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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第二章 推理与证明单元综合测试 新人教版选修2-2


【名师一号】 2014-2015 学年高中数学 第二章 推理与证明单元综合 测试 新人教版选修 2-2
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.若实数 a,b 满足 b>a>0,且 a+b=1,则下列四个数最大的是( A.a +b C. 1 2
2 2

)

B.2ab D.a

答案 A 2.下面用“三段论”形式写出的演练推理:因为指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)在(0, 1 x 1 x +∞)上是增函数,y=( ) 是指数函数,所以 y=( ) 在(0,+∞)上是增函数 . 2 2 该结论显然是错误的,其原因是( A.大前提错误 C.推理形式错误
x x

) B.小前提错误 D.以上都可能

解析 大前提是:指数函数 y=a (a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数,这是错误的. 答案 A 3.设 a,b,c 都是非零实数,则关于 a,bc,ac,-b 四个数,有以下说法: ①四个数可能都是正数;②四个数 可能都是负数;③四个数中既有正数又有负数. 则说法中正确的个数有( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析 可用反证法推出①,②不正确,因此③正确. 答案 B 4.下面使用类比推理正确的是( )

A.“若 a·3=b·3,则 a=b”类比推出“若 a·0=b·0,则 a=b” B.“(a+b)·c=ac+bc”类比推出“(a·b)·c=ac·bc” C.“(a+b)·c=ac+bc”类比推出“
n n n n

a+b a b = + (c≠0)” c c c
n n

D.“(ab) =a b ”类比推出“(a+b) =a +b ” 解析 由类比出的结果应正确知选 C. 答案 C 5.在证明命题“对于任意角 θ ,cos θ -sin θ =cos2θ ”的过程:cos θ -sin θ =
4 4 4 4

(cos θ +sin θ )(cos θ -sin θ )=cos θ -sin θ =cos2θ 中应用了( A.分析法 B.综合法 C.分析法和综合法综合使用 D.间接证法 答案 B

2

2

2

2

2

2

)

π π 6.已知 f(x)=sin(x+1) - 3cos(x+1) ,则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2011)= 3 3 ( ) A.2 3 C.- 3 B. 3 D.0

1 π 3 π π 解析 ∵f(x)=2[ sin(x+1) - cos(x+1) ]=2sin x,∴周期 T=6,且 f(1) 2 3 2 3 3 +f(2)+?+f(6)=2( π 2sin = 3. 3 答案 B 1 1 1 * 7.用数学归纳法证明 1+ + +?+ n <n(n∈N ,且 n>1),由 n=k(k>1)不等式成 2 3 2 -1 立,推证 n=k+1 时,左边应增加的项数为( A.2 -1 C.2
k-1 k

3 3 3 3 + +0- - +0)=0,∴f(2011)=f(6×335+1)=f(1)= 2 2 2 2

) B.2 +1 D.2
k k

1 1 1 1 1 1 解析 当 n=k+1 时,左边=1+ + +?+ k + k+ k +?+ k+1 ,所以增加 2 3 2 -1 2 2 +1 2 -1 的项数为(2
k+1

-1)-2 +1=2

k

k+1

-2 =2 .

k

k

答案 D 8.若数列{an} 是等比数列,则数列{an+an+1}( A.一定是等比数列 B.一定是等差数列 C.可能是等比数列也可能是等差数列 D.一定不是等比数列 解析 设等比数列{an}的公比为 q,则 )

an+an+1=an(1+q).
∴当 q≠-1 时,{an+an+1}一定是等比数列;

当 q=-1 时,an+an+1=0,此时为等差数列. 答案 C 1 1 9.如果 a,b 为非零实数,则不等式 > 成立的充要条件是(

a b

)

A.a>b 且 ab<0 C.a>b,ab<0 或 ab>0

B.a<b 且 ab>0 D.a b-ab <0
2 2

1 1 1 1 b-a 2 2 2 2 解析 ∵ab≠0,∴ > ? - >0? >0?(b-a)ab>0?ab -a b>0?a b-ab <0.

