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2012年高考真题文科数学汇编:数列


2012 高考试题分类汇编:数列
一、选择题
1.【2012 高考安徽文 5】公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) 1 (B)2 (C) 4 (D)8 【答案】A 2.【2012 高考全国文 6】已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a1 ? 1 , Sn ? 2an?1 ,,则 Sn ? (A) 2
n ?1

(B) ( )

3 2

n ?1

(C) ( )

2 3

n ?1

(D)

1 2 n ?1

【答案】B 3.【2012 高考新课标文 12】数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 【答案】D 4.【2012 高考辽宁文 4】在等差数列{an}中,已知 a4+a8=16,则 a2+a10= (A) 12 【答案】B 【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、同时考查运算求解能力,属于容易题。 5.【2012 高考湖北文 7】定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) ,如果对于任意给定的等 比数列{an},{f(an)} 仍是等比数列 ,则称 f(x)为“保等比数列函数” 。现有定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的如下函数:①f(x)=x?; ②f(x)=2x;③ ;④f(x)=ln|x |。 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 7. 【答案】C 6. 【 2012 高 考 四 川 文 12 】 设 函 数 f ( x)? ( x? 3 )? x ? , 1 数 列 {an } 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 ,
3

(B) 16

(C) 20

(D)24

f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14 ,则 a1 ? a2 ? ??? ? a7 ? ( A、0 B、7 C、14 【答案】D.
7.【2102 高考福建文 11】数列{an}的通项公式 a n ? cos A.1006 【答案】A. B.2012 C.503 D. 0

) D、21

n? ,其前 n 项和为 Sn,则 S2012 等于 2

[来源:学.科.网]

8.【2102 高考北京文 6】已知为等比数列,下面结论种正确的是 (A)a1+a3≥2a2 (B) a1 ? a3 ? 2a2 (C)若 a1=a3,则 a1=a2(D)若 a3>a1,则 a4>a2
2 2 2

【答案】B 9.【2102 高考北京文 8】某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示,从目前记录的结果看,前 m 年的年平 均产量最高,m 的值为

(A)5(B)7(C)9(D)11 【答案】C
[来源:学科网 ZXXK]

二、填空题
10.【2012 高考重庆文 11】首项为 1,公比为 2 的等比数列的前 4 项和 S4 ? 【答案】15 11.【2012 高考新课标文 14】等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 S3+3S2=0,则公比 q=___ ____ 【答案】 ? 2 12. 【2012 高考江西文 13】 等比数列{an}的前 n 项和为 Sn, 公比不为 1。 若 a1=1, 且对任意的 则 S5=_________________。 【答案】11 13.【2012 高考上海文 7】有一列正方体,棱长组成以 1 为首项、 则 lim(V1 ? V2 ? ... ? Vn ) ?
n ??

都有 an+2+an+1-2an=0,

1 为公比的等比数列,体积分别记为 V1 ,V2 ,...,Vn ,... , 2

【答案】

8 。 7

【解析】由题意可知,该列正方体的体积构成以 1 为首项,

1 为公比的等比数列, 8
8 。 7

1 8 n = 8 (1 ? 1 ) ,∴ ∴ V1 + V2 +?+ Vn = 1 7 8n 1? 8 1?
14. 【2012 高考上海文 14】已知 f ( x ) ? 则 a20 ? a11 的值是 【答案】

1 , 各项均为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,an? 2 ? f (an ) ,若 a2 a 0 1 0 ?2 0 1 2 1? x



3 ? 13 5 。 26

15.【2012 高考辽宁文 14】已知等比数列{an}为递增数列.若 a1>0,且 2(a n+a n+2 )=5a n+1 ,则数列{an}的公比 q = _____________________. 【答案】2 16.【2102 高考北京文 10】已知{an}为等差数列,Sn 为其前 n 项和,若 a1 ?

1 ,S2=a3,则 a2=______,Sn=_______。 2

【答案】 a2 ? 1 , Sn ?

