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FHK:分类讨论在导数中的应用


分类讨论在导数中的应用
通过利用导数求函数的极值、最值、单调区间等问题对字母参数进行分类讨论。 难点:如何分类,分类的标准。 二、例题 例:若函数 f ( x) ? x ?

2 ? ln x ,求函数 f ( x) 的极值点。 x

2 1 x2 ? x ? 2 2 ? 解:因为 f ( x) ? x ? ? ln x( x ? 0) ,所以 f ( x) ? 1 ? 2 ? ? ( x ? 0) x x x2 x
令 f ?( x) ? 0 得 x ? ?2 (舍)或 x ? 1 列表如下:

x
f ?( x)
f ( x)

(0,1) — ↘

1 0 极小值

(1,+∞) + ↗

由上表知: x ? 1 是函数 f ( x) 的极小值点。 变式 1:若函数 f ( x) ? x ? 解: f ?( x) ? 1 ?

a ? ln x ,试讨论函数 f ( x) 的极值存在情况。 x

a 1 x2 ? x ? a ? ? ( x ? 0) x2 x x2
2

法一:令 g ( x) ? x ? x ? a ,因为 g ( x) 对称轴 x ? ?

1 ? 0 ,所以只需考虑 g (0) 的正负, 2

当 g (0) ? 0 即 a ? 0 时,在(0,+∞)上 g ( x) ? 0 ,即 f ( x) 在(0,+∞)单调递增,无极 值 当 g (0) ? 0 即 a ? 0 时, g ( x) ? 0 在(0,+∞)是有解,所以函数 f ( x) 存在极值。 综上所述:当 a ? 0 时,函数 f ( x) 存在极值;当 a ? 0 时,函数 f ( x) 不存在极值。 法二:令 f ?( x) ? 0 即 x ? x ? a ? 0 , ? ? 1 ? 4a
2

当? ? 0即a ? ? 当 ? ? 0即 a ? ?

1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 在(0,+∞)单调递增,无极值 4
? 1 ? 1 ? 4a ? 1 ? 1 ? 4a 1 2 ? 0 或 x2 ? 时, 解 x ? x ? a ? 0 得:x1 ? 2 2 4

第 1 页 共 5 页

若 a ? 0 则 x2 ? 0 列表如下:

x
f ?( x)
f ( x)

(0, x 2 ) — ↘

x2
0 极小值

( x 2 ,+∞) + ↗

由上表知: x ? x2 时函数 f ( x) 取到极小值,即 a ? 0 函数 f ( x) 存在极小值。 若?

1 ? a ? 0 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,所以 f ( x) 在(0,+∞)单调递减,函数不存在极值。 4

综上所述,当 a ? 0 时,函数 f ( x) 存在极值,当 a ? 0 时。函数 f ( x) 不存在极值 变式 2:若函数 f ( x) ? ax ? 解: f ?( x) ? a ?
2

2 ? ln x ,求函数的单调区间。 x

2 1 ax 2 ? x ? 2 ? ? ( x ? 0) x2 x x2

设 h( x) ? ax ? x ? 2, ? ? 1 ? 8a 1°当 a ? 0 时,因为 x ? ? 若 ? ? 0即a ? ? 减。 若 ? ? 0即 ? 列表如下:

1 ? 0, h(0) ? ?2 ? 0 , 2a

1 时,在 (0,??) 上 h( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(0,+∞)单调递 8

? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a 1 或 x2 ? ? a ? 0 时, 令h( x) ? 0得: x1 ? 2a 2a 8

x
f ?( x)
f ( x)

(0,x1) — ↘

x1 0 极小值

(x1,x2) + ↗

x2 0 极大值

(x2,+∞) — ↘

由上表知: f ( x) 的减区间为 (0,

? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a ) ,( ,??) 2 2

增区间为: (

? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a , )。 2 2

第 2 页 共 5 页

2°当 a ? 0 时, x ? (0,2), h( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(0,2)单调递减

x ? (2,??), h( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(2,+∞)单调递增
3°当 a ? 0 时,因为 x ? ?

1 ? 0, h(0) ? ?2 ? 0 ,4 所以 h( x) ? 0 有一正一负两根,解得: 2a

x1 ?

? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a ? 0 或 x2 ? ?0 2 2

列表如下:

x
f ?( x)
f ( x)

(0, x 2 ) — ↘

x2
0 极小值

( x 2 ,+∞) + ↗

由上表知: f ( x) 的减区间为 (0,

? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a ) ,增区间为: ( ,??) 。 2 2 ? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a ),( ,??) 2 2 ? 1 ? 1 ? 8a ? 1 ? 1 ? 8a , )。 2 2

综上所述: a ? 0 时, f ( x) 的减区间为 (0,

增区间为: (

,递增区间为(2,+∞) a ? 0 时, f ( x) 递减区间为(0,2)

a?0

时 , f ( x) 的 递 减 区 间 为 (0,

? 1 ? 1 ? 8a ) ,增区间为: 2

(

? 1 ? 1 ? 8a ,??) 2

变式 3:若函数 f ( x) ? ax ? 解: f ?( x) ? a ?
2

1 ? (a ? 1) ln x ,求 f ( x ) 在区间[2,3]上的最小值。 x

1 a ? 1 ax 2 ? (a ? 1) x ? 1 ? ? ( x ? 0) x x2 x2

设 p( x) ? ax ? (a ? 1) x ? 1 ,解 p( x) ? 0 得: x ? 1或 x ?