a b a b

ab

答案 D 10.由①正方形的对角线相等;②平行四边形的对角线相等;③正方形是平行四边形, 根据“三段论”推理出一个结论,则这个结论是( A.平行四边形的对角线相等 B.正方形的对角线相等 C.正方形是平行四边形 D.以上都不是 解析 大前提②,小前提③,结论①. 答案 B 11.观察下表: 1 2 3 4 ? ? 2 3 4 5 ? ? ? ? 3 4 5 6 ? ? 4??第一行 5??第二行 6??第三行 7??第四行 )

第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律,第 n 行第 n 列交叉点上的数应为( A.2n-1 C.n -1
2

)

B.2n+1 D.n
2

解析 观察数表可知,第 n 行第 n 列交叉点上的数依次为 1,3,5,7,?,2n-1. 答案 A 12.对于任意的两个实数对(a,b)和(c,d),规定:(a,b)=(c,d)当且仅当 a =c,b =d;运算“?”为:(a,b)?(c,d)=(ac-bd,bc+ad);运算“⊕”为:(a,b)⊕(c,d) =(a+c,b+d).设 p,q∈R,若(1,2)?(p,q)=(5,0),则(1,2)⊕(p,q)等于( A.(4,0) C.(0,2) B.(2,0) D.(0,-4) )

解析 由(1,2)?(p,q)=(5,0),得
?p-2q=5, ? ? ?2p+q=0 ?

??

?p=1, ? ?q=-2. ?

所以(1,2)⊕(p,q)=(1,2)⊕(1,-2)=(2,0). 答案 B 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13.已知 a>0,b>0,m=lg 解析

a+ b
2

,n=lg

a+b
2

,则 m,n 的大小关系是________.

ab>0? ab>0? a+b+2 ab>a+b? ( a + b)2>( a+b)2? a + b > a+b? a+b
2 ? lg

a+ b
2

>

a+ b
2

>lg

a+b
2

.

答案 m>n 14.在正三角形中,设它的内切圆的半径为 r,容易求得正三角形的周长 C(r)=6 3r, 面积 S(r)=3 3r ,发现 S′(r)=C(r).这是平面几何中的一个重要发现.请 用类比推理 的方法猜测对空间正四面体存在的类似结论为________. 解析 设正四面体的棱长为 a,内切球的半径为 r,利用等积变形易求得正四面体的高
2

h=4r.由棱长 a,高 h 和底面三角形外接圆的半径构成直角三角形,得 a2=(4r)2+?

? 3 ?2 a? , ?3 ?

1 2 2 解得 a=2 6r.于是正四面体的表面积 S(r)=4× ×(2 6r) ×sin60°=24 3r , 体积 V(r) 2 1 1 2 3 2 = × ×(2 6r) ×sin 60°×4r=8 3r ,所以 V′(r)=24 3r =S(r). 3 2 答案 V′(r)=S(r) 15.观察下列等式: 1 =1 1 -2 =-3 1 -2 +3 =6 1 -2 +3 -4 =-10 ? 照此规律,第 n 个等式为________________. 解析 分 n 为奇数、偶数两种情况.第 n 个等式的左边为 1 -2 +3 -?+ (-1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n-1 2

n.

当 n 为偶数时,分组求和(1 -2 )+(3 -4 )+?+[(n-1) -n ]=-[3+7+?+(2n -1)]=-

n?n+1?
2

.