1 2 1 n ? n 4 4
1 2 ,则 a1a3 a5 ? 2
.

17.【2012 高考广东文 12】若等比数列 ?an ? 满足 a2 a4 ? 【答案】

1 4

三、解答题
18.【2012 高考浙江文 19】 (本题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn= 2n 2 ? n ,n∈N﹡,数列{bn}满 足 an=4log2 bn+3,n∈N﹡. (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn. 【解析】

(1) 由 Sn= 2n 2 ? n ,得
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 3 ;
2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? n ? ? ? 2(n ? 1) ? (n ? 1) ? ? ? 4n ? 1 ,n∈N﹡.

由 an=4log2bn+3,得 bn ? 2n ? 1,n∈N﹡.

(2)由(1)知 anbn ? (4n ?1) ? 2n?1 ,n∈N﹡
所以 Tn ? 3 ? 7 ? 2 ?11? 2 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2
2 n?1



2Tn ? 3? 2 ? 7 ? 22 ?11? 23 ? ... ? ? 4n ?1? ? 2n ,

2Tn ? Tn ? ? 4n ?1? ? 2n ? [3 ? 4(2 ? 22 ? ... ? 2n?1 )]
? (4n ? 5)2n ? 5 Tn ? (4n ? 5)2n ? 5 ,n∈N﹡.
19.【2012 高考江苏 20】 (16 分)已知各项均为正数的两个数列 {an } 和 {bn } 满足: a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

,n? N *,

(1)设 bn ?1 ? 1 ? (2)设 bn?1 ?

? bn ?? b ? , n ? N * ,求证:数列 ?? n ? a an ? ?? n ?

2

? ? ? 是等差数列; ? ?

2?

bn , n ? N * ,且 {an } 是等比数列,求 a1 和 b1 的值. an bn an ? bn ,∴ an?1 ? = an an 2 ? bn 2
2

【答案】解: (1 )∵ bn ?1 ? 1 ?

bn?1 ?b ? 1? ? n ? ? an ?
2



?b ? b ∴ n ?1 ? 1 ? ? n ? 。 an ?1 ? an ?
2 2 2 ? 2 ? ? bn ?1 ? ? bn ? ? ? bn ? ? ? bn ? ∴ ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? 1? n ? N *? ? ? an?1 ? ? an ? ? ? an ? ? ? an ? ? ? 2



[来源:Zxxk.Com]

2 ? ?? bn ? ? ? ∴数列 ?? ? ? 是以 1 为公差的等差数列。 ?? an ? ? ? ?

(2)∵ an > 0,bn > 0 ,∴

? an ? bn ?
2

2

? an 2 ? bn 2 < ? an ? bn ? 。
2

∴ 1 < an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

(﹡) ? 2。

设等比数列 {an } 的公比为 q ,由 an > 0 知 q > 0 ,下面用反证法证明 q =1 若 q > 1, 则 a1 =

a2 2 < a2 ? 2 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn > 2 ,与(﹡)矛盾。 q a1 a2 1 > a2 > 1 ,∴当 n > log q 时, an?1 ? a1qn <1 ,与(﹡)矛盾。 q a1

若 0 < q < 1, 则 a1 =

∴综上所述, q =1 。∴ an ? a1 ? n ? N *? ,∴ 1 < a1 ? 2 。

又∵ bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。 = ? bn ? n ? N *? ,∴ {bn } 是公比是 an a1 a1 2 > 1 ,于是 b1 < b2 < b3 。 a1
即 a1 ?

若 a1 ? 2 ,则

又由 a n ?1 ?

a n ? bn a n ? bn
2 2

a1 ? bn a12 ? bn 2

,得 bn =

a1 ? a12 2 ? a12 a12 ? 1



∴ b1,b2,b3 中至少有两项相同,与 b1 < b2 < b3 矛盾。∴ a1 = 2 。

∴ bn =

2?

? 2? ? 2?
2

2?
2

? 2?

