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高中数学必修5第一章解三角形同步练习


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正弦定理和余弦定理同步练习 正弦定理和余弦定理同步练习
基础达标 一、选择题 1.在△ABC 中,a=1,b= 3 ,A=30°,则 B 等于( ) A.60° B.60°或 120° D.120° C.30°或 150° 解析:∵b= 3 >a=1,A=30°, ∴B 有两个解. ∵

a b = , sin A sin B 3× 1 2= 3. 1 2
) D.2( 2 -1)

b sin A ∴sinB= = a

∴B=60°或 120°. 答案:B 2.在△ABC 中,A=60°,C=45°,b=2,则此三角形的最小边长为( A.2 B.2 3 -2 C. 3 -1 解析:∵A=60°,C=45°, ∴B=180°-60°-45°=75°,故 c 边最小.

2 c b b sin C 2 2 = ∵ = ,∴c= = =2 3 -2. sin C sin B sin B sin 75° sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° 2×
答案:B 3.△ABC 中,根据下列条件,确定△ABC 有两解的是( ) A.a=18,b=20,A=120° B.a=60,c=48,B=60° C.a=3,b=6,A=30° D.a=14,b=16,A=45° 解析:三角形有两解,则已知角必为锐角,故排除 A;B 是已知两边及夹角,只有一解;在 C 中,sinB= 答案:D 4.已知△ABC 中,a= 3 ,b=1,B=30°,则其面积等于( A. )

b sin A 6 × sin 30° = =1,只有一解. a 3

3 3 或 3 B. 2 2 a b 解析:∵ = , sin A sin B 1 3× a sin B 2= 3. ∴sinA= = b 1 2

C.

3 3 或 4 2

D.

3 4

∴A=60°或 120°. 当 A=60°时,C=90°, S△ABC=

1 3 ab= ; 2 2 1 1 1 3 absinC= × 3 × = . 2 2 2 4

当 A=120°时,C=30°, S△ABC=

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答案:C 5.在△ABC 中,若 A.30° 解析:∵

sin A cos B = ,则 B 的值为…( a b
B.45°

) C.60° D.90°

sin A sin B = , a b sin B cos B = .∴sinB=cosB. ∴ b b
) D.π

∴B=45°. 答案:B 6.在△ABC 中,a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)的值是(

1 A. 2

B.0

C.1

解析:a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0. 答案:B 7.已知△ABC 中,acosB=bcosA,则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰或直角三角形 D.钝角三角形 解析:∵a=2RsinA,b=2RsinB, ∴sinAcosB=sinB·cosA,即 tanA=tanB. ∴A=B. ∴△ABC 为等腰三角形. 答案:A

sin 3B 等于( ) sin B a b a A. B. C. b a c sin 3B sin( 2 B + B ) sin(C + B ) sin A a 解析: = = = = . sin B sin B sin B sin B b
8.在△ABC 中,C=2B,则

D.

c a

答案:A 二、填空题 2 9.三角形的两边分别为 3 cm 和 5 cm,它们所夹角的余弦为方程 5x -7x-6=0 的根,则这个三角 形的面积是_______________________________. 2 答案:6 cm 10.△ABC 中,已知 b=2a,B=A+60°,则 A=___________________________. 解析:∵

a 1 sin A 1 = ,∴ = , b 2 sin B 2 sin A 1 即 = . sin( A + 60°) 2
整理得 sinA=

3 3 cosA,即 tanA= . 3 3

∴A=30°. 答案:30° 三、解答题 11.已知三角形的两角分别是 45°、60°,它们夹边的长是 1,求最小边长.

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解:如图所示,A=75°, 故最小的边长为 b.

1 b = . sin 75° sin 45° 解得 b= 3 -1.
∴ 12.如图所示,AB⊥BC,CD=33,∠ACB=15°,∠BCD=75°,∠BDC=45°,求 AB 的长.

