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2013高考第一轮复习课件和测试(9.3空间点、直线、平面)


2013 年高考数学总复习 9-3 空间点、直线、平面之间的位置关系但因为测试 新人教 B 版 1.若空间中有四个点,则“这四个点中有三点在同一条直线上”是“这四个点在同一个平面上”的( A.充分非必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 若有三点共线于 l,当第四点在 l 上时共面,当第四点不在 l 上时,l 与该点确定一个平面 α,这四点共 面于 α;若四点共面,则未必有三点共线. 2.(2011· 福州二检)给出下列四个命题: ①没有公共点的两条直线平行; ②互相垂直的两条直线是相交直线; ③既不平行也不相交的直线是异面直线; ④不同在任何一个平面内的两条直线是异面直线.其中正确命题的个数是( A.1 C.3 [答案] B [解析] 没有公共点的两条直线平行或异面,故命题①错;互相垂直的两条直线相交或异面,故命题②错;既 不平行也不相交的直线是异面直线,不同在任一平面内的两条直线是异面直线,命题③、④正确,故选 B. 3.(2011· 济宁一模)已知空间中有三条线段 AB、BC 和 CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线 AB 与 CD 的位置关 系是( ) B.2 D.4 ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件 )

A.AB∥CD B.AB 与 CD 异面 C.AB 与 CD 相交 D.AB∥CD 或 AB 与 CD 异面或 AB 与 CD 相交 [答案] D [解析] 若三条线段共面,如果 AB、BC、CD 构成等腰三角形,则直线 AB 与 CD 相交,否则直线 AB 与 C D 平行;若不共面,则直线 AB 与 CD 是异面直线,故选 D. 4.(文)(2011· 北京市西城区模拟)正方体 ABCD-A1B1C1D1 中 ,与对角线 AC1 异面的棱有( A.3 条 C.6 条 [答 案] C [解析] 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,与对角线 AC1 有公共点 A 的和有公共点 C1 的各有 3 条,其余 6 条所在 正方体的面与 AC1 均相交,且交点不在这些棱上,由异面直线判定定理知,这 6 条与 AC1 都异面,故选 C. (理)平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面也与 CC1 共面的棱的条数为( A.3 C.5 B.4 D.6 ) B.4 条 D.8 条 )

[答案] C [解析] 如上图,平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中,既与 AB 共面,也与 CC1 共面的棱为 BC、C1D1、DC、AA1、 BB1,共 5 条. 5.(文)(2011· 中山模拟)设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形,用平面 α 去截此四棱锥(如下图),使得截 面四边形是平行四边形,则这样的平面 α

(

)

A.不存在 B.只有 1 个 C.恰有 4 个 D.有无数多个 [答案] D [解析] 解法一:在四棱锥 P-ABCD 的侧棱 PA、PB 上各取一点 E、F,在侧棱 PC 上取一点 M,在侧面 PCD 内过 M 作 MN∥EF,在平面 PCD 内沿侧棱平行移动直线 MN,使其与两侧棱交点 M、N 之间线段长 MN=EF,则 截面 MNEF 截得的四边形为平行四边形,所有与平面 MNEF 平行的平面截四棱锥所得的四边形均为平行四边形, 故选 D. 解法二:作一个平行四边形 A1B1C1D1,在平面 A1B1C1D1 外任取一点 P 得到四棱锥 P-A1B1C1D1,在直线 PA1、 PB1、 1、 1 上任取点 A、 C、 使 ABCD 不是平行四边形, PC PD B、 D, 则四棱锥 P-ABCD 符合题意, 所有与平面 A1B1C1D1

平行的平面截四棱锥均可得到一个平行四边形. (理)如下图是正方体或四面体,P、Q、R、S 分别是所在棱的中点,则这四个点不共面的一个图是( )

[答案] D [解析] A 中,PS∥QR;B 中如下图可知此四点共面;C 中 PS∥QR;D 中 RS 在经过平面 PQS 内一点和平面 PQS 外一点的直线上,故选 D.

6.(2011· 浙江省嘉兴市质检)如下图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是 BC1,CD1 的中点,则下列 判断错误的是( )

A.MN 与 CC1 垂直 C.MN 与 BD 平行 [答案] D

B.MN 与 AC 垂直 D.MN 与 A1B1 平行

[解析] 由于 C1D1 与 A1B1 平行,MN 与 C1D1 是异面直线,所以 MN 与 A1B1 是异面直线,故选项 D 错误. [点评] 取 CC1 中点 P,则 MP∥BC,NP∥C1D1,∵CC1⊥B C,CC1⊥C1D1,∴CC1⊥MP,CC1⊥NP,∴CC1⊥

