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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第十二章 概率 12.2 古典概型与几何概型课件 理 北师大版


12.2

古典概型与几何概型

-2-

考纲要求:1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会计算一些随机 事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 3.了解随机数的意义, 能运用模拟方法估计概率. 4.了解几何概型的意义.

-3-

1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. (1)有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)等可能性:每个基本事件出现的可能性相等. 3.古典概型的概率公式

P(A)=

包含的基本事件的个数 基本事件的总数

.

-4-

4.几何概型 (1)定义:如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 (面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为 几何概型. (2)特点:①无限性:在一次试验中,可能出现的结果有无限多个; ②等可能性:每个结果的发生具有等可能性.

(3)公式:P(A)=

构成事件的区域长度(面积或体积)

试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

.

5.随机模拟方法 使用计算机或者其他方式进行的模拟试验,以便通过这个试验求 出随机事件的概率的近似值的方法就是随机模拟方法.

-5-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)掷一枚硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三 个结果是等可能事件. ( × ) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形. ( √ ) (3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关. ( × ) 1 (4)在古典概型中,每个基本事件的概率都是 ;如果某个事件A包 括的结果有m个,则 P(A)= . ( √ ) (5)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( √ )

-6-

1 2 3 4 5

2.(2015广东,理4)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有 10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白 球,1个红球的概率为( )
5 A. 21 10 B. 21 11 C. 21

D.1

关闭

从 15 个球中任取 2 个球,其中白球的个数服从超几何分布,根据超几 何分布的概率公式,得所取的 2 个球中恰有 1 个白球,1 个红球的概率 为
1 C1 10 C 5

B C2 15

=

10×5 15×7

=

10 21

.
解析

关闭

答案

-7-

1 2 3 4 5

3.(2015河北保定一模)在边长为4的正方形ABCD内任取一点M, 则∠AMB>90°的概率为( )
π A. 8 π C. 4 π B.18 π D.14

关闭

如图,正方形的边长为 4,图中白色区域是以 AB 为直径的半圆,当 M 落在半圆内时,∠AMB>90°,所以使∠AMB>90°的概率 P=
1 × π ×22 2 A

半圆

正方形

=
关闭

16

= .故选 A.
8

π

解析

答案

-8-

1 2 3 4 5

4.(2015江苏,5)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1 只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概 率为 .

关闭

根据条件得 P=
5 6

1 1 1 1 1 C1 1 C 1 +C 1 C 2 +C 1 C 2

C2 4

= 或 P=16

5

C2 2 C2 4

= .
6
关闭

5

解析

答案

-9-

1 2 3 4 5

5.如图,圆中有一内接等腰三角形.假设你在图中随机撒一把黄豆, 则它落在阴影部分的概率为 .

关闭

设圆的半径为 R,由题意知圆内接三角形为等腰直角三角形,其直角 边长为√2R,则所求事件的概率为 P= =
1




1 × √2× √2 2 π 2

= .
π

1

关闭

π

解析

答案

-10-

1 2 3 4 5

自测点评 1.一个试验是不是古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的 两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概率 模型才是古典概型. 2.“几何概型”与“古典概型”两者共同点是基本事件的发生是等 可能的,不同之处是几何概型的基本事件的个数是无限的,古典概 型中基本事件的个数是有限的. 3.几何概型中,事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、 面积或体积)成正比,而与A的位置和形状无关. 4.与线段长度有关的几何概型,直接利用两条线段的长度之比即 可;与时间有关的几何概型,求时间段之比即可.

