 2 2 2 1? x

1 2 2 n n ?1 ) ,其中 n ? N * 且 n≥2, n
*

(1)求点 M 的纵坐标; (2)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ① 求 Sn ; ② 已知,其中 n ? N , Tn 为数列 {a n } 的前 n 项和,若 Tn ? ? ( S n ?1 ? 1) 对一切 n ? N 都成
*

1 n

立,试求 λ 的最小正整数值。

-4-

参考答案
一、选择题:ABBDC,CBABB,CB 二.填空题: 13. 三.解答题: 17. (本小题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中, a,b,c 分别是角 A, B, C 的对边, a ? 2b sin A (1)求 ? B 的大小; (2)若 a ? 3 3, c ? 5, 求边 b 的长。 解:

1 12

14.

400 m 3

15.25

16. 2026

B?

?
6

,b ? 7

18. (本小题满分 12 分)不查表求值: ( 解:原式=1

1 1? cos 20 ? tan5 ) ? tan5 3 sin 50 ? cos50

19、 (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? 2, a1 ? a2 ? a3 ? 12. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)令 bn ? an ? 3n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 S n . 解: (1) 解: 设数列 {an } 公差为 d , 则 a1 ? a2 ? a3 ? 3a1 ? 3d ? 12, 又 a1 ? 2, d ? 2 , 所以 an ? 2n. (2)解:由 bn ? an 3n ? 2n3n , 得
S n ? 2 ? 3 ? 4 ? 32 ? ?(2n ? 2)3n?1 ? 2n ? 3n , ①

3S n ? 2 ? 32 ? 4 ? 33 ? ?? (2n ? 2) ? 3n ? 2n ? 3n?1. ②

将① 式减去② 式,得 ? 2S n ? ?2(3 ? 32 ? ?3n ) ? 2n ? 3n?1 ? 3(3n ?1) ? 2n ? 3n?1.
n 所以 Sn ? 3(1 ? 3 ) ? n ? 3n ?1.

2

20. (本小题满分 12 分) 如图,公园有一块边长为 2 的等边△ ABC 的边角地,现修成草坪,图中 DE 把草坪分成面积相等 的两部分, D 在 AB 上, E 在 AC 上. (1)设 AD ? x ( x ? 1), DE ? y ,求用 x 表示 y 的函数关系式;
-5-

(2)如果 DE 是灌溉水管,为节约成本,希望它最短, DE 的位置应在哪里?如果 DE 是参 观线路,则希望它最长, DE 的位置又应在哪里?请予证明. 解: (1)在△ ADE 中, y 2 ? x2 ? AE 2 ? 2xAE cos60 ? y 2 ? x2 ? AE 2 ? xAE ,① x y C A E

又 S△ ADE=

1 3 1 S△ ABC= = x ? AE ? sin 60 ? x ? AE ? 2 .② 2 2 2

D B

2 2 ② 代入① 得 y 2 = x + ( ) -2( y >0), ∴ y = x ?
2

2 x

4 ? 2 (1≤ x ≤2). x2

(2)如果 DE 是水管 y= x ?
2

4 ?2 ≥ 2 2?2 ? 2 , x2

4 ,即 x= 2 时“=”成立,故 DE // BC ,且 DE = 2 . x2 4 如果 DE 是参观线路,记 f ( x ) = x 2+ 2 ,可知函数在[1, 2 ]上递减, x
当且仅当 x2= 在[ 2 ,2]上递增,故 f ( x ) max= f (1)= f (2)=5. ∴ y 即 DE 为 AB 中线或 AC 中线时, DE 最长. 21(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且 (a ?1)Sn ? a(an ?1)(a ? 0)(n ? N* ) 。 (1)求证数列 {an } 是等比数列,并求其通项公式 an ; (2) 已知 集合 A ? {x | x2 ? a ? (a ? 1) x}, 问 是 否存 在 实数 a , 使 得对 于任意 的 n ? N , 都 有
*
max=

5?2 ? 3 .

Sn ? A ? 若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由。
解:(1)当 n ? 1 时,

(a ?1)S1 ? a(a1 ?1),?a1 ? a(a ? 0)

n ? 2 时,由 (a ?1)Sn ? a(an ?1)(a ? 0), 得 (a ?1)Sn?1 ? a(an?1 ?1)

?(a ?1)an ? a(an ? an?1 ) ,变形得:

an ? a(n ? 2) an?1
n

故 {an } 是以 a1 ? a 为首项,公比为 a 的等比数列,?an ? a

(2)① 当 a ? 1 时, A ? {1}, Sn ? n, 只有 n ? 1 时 Sn ? A, ? a ? 1 不适合题意
-6-

②a ? 1 时, A ? {x | 1 ? x ? a}, S2 ? a ? a2 ? a,? S2 ? A, 即当 a ? 1 时,不存在满足条件的实数 a ③ 当 0 ? a ? 1 时, A ? {x | a ? x ? 1} 而 Sn ? a ? a ?
2

? an ?

a a (1 ? a n ) ? [a, ) 1? a 1? a

因此对任意的 n ? N , 要使 Sn ? A, 只需
*

0 ? a ? 1, 1 解得 0 ? a ? a ? 1, 2 1? a

综上得实数 a 的范围是 (0, ] 22. (本小题满分 14 分)

1 2

1 x 图象上任意两点,且 ? log 2 2 1? x 1 1 OM ? (OA ? OB) ,已知点 M 的横坐标为 2 2 (1)求点 M 的纵坐标; 1 2 n ?1 ) ,其中 n ? N * 且 n≥2, (2)若 S n ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n ① 求 Sn ;
设 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 是函数 f ( x) ? ② 已知,其中 n ? N , Tn 为数列 {a n } 的前 n 项和,若 Tn ? ? ( S n ?1 ? 1) 对一切 n ? N 都成
* *

立,试求 λ 的最小正整数值。 22.解析: (1)依题意由 OM ?

1 (OA ? OB ) 知 M 为线段 AB 的中点。 2

又? M 的横坐标为 1,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y 2 ) 即

x1 ? x 2 1 ? ? x1 ? x 2 ? 1 2 2

x x y ? y2 1 ? y1 ? y 2 ? 1 ? log2 ( 1 ? 2 ) ? 1 ? log2 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? x1 1 ? x2 2 2
即 M 点的纵坐标为定值 (2)由① 知?

1 2

1 n ?1 1 n ?1 ? ? 1, ? f ( ) ? f ( ) ?1 n n n n 1 2 n ?1 n ?1 n?2 1 又? Sn ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( )? f( )? f( ) ??? f ( ) n n n n n n n ?1 ? 2S n ? (n ? 1) ? 1 ? S n ? (n ? N *且n ? 2) 2
-7-

(3)当 n ? 2 时, a n ? 又 n ? 1 , a1 ?

1 4 ? ( S n ? 1)(S n?1 ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

4 2 ? 也适合。 2?3 3

? an ?

4 (n ? N * ) (n ? 1)(n ? 2) 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 4( ? ? ? ? ? ? ? ) 2 ? 3 3? 4 (n ? 1)(n ? 2) 2 3 3 4 n ?1 n ? 2

? Tn ?

1 1 2n ? 4( ? )? (n ? N * ) 2 n?2 n?2 2n n 4n ? ? ( ? 1) 恒成立 (n ? N * ) ? ? ? 2 由 n?2 2 n ? 4n ? 4


4n ? n ? 4n ? 4
2

4 4 1 ? ? (当且仅当 n ? 2 取等号) 4 4?4 2 n? ?4 n

?? ?

1 ,? ? 的最小正整数为 1。 2

-8-



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