解:在△DBC 中, ∠DBC=180°-(∠BDC+∠BCD)=180°-(45°+75°)=60°. 在△BCD 中,由正弦定理,得

BC DC = , sin ∠BDC sin ∠DBC 33 sin 45° =11 6 . ∴BC= sin 60°
在 Rt△ABC 中,AB=BCtan15°=11 6 (2- 3 )=22 6 -33 2 . 更上一层 1.在△ABC 中,已知 tanA=

1 1 ,tanB= ,且最长边为 1,求: 2 3

(1)角 C 的大小; (2)△ABC 最短边的长. 解:(1)∵tanC=tan(π-A-B)=-tan(A+B) =-

tan A + tan B =-1, 1 ? tan A tan B 3π ∴C= . 4 1 1 3π (2)∵tanA= > =tanB,C= , 2 3 4
∴C 为最大角,B 为最小角. 又 tanB=

1 ,∴sinB= 3 b 由正弦定理,得 sin B c sin B 5 ∴b= = . sin C 5

10 . 10 c = , sin C

2.在△ABC 中,已知 A+C=2B,tanA·tanC=2+ 3 . (1)求 A、B、C 的值;

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(2)若顶点 C 的对边 c 上的高等于 4 3 ,求△ABC 各边的长. 思路分析:结合题目的条件,由 tanA·tanC=2+ 3 ,A+C=2B,可知 B=60°,A+C=120°, ∴可利用两角和的正切公式求 tanA+tanC,从而构造方程求 A 与 C 的正切值,再求角 A 与 C. 解:(1)∵A+C=2B,A+C+B=180°, ∴B=60°.∴A+C=120°. ∴tan(A+C)=

tan A + tan C =- 3 , 1 ? tan A ? tan C 则 tanA+tanC=3+ 3 .
那么 tanA、tanC 即为 x -(3+ 3 )x+(2+ 3 )=0 的两根.
2

∴?

?tan A = 1,

?tan C = 2 + 3 ?tan C = 1. ? A = 45°, ?C = 45°, ? ? ∴ ? B = 60°, 或 ? B = 60°, ?C = 120° ? 45° = 75° ? A = 120° ? 45° = 75°. ? ? ? A = 45°, ? (2)如图,当 ? B = 60°, 时, ?C = 75° ?

或?

?tan A = 2 + 3 ,

∵CD=4 3 ,∴CB=8,BD=4,AD=4 3 ,AC=4 6 . ∴AB=4+4 3 .

? A = 75°, ? 当 ? B = 60°, 时,如图. ?C = 45° ?

∵CD=4 3 ,∴CB=8,BD=4,

4 3
4 3 16 3 4 3 6 2 + AC= sin 75° = sin( 45° + 30°) = 4 4 = 2+ 6 =4 3 ( 6 - 2 )=4 6 ( 3 -1).
∴AB=BD+AD=4+4 3 (2- 3 )=8 3 -8. 3.某人在草地上散步,看到他西方有两根相距 6 米的标杆,当他向正北方向步行 3 分钟后,看 到一根标杆在其西南方向上,另一根标杆在其南偏西 30°方向上,求此人步行的速度.

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解:如图所示,A、B 两点的距离为 6 米,当此人沿正北方向走到 C 点时,测得∠BCO=45°,∠ ACO=30°, ∴∠BCA=∠BCO-∠ACO=45°-30°=15°. 由题意,知∠BAC=120°,∠ABC=45°. 在△ABC 中,由正弦定理,得

AC AB = , sin ∠ABC sin ∠BCA AB ? sin ∠ABC 6 × sin 45° = =6 3 +6. 即有 AC= sin ∠BCA sin 15°
在 Rt△AOC 中,有 OC=AC·cos30°=(6 3 +6)× 设步行速度为 x 米/分,

3 =9+3 3 . 2

9+3 3 则 x= =3+ 3 ≈4.73. 3
即此人步行的速度约为 4.73 米/分.

