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2.2.2等差数列的前n项和(1)

2.2.2 等差数列的前 n 项和 (第一课时) 教学目标: 1.掌握等差数列前 n 项和公式及其推导方法. 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题 教学重点: 等差数列 n 项和公式的推导及应用 教学过程 一、引言:著名的数学家 高斯(德国 1777-1855)十岁时计算 1+2+3+…+100 的故事: 高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家 出道题目:“1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+…+100=5050 教师问: “你是如何算出答案的? 高斯回答说:因为 1+100=101; 2+99=101;…50+51=101,所以 101×50=5050” 故事结束:归纳为 1.这是求等差数列 1,2,3,…,100 前 100 项和 王新敞 奎屯 新疆 2.高斯的解法是:前 100 项和 S100 ? 即 Sn ? 100 ? (1 ? 100 ) 2 n(a1 ? a n ) 2 n(a1 ? a n ) 2 ① 二、1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 证明: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ② ①+②: 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 由此得: S n ? n(a1 ? a n ) 2 n(n ? 1)d 2 王新敞 奎屯 新疆 2. 等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ? 两个公式都表明要求 S n 必须已知 n, a1 , d , an 中三个 -- 1 -- 公式二又可化成式子: Sn ? d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的关于 n 的二次式 2 2 有关前 n 项和得最值问题可由此公式解决 三、补充例题: 例 1:一个堆放铅笔的 V 型的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上 面一层放 120 支,这个 V 形架上共放着多少支铅笔? 解: 由题意可知, 这个 V 形架上共放着 120 层铅笔, 且自下而上各层的铅笔成等差数列, 记为 ?an ? , 其中 a1 ? 1, a120 ? 120,根据等差数列前 n 项和的公式,得 S120 ? 120 ? (1 ? 120 ) ? 7260 2 答:V 形架上共放着 7260 支铅笔。 例 2:已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220, 由此可以确定求其前 n 项和的公式吗? 解:由题设: S10 ? 310 S 20 ? 1 2 2 0 ? 10 a1 ? 45 d ? 310 ?a ? 4 ?? 1 ? 20 a1 ? 190 d ? 1220 ?d ? 6 得: ? ∴ S n ? 4n ? n(n ? 1) ? 6 ? 3n 2 ? n 2 例3:已知等差数列{ an }中 a1 =13且 S 3 = S11 ,那么n取何值时, S n 取最大值. 解法1:设公差为d,由 S 3 = S11 得: 3×13+3×2d/2=11×13+11×10d/2 d= -2, 由? an =13-2(n-1), an =15-2n, ?a n ? 0 ?15 ? 2n ? 0 即? 得:6.5≤n≤7.5,所以n=7时, S n 取最大值. ?a n ?1 ? 0 ?15 ? 2(n ? 1) ? 0 解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 Sn ? d 2 d n ? (a 1 ? )n = - n 2 +14 n 2 2 2 = -(n-7) +49 ∴当 n=7, S n 取最大值 王新敞 奎屯 新疆 小结:等差数列求和公式及其推导 课堂练习:第 43 页练习 A,B 课后作业:第 44 页:7,8,9,10,11,12 -- 2 --


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