1 1 平面 MNP,∴CC1⊥MN,∴A 正确;取 CD 中点 Q,BC 中点 R,则 NQ 綊 D1D,MR 綊 CC1,∵CC1 綊 D1D,∴NQ 2 2 綊 MR,∴MN∥QR,∵QR∥BD,AC⊥BD,∴AC⊥MN,∴B 正确; ∵MN∥QR,QR∥BD,∴MN∥BD,∴C 正确. 7.(2011· 金华模拟)在图中,G、H、M、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则使直线 GH、MN 是异面 直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)

[答案] ②④ [解析] 图①中,直线 GH∥MN; 图②中,G、H、N 三点在三棱柱的侧面上,MG 与这个侧面相交于 G,∴M?平面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面; 图③中,连接 MG,GM∥HN,因此 GH 与 MN 共面; 图④中,G、M、N 共面,但 H?平面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 所以图②、④中 GH 与 MN 异面. 8.(2011· 浙江杭州)已知 a、b 为不垂直的异面直线,α 是一个平面,则 a、b 在 α 上的射影可能是:①两条平行 直线;②两条互相垂直的直线;③同一条直线;④一条直线及其外一点.则在上面的结论中,正确结论的编号是 ________(写出所有正确结论的编号) [答案] ①②④ [解析] 设与两异面直线都平行的平面为 α,β⊥α,则 a、b 在 β 内的射影为两条平行直线,∴①正确;当 a⊥α 时,a、b 在 α 内的射影为一条直线及线外一点,∴④正确;适当调整 角度可以使 a 在 α 内的射影 a′与 b 垂直,从而 a′与 b 在 α 内的射影 b′垂直,无论什么情况下,两直线的射影都不可能重合. 9.(2011· 南京模拟)如下图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=1,BC=2,AC= 5,AA1=3,M 为线段 BB1 上 的一动点,则当 AM+MC1 最小时,△AMC1 的面积为________.

[答案]

3

[解析] 将三棱柱的侧面 A1ABB1 和 B1BCC1 以 BB1 为折痕展平到一个平面 α 上,在平面 α 内 AC1 与 BB1 相交, 则交点即为 M 点,易求 BM=1,∴AM= 2,MC1=2 2, 又在棱柱中,AC1= 14, AM2+MC2-AC2 2+8-14 1 1 1 ∴cos∠AMC1= = =- , 2AM· 1 MC 2 2× 2× 2 2 ∴∠AMC1=120° , 1 ∴S△AMC1= AM· 1· MC sin∠AMC1 2 1 3 = × 2× 2× = 3. 2 2 2 10.如下图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E、F 分别为 D1C1、B1C1 的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q, 若 A1C 交平面 BDEF 于点 R,试确定点 R 的位置.

[解析] 如下图,在正方体 AC1 中,∵Q∈A1C1,∴Q∈平面 A1C1CA.又 Q∈EF,∴Q∈平面 BDEF,即 Q 是平 面 A1C1CA 与平面 BDEF 的公共点. 同理, 也是平面 A1C 1CA 与平面 BDEF 的公共点. P ∴平面 A1C1CA∩平面 BDEF =PQ,又 A1C∩平面 BDEF=R,∴R∈A1C, ∴R∈平面 A1C1CA,又 R∈平面 BDEF,∴R∈PQ,

∴R 是 A1C 与 PQ 的交点.

11.已知 a、b、c 是相异直线,α、β、γ 是相异平面,下列命题中正确的是( A.a 与 b 异面,b 与 c 异面?a 与 c 异面 B.a 与 b 相交,b 与 c 相交?a 与 c 相交 C.α∥β,β∥γ?α∥γ D.a?α,b?β,α 与 β 相交?a 与 b 相交 [答案 ] C

)

[解析] 如图(1), 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, b、 是三条棱所在直线满足 a 与 b 异面, 与 c 异面, a∩c a、 c b 但 =A,故 A 错;同样在图(2)的正方体中,满足 a 与 b 相交,b 与 c 相交,但 a 与 c 不相交,故 B 错;如图(3),α∩β =c,a∥c,则 a 与 b 不相交,故 D 错.

12.如下图是一正方体的表面展开图,MN 和 PB 是两 条面对角线,则在正方体中,直线 MN 与直线 PB 的位置 关系为( )

A.相交 C.异面 [答案] C

B.平行 D.重合

[解析] 将表面展开图折起还原为正方体如下图,故 MN 与 PB 异面.

13.(2011· 山西太原调研)已知平面 α 和不重合的两条直线 m、n,下列选项正确的是( A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n 与 α 相交,那么 m、n 是异面直线 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m⊥α,n⊥m,那么 n ∥α [答案] C

)

[解析] 如图(1)可知 A 错;如图(2)可知 B 错;如图(3),m⊥α,n 是 α 内的任意直线,都有 n⊥m,故 D 错 . ∵n∥α,∴n 与 α 无公共点,∵m?α,∴n 与 m 无公共点,又 m、n 共面,∴m∥n,故选 C.