解三角形应用举例同步练习
1.在△ABC 中,下列各式正确的是( ) a sinB A. = B.asinC=csinB b sinA 2 2 2 C.asin(A+B)=csinA D.c =a +b -2abcos(A+B) 2 2 ) 2.已知三角形的三边长分别为 a、b、 a +ab+b ,则这个三角形的最大角是( A.135° B.120° C.60° D.90° 3.海上有 A、B 两个小岛相距 10 nmile,从 A 岛望 B 岛和 C 岛成 60°的视角,从 B 岛望 A 岛和 C 岛成 75°角的视角,则 B、C 间的距离是( ) 10 A.5 2 nmile B.10 3 nmile C. nmile D.5 6 3 6 nmile 4.如下图,为了测量隧道 AB 的长度,给定下列四组数据,测量应当用数据 A.α、a、b B.α、β、a C.a、b、γ D.α、β、γ 5.某人以时速 a km 向东行走,此时正刮着时速 a km 的南风, 那么此人感到的风向为 ,风速为 . 6.在△ABC 中,tanB=1,tanC=2,b=100,则 c= . 7.某船开始看见灯塔在南偏东 30°方向,后来船沿南偏东 60° 的方向航行 30 nmile 后看见灯塔在正西方向,则这时船与灯 塔的距离是 . 8.甲、乙两楼相距 20 m,从乙楼底望甲楼顶的仰角为 60°,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 0 . 30 ,则甲、乙两楼的高分别是

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9.在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ,由此点向塔沿直线行走 30 米,测得塔顶的 仰角为 2θ,再向塔前进 10 3 米,又测得塔顶的仰角为 4θ,则塔高是 米. cos2A cos2B 1 1 10.在△ABC 中,求证: 2 - 2 = 2 - 2 .

a

b

a

b

11.欲测河的宽度,在一岸边选定 A、B 两点,望对岸的标记物 C,测得∠CAB=45°,∠CBA= 75°,AB=120 m,求河宽.(精确到 0.01 m)

12.甲舰在 A 处,乙舰在 A 的南偏东 45°方向,距 A 有 9 nmile,并以 20 nmile/h 的速度 沿南偏西 15°方向行驶,若甲舰以 28 nmile/h 的速度行驶,应沿什么方向,用多少时间, 能尽快追上乙舰?

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金太阳新课标资源网 金太阳新课标资源网 wx.jtyjy.com 新课标资源 解三角形应用举例同步练习参考答案
1.C 2.B 3.D 4.C 5.东南 2 a 6.40 10 7.10 3 8.20 3 , 20 3 3 9.15

cos2A cos2B 1 1 10.在△ABC 中,求证: 2 - 2 = 2 - 2 .

a

b

a

b

1-2sin A 1-2sin B 1 1 sin A sin B - =( 2 - 2 )-2( 2 - 2 )=右边. 提示:左边= 2 2

2

2

2

2

a

b

a

b

a

b

11.欲测河的宽度,在一岸边选定 A、B 两点,望对岸的标记物 C,测得∠CAB=45°,∠CBA= 75°,AB=120 m,求河宽.(精确到 0.01 m) 解:由题意 C=180°-A-B=180°-45°-75°=60° 在△ABC 中,由正弦定理

AB
sinC


0

BC
sinA

2 120× 2 ABsinA 120×sin45 ∴ BC= = = =40 6 0 sinC sin60 3 2 1 1 S△ABC= AB·BCsinB= AB·h 2 2 ∴h=BCsinB=40 6 × 6+ 2 =60+20 3 ≈94.64 4

∴河宽 94.64 米. 12.甲舰在 A 处,乙舰在 A 的南偏东 45°方向,距 A 有 9 nmile,并以 20 nmile/h 的速度 沿南偏西 15°方向行驶,若甲舰以 28 nmile/h 的速度行驶,应沿什么方向,用多少时间, 能尽快追上乙舰? 解:设 th 甲舰可追上乙舰,相遇点记为 C 则在△ABC 中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=120° 由余弦定理 AC2=AB2+BC2-2AB·BCcosABC 1 2 2 (28t) =81+(20t) -2×9×20t×(- ) 2 2 整理得 128t -60t-27=0 3 9 解得 t= (t=- 舍去) 4 32 故 BC=15(nmile),AC=21( nmile) 由正弦定理

AC BC = o sin 120 sin BAC

15 3 5 5 3 ∠BAC=arcsin 3 ∴sinBAC= × = 21 2 14 14 π 5 故甲舰沿南偏东 -arcsin 3 的方向用 0.75 h 可追上乙舰. 4 14

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