-11考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点1简单的古典概型的概率 例1(1)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活 关闭 动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) (方法一 24=16,对 4 名同学平均分组共有 1)由题意知基本事件总数为 3 5 7 A. B. C. D. 2 C4 8), 8 8 8 = 3( 种 2
A2

对 4 名同学按 1,3 分组共有C1 周日都有同学参加共有 4 种 ,所以周六、 1 2 3× A2 2 + C4 A 2 =14(种 ). 14 7 由古典概型得所求概率为 = . (方法二)由题意知基本事件总数为 24=16.周六没有同学参加公益活 动即 4 位同学均在周日参加公益活动,此时只有一种情况;同理周日 没有同学参加公益活动也只有一种情况,所以周六、 周日均有同学参 关闭 14 7 D 加公益活动的情况共有 16-2=14(种 ).故所求概率为 = .故选 D.
16 8 16 8

解析

答案

-12考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)(2015江西南昌一模)将a,b,c,d四封不同的信随机放入A,B,C,D 4个不同的信封里,每个信封至少有一封信.其中a没有放入A中的概 率是 .

关闭

将四封不同的信随机放入 4 个不同的信封中,每个信封至少有一封 3 信的放法有A4 4 =24 种 ,其中信 a 放入 A 中的结果有A 3 =6 种 ,故 “信 a 没有放入 A 中 ”的概率为 1- 4=1- =1- = . 3
4

A3 3 A4

6

1 4

3 4

关闭

24

解析

答案

-13考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:如何求古典概型的概率? 解题心得:1.求古典概型的概率的思路是:先求出试验的基本事件 的总数和事件A包含的基本事件的个数,然后代入古典概型的概率 公式. 2.求试验的基本事件数及事件A包含的基本事件数时,应用两个 原理及排列与组合的知识进行求解.

-14考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练1 (1)为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10天中 随机选择3天进行紧急疏散演练,则选择的3天恰好为连续3天的概 率是 .(结构用最简分数表示)

关闭

3 任意选择 3 天共有C10 =120 种方法,其中 3 天是连续 3 天的选法有 8 8 1 种,故所求概率为 P= = . 120 15
1 15
关闭

解析

答案

-15考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)(2015辽宁鞍山一模)现有5双不同号码的鞋,从中任意取出4只, 则恰好只能配出一双的概率为 .

关闭

4 2 1 总的基本事件数为C10 =210,恰有两只成双的取法是C1 ·C ·C 4 2· 5 C1 2 =120. 120 4 故从中任意取出 4 只 , 则恰好只能配出一双的概率 P= = . 4 210 7

关闭

7

解析

答案

-16考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点2古典概型的交汇问题(多维探究) 类型一 古典概型与平面向量的交汇 例2连掷两次骰子得到的点数分别为m和n,记向量a=(m,n)与向 π 量b=(1,-1)的夹角为θ,则θ∈ ) 0, 的概率是( 2
5 A. 12 1 B. 2 7 C. 12 5 D. 6

思考:如何把两个向量的夹角的范围问题转化成与求概率的基本 事件有关的问题? 关闭

∵cos θ=√ 2 + 2 · 2, ∈ 0, 2 ,∴m≥n 满足条件,m=n 的概率为36 = 6;
m>n 的概率为 ∴ C ∈ 0,
π 2 √ 15 36

-

π

6

1

=

5

的概率为 +
6

12 1

.

5 12

=

7 12

.
解析

关闭

答案

-17考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

类型二 古典概型与解析几何的交汇 例3(2015河南洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数 a,b,则直线ax+by=0与圆(x-2)2+y2=2有公共点的概率 为 . 思考:如何把直线与圆有公共点的问题转化成与概率的基本事件 有关的问题?
关闭

依题意,将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a,b)共 有 6×6=36 个,其中满足直线 ax+by=0 与圆(x-2)2+y2=2 有公共点,即 2 满足 2 2 ≤ √2,a2≤b2 的数组(a,b)有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),…,(6,6), 共 6+5+4+3+2+1= 21 种,因此所求的概率等于
12 7

√ +

21 36

=

7

关闭

12

.
解析 答案

-18考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

类型三 古典概型与函数的交汇 1 2 例4设a∈{2,4},b∈{1,3},函数 f(x)=2ax +bx+1. (1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率; (2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的 概率解 . :(1)f'(x)=ax+b, 由题意 f'(-1)≤0,即 b≤a.
1 而(a,b)共有C2 1 ·C2 =4