当 n 为奇数时, (1 - 2 ) + (3 - 4 ) +?+ [(n - 1) - n ] + n =-

2

2

2

2

2

2

2

n?n-1?
2

+n =

2

n?n+1?
2

.
2 2 2

综上,第 n 个等式:1 -2 +3 -?+(-1) ?-1? 2
n+1

n-1 2

n=

n(n+1).
2 2 2

答案 1 -2 +3 -?+(-1)

n-1 2

n=

?-1? 2

n+1

n(n+1)

16. 对于平面几何中的命题“如果两个角的两边分别对应垂直, 那么这两个角相等或互 补 ” , 在 立 体 几 何 中 , 类 比 上 述 命 题 , 可 以 得 到 命 题 : “_________________ ________________________”. 答案 如果两个二面角的两个半平面分别对应垂直,那么这两个二面角相等或互补 三、 解答题(本大题共 6 个小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤) 1 4 17.(10 分)已知 0<a<1,求证: + ≥9. a 1-a 证法 1 (分析法) ∵0<a<1,∴1-a>0, 1 4 ∴要证 + ≥9, a 1-a 只需证 1-a+4a≥9a(1-a), 即证 1+3a≥9a(1-a), 即证 9a -6a+1≥0, 即证(3a-1) ≥0, 上式显然成立. ∴原命题成立. 证法 2 (综合法) ∵(3a-1) ≥0, 即 9a -6a+1≥0, ∴1+3a≥9a(1-a). ∵0<a<1, ∴ 即 1+3a ≥9, a?1-a? 1-a+4a ≥9, a?1-a?
2 2 2 2

1 4 即 + ≥9. a 1-a

证法 3 (反证法) 1 4 假设 + <9, a 1-a 1 4 即 + -9<0, a 1-a 即 即 即 1-a+4a-9a?1-a? <0, a?1-a? 9a -6a+1 <0, a?1-a? ?3a-1? <0, a?1-a?
2 2

而 0<a<1,∴a(1-a)>0, ∴(3a-1) <0,与(3a-1) ≥0 相矛盾, ∴原命题成立. 18.(12 分)下列推理是否正确?若不正确,指出错误之处. (1) 求证:四边形 的内角和等于 360°. 证明:设四边形 ABCD 是矩形,则它的四个角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=90° +90°+90°+90°=360°,所以四边形的内角和为 360°. (2) 已知 2和 3都是无理数,试证: 2+ 3也是无理数. 证明:依题设 2和 3都是无理数,而无理数与无理数之和是无理数,所以 2+ 3必 是无理数. (3) 已知实数 m 满足不等式(2m+1)(m+2)<0, 用反证法证明: 关于 x 的方程 x +2x+5 -m =0 无实根. 证明: 假设方程 x +2x+5-m =0 有实根. 由已知实数 m 满足不等式(2m+1)(m+2)<0, 1 1 2 2 2 解得-2<m<- ,而关于 x 的方程 x +2x+5-m =0 的判别式 Δ =4(m -4),∵-2<m<- , 2 2 1 2 2 2 ∴ <m <4,∴Δ <0,即关于 x 的方程 x +2x+5-m =0 无实根. 4 解 (1) 犯了偷换论题的错误,在证明过程中,把论题中的四边形改为矩形.
2 2 2 2 2 2

(2) 使用的论据是“无理数与无理数的和是无理数”, 这个论据是假的, 因为两个无理 数的和不一定是无理数,因此原题的真实性仍无法判定. (3)利用反证法进行证明时,要把假设作为条件进行推理,得出矛盾,本题在证明过程 中并没有用到假设的结论,也没有推出矛盾,所以不是反证法. 19.(12 分)已知数列{an}和{bn}是公比不相等的两个等比数列,cn=an+bn. 求证:数列{cn}不是等比数列. 证明 假设{cn}是等比数列,则 c1,c2,c3 成等比数列.设{an},{bn}的公比分别为 p

和 q,且 p≠q,则 a2=a1p,a3=a1p ,b2=b1q,b3=b1q . ∵c1,c2,c3 成等比数列,∴c22=c1·c3, 即(a2+b2) =(a1+b1)(a3+b3). ∴(a1p+b1q) =(a1+b1 )(a1p +b1q ). ∴2a1b1pq=a1b1p +a1b1q . ∴2pq=p +q ,∴(p-q) =0. ∴p=q 与已知 p≠q 矛盾. ∴数列{cn}不是等比数列. 20.(12 分)证明:若 a>0,则 证明 ∵a>0,要证 只需证 只需证( 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

a2+ 2- 2≥a+ -2. a a
1

1

1

a2+ 2- 2≥a+ -2 , a a
1

a2+ 2+2≥a+ + 2, a a a2+ 2+2)2≥(a+ + 2)2, a a a a2+ 2≥a2+ 2+4+2 2(a+ ), a a a
2 1 1 1 1 1 1