14.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,S 是 B1D1 的中点,E、F、G 分别是 BC、SC 和 DC 的中点,点 P 在线段 FG 上. (1)求证:平面 EFG∥平面 SDB; (2)求证:PE⊥AC.

[解析] (1)∵E、F、G 分别为 BC、SC、CD 的中点, ∴EF∥SB,EG∥BD. ∵EF?平面 SBD,EG?平面 SBD, ∴EF∥平面 SBD,EG∥平面 SBD. ∵EG∩EF=E,∴平面 EFG∥平面 SDB. (2)∵B1B⊥底面 ABCD,∴AC⊥B1B. 又∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD. ∴AC⊥平面 B1BDD1,即 AC⊥平面 SBD. 又平面 EFG∥平面 SBD, ∴AC⊥平面 EFG. ∵PE? 平面 EFG,∴PE⊥AC. 15.(2010· 江苏通州调研)如下图,在四棱锥 P-ABCD 中,ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,PA=AD=1,AB= 3,点 E 在 CD 上移动.

(1)求三棱锥 E-PAB 的体积; (2)试在 PD 上找一点 F,使得 PE⊥AF,并证明你的结论. [解析] (1)∵PA⊥平面 ABCD, 1 ∴VE-PAB=VP-ABE= S△ABE· PA 3

1 1 3 = ×× 1× 3× 1= . 3 2 6 (2)F 是 PD 的中点 ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,∴CD⊥PA[来源:Zxxk.Com] ∵ABCD 是矩形,∴CD⊥AD ∵PA∩AD=A,∴CD⊥平面 PAD ∵F 是 PD 上的点,AF?平面 PAD,∴AF⊥DC ∵PA=AD,点 F 是 PD 的中点,∴AF⊥PD 又 CD∩PD=D,∴AF⊥平面 PDC ∵PE?平面 PDC,∴PE⊥AF.

1.将正方体纸盒展开如下图所示,直线 AB,CD 在原正方体中的位置关系是(

)

A.平行 C.相交成 60° 角 [答案] D

B.垂直 D.异面且成 60° 角[来源:Z|xx|k.Com]

[解析] 折起后如下图,显然 AB 与 CD 异面,∵AM∥CD,△AMB 为正三角形,∴∠MAB=60° .

2.(2011· 四川文,6)l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A.l1⊥l2,l2⊥l3?l1∥l3 B.l1⊥l2,l2∥l3?l1⊥l3 C.l1∥l2∥l3?l1,l2,l3 共面 D.l1,l2,l3 共点?l1,l2,l3 共面 [答案] B

)

[解析] 举反例,由教室内共点的三条墙角线可知 A、D 是错误的;由三棱柱的三条侧棱可知 C 是错误的.故 选 B. 3.(2010· 全国卷Ⅰ文,6)直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若∠BAC=90° ,AB=AC=AA1,则异面直线 BA1 与 AC1 所成的角等于( A.30° C.60° [答案] C [解析] 将原来的直三棱柱补成一个正方体 ABDC-A1B1D1C1, ∵AC1∥BD1, ∴∠A1BD1 即为异面直线 BA1 与 AC1 所成的角. ∵△A1BD1 为正三角形, ∴∠A1BD1=60° . [点评] 异面直线所成的角是重点考查的一个内容,难点在于寻找异面直线的平行线,本题巧妙地构造一个正 方体,借助于正方体的特点,很容易找出异面直线所成的角. 4.(2010· 江西文,11)如下图,M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点,给出下列四个命题: ) B.45° D.90°

①过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都相交; ②过 M 点有且只有一条直线与直线 AB,B1C1 都垂直; ③过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都相交; ④过 M 点有且只有一个平面与直线 AB,B1C1 都平行. 其中真命题是( A.②③④ C.①②④ [答案] C [解析] ∵点 M 不在 B1C1 上,∴由 B1C1 与点 M 可确定唯一平面 B1C1M,设此平面与 AA1 交点为 N,则 N 为 AA1 中点,在平面 ABB1A1 内,B1N 与 BA 必相交,设交点为 Q,则 QM 与 B1C1 一定不平行,∴QM 与 AB、B1C1 都 相交,由作法知,这样的直线 QM 有且仅 有一条,∴①真; ∵AB∥A1B1,A1B1 与 B1C1 相交确定一个平面 A1B1C1D1,∵过点 M 作平面 A1B1C1D1 的垂线唯一, ∴过 M 与 AB、B1C1 都垂直的直线唯一,∴②真; 过 M 作 ME∥DC,交 CC1 于 E,∵DC∥AB,∴ME∥AB;过 M 作 MF∥A1D1,交 AA1 于 F,∵A1D1∥B1C1, ∴MF∥B1C1,∴AB 与 B1C1 都与平面 MEF 平行,由作法知,这样的平面 MEF 有且仅有一个,故选 C. ) B.①③④ D.①②③


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