关闭

(2)由(1)可知,函数 f(x)共有 4 种可能,从中随机抽取两个,有 6 种 抽法. 因为函数 f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为 f'(1)=a+b, 所以这两个函数中的 a 与 b 之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这 1 组满足,故概率为 .
答案

3 种,满足 b≤a 的有 3 种,故概率为 . 4

1 6

-19考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:如何把f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的问题转换成与概率的 基本事件有关的问题? 解题心得:1.由向量的数量积公式,得出两向量夹角的余弦值的表 达式,由夹角的范围得出点数m和n的关系m≥n,然后分别求m=n和 m>n对应的事件个数,从而也清楚了基本事件的个数就是点数m和n 组成的点的坐标数. 2.直线与圆有公共点,即圆心到直线的距离小于或等于半径,由此 得出a≤b,到此基本事件就清楚了,事件A包含的基本事件也清楚了. 3.f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数可转化成f(x)的导函数在区间(-∞,1]上小于或等于0,从而得出b≤a.从而不难得出b≤a包含的基本事 件数.

-20考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练2 (1)已知向量a=(x,-1),b=(3,y),其中x随机选自集合{1,1,3},y随机选自集合{1,3,9},则a∥b的概率为 ; a ⊥b 的 概率为 .

关闭

1 由题意,得 (x,y)所有的基本事件共有C1 3 ·C3 =9 个 . 设 “a∥b”为事件 A,则 xy=-3.事件 A 包含的基本事件有(-1,3),故 a∥b 1 的概率为 P(A)= ;

设 “a⊥b”为事件 B,则 y=3x.事件 B 包含的基本事件有(1,3),(3,9),故 a 2 关闭 ⊥ b 的概率为 P ( B ) = . 1 2
9 9

9

9

解析

答案

-21考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)(2015安徽亳州高三质检)已知集合 M={1,2,3,4},N={(a,b)|a∈M,b∈M},A是集合N中任意一点,O为坐标 原点,则直线OA与函数y=x2+1的图象有交点的概率是( )
A.
1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 8
关闭

由题意知 ,OA 斜率存在.设过点(0,0)与函数 y=x2+1 的图象有交点的 = , 直线为 y=kx,由 得 x2-kx+1=0, 2 = + 1, 则有 Δ=k2-4≥0,所以 k≥2(斜率小于 0 的无需考虑).集合 N 中共有 1 C1 4 ·C4 =16 个元素 ,其中使 OA 斜率不小于 2 的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4), 关闭 4 1 共 4 个 , 由古典概型知概率为 = . C
16 4

解析

答案

-22考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(3)(2015江西上饶模拟)设集合A={x|x2-3x-10<0,x∈Z},从集合A 2 2 中任取两个元素a,b,且a· b≠0,则方程 2 + 2=1表示焦点在x轴上的 双曲线的概率为 .

关闭

A={x|-2<x<5,x∈Z}={-1,0,1,2,3,4}, 由条件知,(a,b)的所有可能取法共有A2 5 =20 种 , 方程
5

2

+

2

=1 表示焦点在 x 轴上的双曲线,应有 a>0,b<0,
1 ·C1 =4

1 满足条件的共有 C1 4

种,所求概率 P= .
5

1

关闭

解析

答案

-23考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点3与长度、角度有关的几何概型 例5(1) (2015重庆,文15)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方 程x2+2px+3p-2=0有两个负根的概率为 .
关闭

当方程 x2+2px+3p-2=0 有两个负根 x1 和 x2 时 ,应有 ≥ 2 或 ≤ 1, = (2)2 -4(3-2) ≥ 0, > 0, 1 + 2 = -2 < 0, 解得 2 > , 1 2 = 3-2 > 0, 3 0 ≤ ≤ 5, 0 ≤ ≤ 5, 2 2 所以 <p≤1 或 2≤p≤5,即 p∈ ,1 ∪[2,5],由几何概型的概率计算
3

公式可知所求概率为
3

2

2 13

3

+(5-2) 5

= .
3

2

关闭

解析

答案

-24考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)如图,四边形ABCD为矩形,AB= √3 ,BC=1,以A为圆心,1为半径 作四分之一个圆弧DE,在∠DAB内任作射线AP,则射线AP与线段BC 有公共点的概率为 .

