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2014版《创新方案》高中数学人教版A版选修4-4教学课件:第二讲 二 1.椭圆的参数方程


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椭圆的参数方程 x2 y2 (1)中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆 2+ 2=1 的参数 a b ? ?x=acos φ ? 方程是 ? (φ 是参数 ),规定参数 φ 的取值范围 ?y=bsin φ 是 [0,2π) . ?x-h?2 ?y-k?2 (2)中心在(h, k)的椭圆普通方程为 + = 1, a2 b2 ? ?x=h+acos φ 则其参数方程为 ? (φ 是参数). ? ?y=k+bsin φ

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[例 1]

x2 y2 已知实数 x,y 满足 + =1, 25 16

求目标函数 z=x-2y 的最大值与最小值. [ 思路点拨 ] 将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形

式,将问题转化成三角函数求最值问题.

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[解]

? ?x=5cos φ, x2 y2 椭圆 + =1 的参数方程为? 25 16 ? ?y=4sin φ

(φ 为参数). 代入目标函数得 z=5cos φ-8sin φ= 52+82cos(φ+φ0) 8 = 89cos(φ+φ0)(tan φ0= ). 5 所以目标函数 zmin=- 89,zmax= 89.

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利用椭圆的参数方程,求目标函数的最大(小)值, 通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解.

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x2 y2 1.已知椭圆 + =1,点 A 的坐标为(3,0).在椭圆上找 25 16 一点 P,使点 P 与点 A 的距离最大.
? ?x=5cos θ 解:椭圆的参数方程为? ? ?y=4sin θ

(θ 为参数).

设 P(5cos θ,4sin θ),则 |PA|= ?5cos θ-3?2+?4sin θ?2= 9cos2θ-30cos θ+25 = ?3cos θ-5?2=|3cos θ-5|≤8, 当 cos θ=-1 时,|PA|最大. 此时,sin θ=0,点 P 的坐标为(-5,0).

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x2 y2 2.椭圆 + =1 上一动点 P(x,y)与定点 A(a,0)(0<a<3) 9 4 之间的距离的最小值为 1,求 a 的值.

解:设动点 P(3cos θ,2sin θ),则 |PA|2=(3cos θ-a)2+4sin2θ 3 2 4 2 =5(cos θ- a) - a +4. 5 5 3 9 ∵0<a<3,∴0< a< .于是 5 5

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3 3 若 0< a≤1,则当 cos θ= a 时, 5 5 |PA|min= 4 2 - a +4=1,得 5

15 a= (舍去); 2 3 9 若 1< a< ,则当 cos θ=1 时, 5 5 由|PA|min= a2-6a+9=1, 得|a-3|=1,∴a=2,故满足要求的 a 值为 2.

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x2 y2 [例 2] 已知 A,B 分别是椭圆 + =1 的右顶点和 36 9 上顶点, 动点 C 在该椭圆上运动, 求△ABC 的重心 G 的轨 迹方程. [思路点拨] 由条件可知,A,B 两点坐标已知,点 C

在椭圆上,故可设出点 P 坐标的椭圆参数方程形式,由三 角形重心坐标公式求解.

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[解]

由题意知 A(6,0)、B(0,3).由于动点 C 在椭圆上

运动,故可设动点 C 的坐标为(6cos θ,3sin θ),点 G 的坐 标设为(x,y),由三角形重心的坐标公式可得 ? ?x=6+0+6cos θ, 3 ? ? ? 0+3+3sin θ y= , ? 3 ?
? ?x=2+2cos θ, 即? ? ?y=1+sin θ.

?x-2?2 消去参数 θ 得到 +(y-1)2=1. 4

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本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相

关问题的优越性,运用参数方程显得很简单,运算
更简便.

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x2 y2 3.已知椭圆方程是 + =1,点 A(6,6),P 是椭圆上一动 16 9 点,求线段 PA 中点 Q 的轨迹方程.

解:设 P(4cos θ,3sin θ),Q(x,y),则有 ? ?x=4cos θ+6, 2 ? ? ? 3sin θ+6 y= , ? 2 ? x=2cos θ+3, ? ? 即? 3 (θ 为参数) y= sin θ+3. ? ? 2

∴9(x-3)2+16(y-3)2=36,即为所求.