1 2 即证 a + 2+4+4 即证 1

a2+ 2≥ (a+ ), a 2 a

1 1 2 1 2 即证 a + 2≥ (a + 2+2), a 2 a 1 2 即证 a + 2≥2,

a

1 2 即证(a- ) ≥0,

a

该不等式显然成立. ∴

a2+ 2- 2≥a+ -2. a a

1

1

21.(12 分)如图,DC⊥平面 ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q 分别为 AE,AB 的中点.

(1)证明:PQ∥平面 ACD; (2)求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦 值. 解 (1)证明:∵P,Q 分别为 AE,AB 的中点,

∴PQ∥EB,又 DC∥EB. ∴PQ∥DC,而 PQ?平面 ACD,

DC? 平面 ACD,∴PQ∥平面 ACD.
(2)如图,连接 CQ,DP,

∵Q 为 AB 的中点,且 AC=BC, ∴CQ⊥AB. ∵DC⊥平面 ABC,EB∥DC,∴EB⊥平面 ABC. ∴CQ⊥EB,故 CQ⊥平面 ABE. 1 由(1)知,PQ∥DC,又 PQ= EB=DC, 2 ∴四边形 CQPD 为平行四边形. ∴DP⊥平面 ABE. 故∠DAP 为 AD 与平面 ABE 所成角. 在 Rt△DAP 中,AD= 5,DP=1, ∴sin∠DAP= 5 . 5

因此 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值为

5 . 5

bx+1 1 22.(12 分)已知 f(x)= 2(x≠- ,a>0),且 f(1)=log162,f(-2)=1. ?ax+1? a
(1)求函数 f(x)的表达式; (2)已知数列{xn}的项满足 xn=(1-f(1))(1-f(2))?(1-f(n)),试求 x1,x2,x3,x4; (3)猜想{xn}的通项公式,并用数学归纳法证明.



(1) 把 f(1)=log16

b+1 1 = , ? ? ? a + 1 ? 4 1 2= ,f(-2)=1,代入函数表达式得? 4 -2b+1 ? ??1-2a? =1,
2 2

?4b+4=a +2a+1, ? 即? 2 ? ?-2b+1=4a -4a+1,

2

解得?

?a=1, ? ?b=0, ?

1 (舍去 a =- <0), 3

1 ∴f(x)= 2(x≠-1). ?x+1? 1 3 (2) x1=1-f(1)=1- = , 4 4

x2=(1-f(1))(1-f(2))
3 1 2 = ×(1- )= , 4 9 3

x3= (1-f(3))= ×(1- )= , x4= ×(1- )= .
3 2 4 5 3 6 n+2 (3) 由(2)知,x1= ,x2= = , x3= ,x4= = ,?,由此可以猜想 xn= . 4 3 6 8 5 10 2n+2 3 1+2 3 证明:①当 n=1 时,∵x1= ,而 = ,∴猜想成立. 4 2?1+1? 4 5 8 1 25 3 5

2 3

2 3

1 16

5 8

n+2 * ②假设当 n=k(k∈N )时,xn= 成立, 2?n+1? k+2 即 xk= ,则 n=k+1 时, 2?k+1? xk+1=(1-f(1))(1-f(2))?(1-f(k))·
(1-f(k+1)) =xk·(1-f(k+1))

= =

k+2 1 ·[1- 2] 2?k+1? ?k+1+1? k+2 ?k+1??k+3? · 2 2?k+1? ?k+2?

1 k+3 ?k+1?+2 = · = . 2 k+2 2[?k+1?+1]

n+2 * ∴当 n=k+1 时,猜想也成立,根据①②可知,对一切 n∈N ,猜想 xn= 都成 2?n+1?
立.



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