1 (a ? 0) a

1°当 a ? 0 时, x ? (0,1), p( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(0,1)单调递增

x ? (1,??), p( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在(1,+∞)单调递减

第 3 页 共 5 页

所以 f ( x) 在[2,3]上单调递减,所以 f min ( x) ? f (3) ? 3a ? 2°当 a ? 0 时,若 0 ?

1 ? (a ? 1) ln 3 。 3

1 1 ? 2 即 a ? 时, x ? [2,3] , p( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 2 a 1 递增,所以 f min ( x) ? f (2) ? 2a ? ? (a ? 1) ln 2 2 1 1 1 1 若 2 ? ? 3 即 ? a ? 时,x ? (2, ) , p( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 , 所以 f ( x) a 3 2 a 1 递减; x ? ( ,3) , p( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 递增, a 1 所以 f min ( x) ? f ( ) ? 1 ? a ? (a ? 1) ln a a 1 1 若 ? 3 即 0 ? a ? 时, x ? [2,3] , p( x) ? 0 即 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 递减, a 3 1 所以 f min ( x) ? f (3) ? 3a ? ? (a ? 1) ln 3 3
1 1 ? ?3a ? 3 ? (a ? 1) ln 3 (a ? 3 ) ? 1 1 ? 综上所述: f min ( x) ? ?1 ? a ? ( a ? 1) ln a ( ? a ? ) 3 2 ? 1 1 ? ?2a ? 2 ? (a ? 1) ln 2 (a ? 2 ) ?
x 例 2. (2012 高考真题安徽理 19)设 f ( x) ? ae ?

1 ? b(a ? 0) 。 ae x

(I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (II)设曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 的切线方程为 y ?
x

3 x ;求 a, b 的值。 2

1 1 a 2t 2 ? 1 ? ?b ? y ? a? 2 ? 解析: (I)设 t ? e (t ? 1) ;则 y ? at ? , at at at 2

1 ? b 在 t ? 1 上是增函数, at 1 得:当 t ? 1( x ? 0) 时, f ( x) 的最小值为 a ? ? b 。 a 1 ②当 0 ? a ? 1时, y ? at ? ?b ? 2?b, at 1 x 当且仅当 at ? 1(t ? e ? , x ? ? ln a) 时, f ( x) 的最小值为 b ? 2 。 a 1 1 x x (II) f ( x) ? ae ? x ? b ? f ?( x) ? ae ? x , ae ae
①当 a ? 1 时, y? ? 0 ? y ? at ?

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1 2 ? 2 ? ae ? 2 ? b ? 3 ?a ? 2 ? f (2) ? 3 ? ? ? ? ae e 由题意得: ? 。 ?? 3?? 1 3 1 f ?(2) ? 2 ? ? ? ae ? 2 ? b? ? 2 ? ? ae 2 ? 2 ?
点评:本题考查函数、导数的基础知识,运用导数研究函数性质等基本方法,考查分 类讨论思想,代数恒等变形能力和综合运用数学知识分析问题解决问题的能力。

1.函数 f ( x) ?

1 3 1 x ? (a ? 1) x 2 ? ax ,求它的单调增区间__ 3 2

________________。
1 1 1 1 2.函数 f ( x) ? (a ? 1) x 3 ? x 2 ? x ? 在其定义域内有极值点,求 a 的范围。 3 2 4 5

例 3 讨论函数 f ( x) ? 2ax3 ? 3?a ? 1?x 2 ? 6 x ? 3a 的单调性。
1 ? (a ? 1) ln x ,求 f ( x ) 在区间 ?1, e ? 上的最小值。 x 1? a 1 (2010 年山东卷)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? ? 1 (a ? R) .当 a ? 时,讨论 2 x

例 4 若函数 f ( x) ? ax ?

f ( x) 的单调性;
三、小结: 在利用导数求函数极值、最值及单调区间等问题时,若函数中含有参数,我们需对参 数进行讨论。 1)若导函数的二次项系数为参数,需对二次项系数为正、负或零进行分类讨论; 2)若需考虑判别式Δ ,需对Δ >0、 Δ =0、 Δ <0 进行分类讨论; 3)在求最值或单调区间时,由 f’(x)=0 解出的根, 需与给定区间的两个端点比较大小, 进行分类讨论。 分类讨论的思想方法: 就是当问题所给的对象不能进行统一研究时, 就需要对研究对象 按某个标准分类, 然后对每一类分别研究得出第一类的结论, 最后综合各类结果得到整个问 题的解答,其实质是“化整为零,各个击破,再积零为整”。在分类讨论时,要注意:1、 分类对象确定,标准统一;2、不重复,不遗漏;3、分层次,不越级讨论。

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