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x2 y2 4.设 F1、F2 分别为椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右两 a b 个焦点. 3 (1)若椭圆 C 上的点 A(1, )到 F1,F2 的距离之和等于 4, 2 写出椭圆 C 的方程和焦点坐标; (2)设点 P 是(1)中所得椭圆上的动点, 求线段 F1P 的中点的 轨迹方程.

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解:(1)由椭圆上点 A 到 F1,F2 的距离之和是 4, 得 2a=4,即 a=2. 3 又点 A(1, )在椭圆上, 2 32 ? ? 1 2 因此 + 2 =1,得 b2=3, 4 b 于是 c2=a2-b2=1, x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1, 4 3 焦点坐标为 F1(-1,0),F2(1,0).

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(2)设椭圆 C 上的动点 P 的坐标为(2cos θ, 3sin θ),线段 F1P 的中点坐标为(x,y),则 2cos θ-1 3sin θ+0 x= ,y= , 2 2 1 2y 所以 x+ =cos θ, =sin θ. 2 3 1 2 4y2 消去 θ,得(x+ ) + =1. 2 3 即为线段 F1P 中点的轨迹方程.

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[例 3]

x2 2 已知椭圆 +y =1 上任一点 M(除短轴端点外) 4

与短轴两端点 B1、 B2 的连线分别交 x 轴于 P、 Q 两点, 求证: |OP|· |OQ|为定值. [思路点拨] 利用参数方程,设出点 M 的坐标,并由此

得到直线 MB1,MB2 的方程,从而得到 P、Q 两点坐标,求 出|OP|,|OQ|,再求|OP|· |OQ|的值.

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[证明]

设 M(2cos φ, sin φ), φ 为参数, B1(0, -1), B2(0,1).

sin φ+1 则 MB1 的方程:y+1= · x, 2cos φ
? 2cos φ ? 2cos φ ? 令 y=0,则 x= ,即|OP|=? ?1+sin φ?. sin φ+1 ? ?

sin φ-1 MB2 的方程:y-1= x, 2cos φ 2cos φ 令 y=0,则 x= . 1-sin φ
? 2cos φ ? ? ∴|OQ|=? ?1-sin φ?. ? ? ? 2cos φ ? ? 2cos φ ? ? ? ? ? ∴|OP|· |OQ|=?1+sin φ?×?1-sin φ?=4. ? ? ? ?

即|OP|· |OQ|=4 为定值.

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利用参数方程证明定值(或恒成立)问题,首先是

用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来,
然后利用条件消去参数,得到一个与参数无关的定值 即可.

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5.对任意实数,直线 y=x+b

? ?x=2cos θ 与椭圆? ? ?y=4sin θ

(0≤θ≤2π),

恒有公共点,则 b 的取值范围是________.
解析:将(2cos θ,4sin θ)代入 y=x+b 得: 4sin θ=2cos θ+b ∵恒有公共点,∴以上方程有解. 令 f(θ)=4sin θ-2cos θ =2 5sin(θ-φ). ∴-2 5≤f(θ)≤2 5. ∴-2 5≤b≤2 5.

答案:[-2 5,2 5]

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? ?x=acos θ, 6.曲线? ? ?y=bsin θ

(a>b>0)上一点 M 与两焦点 F1、F2

所成角为∠F1MF2=α. α 求证:△F1MF2 的面积为 b tan . 2
2

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证明:∵M 在椭圆上, ∴由椭圆的定义,得: |MF1|+|MF2|=2a,两边平方, 得|MF1|2+|MF2|2+2|MF1|· |MF2|=4a2. 在 △ F1MF2 中 , 由 余 弦 定 理 , 得 |MF1|2 + |MF2|2 - 2|MF1||MF2|cos α=|F1F2|2=4c2. 由两式,得|MF1||MF2|= . α cos2 2 1 α 2 故 S△F1MF2= |MF1||MF2|sin α=b tan . 2 2 b2

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