关闭

因为在∠DAB 内任作射线 AP,则等可能基本事件为“∠DAB 内作射 线 AP”,所以它的所有等可能事件所在的区域 H 是∠DAB,当射线 AP 与线段 BC 有公共点时,射线 AP 落在∠CAB 内,区域 h 为∠CAB,所以 射线 AP 与线段 BC 有公共点的概率为 1
3





=

30° 90°

= .
3

1

关闭

解析

答案

-25考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求? 解题心得:当考察对象为点,点的活动范围在线段上时,用线段长 度比计算几何概型的概率;当考察对象为线时,一般用角度比计算 几何概型的概率.

-26考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练3 (1)设P在[0,5]上随机地取值,则关于x的方程 x2+px+1=0有实数根的概率为( )

A.

1 5

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

关闭

由方程有实根,则 Δ=p2-4≥0,解得 p≥2 或 p≤-2(舍去).故所求概率为
5-2 5-0

C

= .
5

3

关闭

解析

答案

-27考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作 一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为 .

关闭

如题图,因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的,所以 OA 落在∠ 60 1 yOT 内的概率为 = . 关闭
1 6

360

6

解析

答案

-28考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点4与面积、体积有关的几何概型 例6(1)(2015南昌二模)若在圆C:x2+y2=4内任取一点P(x,y),则满 足 < 1, 的概率是 . 2 >

关闭

< 1, 不等式组 表示的区域的面积为 2 > 2 -
3
1 3π

1 0

(1-x2)dx=2×

1

3

|1 0

= ,所以其概率为
3

4

4 3



=

1 3π

.
关闭

解析

答案

-29考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)(2015济南一模)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一动点在此 长方体内随机运动,则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率 为 .

关闭

设事件 M 为 “动点在三棱锥 A-A1BD 内 ”, P(M)=
三棱锥 - 1 长方体 - 1 1 1 1 1 6

=

三棱锥 - 1 长方体 - 1 1 1 1

=

1 1 · △ 3

1 1 1 · 矩形 3 2

长方体 - 1 1 1 1

=
关闭

1 1 · 矩形 6

= .
解析

答案

-30考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路是什么? 解题心得:求与面积、体积有关的几何概型的概率的基本思路为: 用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域,由题意将已知条 件转化为事件A满足的区域,在图形中画出事件A发生的区域,然后 构成事件的区域的测度 用公式 P(A)= 求出概率.
试验的全部结果所组成的区域的测度

-31考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练4 (1)(2015石家庄二中一模)若从(0,e)内随机取两个数关闭 , 则这两个数之积不小于e的概率为( ) 0 < < e, 设这两个数为 x,y,则所有基本事件应满足 满足两个数之 0 < < e , 1 2 1 2 A.1B.1-0 < < e, C. D. e e e e e e 积不小于 e 的区域为 0 < < e,则其面积为 1 e- dx=(ex-eln ≥ e,
x)| 1 =e -2e,所以所求概率为
e
2

e 2 -2e e2

=1- ,故选 B.
e

2

关闭

B
解析 答案

-32考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为底面ABCD的中 心,在正方体ABCD-A1B1C1D1内随机取一点P,则点P到点O的距离大 于1的概率为( )
π 12 π C. 6

A.

π 12 π D.16

B.1-

关闭

正方体的体积为 2×2×2=8,以 O 为球心,1 为半径且在正方体内部的 1 4 1 4 2 半球的体积为 × πr3= × π × 13= π,则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1- =1- . 8 12 B
解析
2 π 3

2

3 π

2

3

3

关闭

答案

-33考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

考点5几何概型与其他知识的综合 例7(1)(2015陕西,理11)设复数z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,则 关闭 y≥ x 的概率为 ( 2+y2≤ ) 1. 由 |z| ≤ 1,得 (x-1) 3 1 C(1,0)1 1 ,半径 r=1 的圆及其内部 ,y≥x 表示直线 不等式表示以 为圆心 A. + B. + 4 2 π 2 π ). y=x 左上方部分 (如图所示 1 1 1 1 C. ? D. ?
2 π 4 2π

则阴影部分面积 S= π × 12-S△OAC= π- × 1×1= ? .
4

1

1

1 2

π 4

1 2

故所求事件的概率 P= = D




π 1 4 2 π ×12

= ?
4

4 1

1 2π

.
解析

关闭

答案

-34考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)在区间[1,5]和[2,4]上分别取一个数,记为a,b,则方程 表示焦点在x轴上,且离心率小于 √3 的椭圆的概率为
2 2

2 2

+

2

2 =1

方程 2 + 2=1 表示焦点在 2 > 2 , 故 2 - 2 √3 = = < , 2 2 2 > , > , 即 2 化简得 < 2. < 4 2 , 又 a∈[1,5],b∈ [2,4],画出满足不等式组 15 的平面区域 ,如图阴影部分所示,求得阴影部分的面积为 , 故所求的概率 P= 15
32

√3 x 轴上且离心率小于 的椭圆 , 2

2

.

关闭

阴影 矩形

=

15 4

4

2×4

=

15 32

.
解析

关闭

答案

-35考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

思考:如何把看似与几何概型无关的知识转化成与几何概型的量 度有关的问题? 解题心得:处理几何概型与其他知识的综合问题的关键是通过转 化将某一事件所包含的基本事件用“长度”“角度”“面积”“体积”等 表示出来.如将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标,这样 基本事件就构成了平面上的一个区域,进而转化为面积的度量来解 决.

-36考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

对点训练5 (1)若k∈[-3,3],则k的值使得过A(1,1)可以作两条直 线与圆(x-k)2+y2=2相切的概率等于 ( )

A.

1 2

B.

1 3

C.

2 3

D.

3 4

关闭

点在圆外 ,过该点可作两条直线与圆相切.故使圆心与点 A 的距离大 于半径即可,即(1-k)2+1>2,解得 k<0 或 k>2,所以所求 k∈[-3,0)∪(2,3], 4 2 所求概率 P= = .
6 3
关闭

C
解析 答案

-37考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

(2)在区间[0,10]上任取一个实数a,使得不等式2x2-ax+8≥0在 (0,+∞)上恒成立的概率为 .

关闭

要使 2x2-ax+8≥0 在 (0,+∞)上恒成立 ,只需 ax≤2x2+8,即 a≤2x+ 在 (0,+∞)上恒成立 . 8 又 2x+ ≥2√16=8,当且仅当 x=2 时等号成立 ,


8

所以只需 a≤8,所以 0≤a≤8.
4 由几何概型的概率计算公式可知所求概率为 5

8-0

10-0

= .
5

4

关闭

解析

答案

-38考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

1.古典概型计算三步曲: 第一,判断试验是不是等可能的;第二,本试验的基本事件有多少 个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个. 2.确定古典概型基本事件的方法: (1)当基本事件总数较少时,可列举计算; (2)利用计数原理、排列与组合求基本事件的个数. 3.转化思想在几何概型中的应用: 很多几何概型,往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的 计算上来,在解决问题时,要善于根据问题的具体情况进行转化,这 种转化策略是解决几何概型试题的关键.如建立坐标系将试验结果 和点对应,然后利用几何概型概率公式计算.

-39考点1 考点2 考点3 考点4 考点5 知识方法 易错易混

1.古典概型的重要思想是事件发生的等可能性,一定要注意在计 算基本事件总数和事件包含的基本事件个数时,它们是不是等可能 的. 2.解决几何概型问题时,有两点容易造成失分: (1)不能正确判断事件是古典概型还是几何概型; (2)利用几何概型的概率公式时,忽视事件是否等可能.



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