2

?1

= 2。

∴ a1 =b2 = 2 。 【考点】等差数列和等比数列的基本性质,基本不等式,反证法。 【解析】 (1 )根据题设 a n ?1 ? 得证。

a n ? bn a n ? bn
2 2

和 bn ?1

b ?b ? ?b ? ?b ? b ? 1 ? n ,求出 n ?1 ? 1 ? ? n ? ,从而证明 ? n?1 ? ? ? n ? ? 1 而 an ?1 an ? an ? ? an ?1 ? ? an ?

2

2

2

(2)根据基本不等式得到 1 < an?1 ?

an ? bn an 2 ? bn 2

? 2 ,用反证法证明等比数列 {an } 的公比 q =1 。

从而得到 an ? a1 ? n ? N *? 的结论,再由 bn?1 ? 2 ?

bn 2 2 的等比数列。最后用反证法求出 = ? bn 知 {bn } 是公比是 an a1 a1

a1 =b2 = 2 。
20. 【2012 高考四川文 20】(本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ?a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 a1 ? 0 , ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg 【解析】

1 } 的前 n 项和最大? an

21.【2012 高考湖南文 20】 (本小题满分 13 分) 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金 2000 万元, 将其投入生产, 到当年年底资金增 长了 50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始, 每年年底上缴资金 d 万元, 并将剩 余资金全部投入下一年生产.设第 n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为 an 万元. (Ⅰ)用 d 表示 a1,a2,并写出 an ?1 与 an 的关系式; (Ⅱ)若公司希望经过 m(m≥3)年使企业的剩余资金为 4000 万元,试确定企业每年上缴资金 d 的值(用 m 表示). 【答案】 【解析】 (Ⅰ)由题意得 a1 ? 2000(1 ? 50%) ? d ? 3000 ? d ,

3 a1 ? d , 2 3 an ?1 ? an (1 ? 50%) ? d ? an ? d . 2 3 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 an ? an ?1 ? d 2 3 3 ? ( ) 2 an ? 2 ? d ? d 2 2 a2 ? a1 (1 ? 50%) ? d ?

?

?

3 3 ( an ? 2 ? d ) ? d 2 2

3 3 ? 3 3 ? ? ( )n?1 a1 ? d ?1 ? ? ( )2 ? ? ( ) n?2 ? . 2 2 ? 2 2 ? 3 ? 3 ? 整理得 an ? ( )n?1 (3000 ? d ) ? 2d ?( ) n?1 ? 1? 2 ? 2 ? 3 n ?1 ? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d . 2 3 n ?1 由题意, an ? 4000,? ( ) (3000 ? 3d ) ? 2d ? 4000, 2 ? 3 n ? ( ) ? 2? ?1000 ? 1000(3n ? 2n?1 ) 2 ? 解得 d ? ? . ? n n 3 n 3 ? 2 ( ) ?1 2 1000(3n ? 2n ?1 ) 故 该企业每年上缴资金 d 的值为缴 时,经过 m(m ? 3) 年企业的剩余资金为4000元. 3n ? 2n
【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问 建立数学模型,得出 an ?1 与 an 的关系式 an ?1 ?

3 3 an ? d ,第二问,只要把第一问中的 an ?1 ? an ? d 迭代,即可以解 2 2

决. 22.【2012 高考重庆文 16】 (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分,(Ⅱ)小问 7 分) ) 已知 {an } 为等差数列,且 a1 ? a3 ? 8, a2 ? a4 ? 12, (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)记 {an } 的前 n 项和为 S n , 若 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,求正整数 k 的值。 【解析】 (Ⅰ)设数列 {an } 的公差为 d,由题意知 ? 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n

? 2a1 ? 2d ? 8 ?2a1 ? 4d ? 12

解得 a1 ? 2, d ? 2

(a1 ? an )n (2 ? 2n)n ? ? n(1 ? n) 因 a1 , ak , Sk ?2 成等比数列,所以 a2k ? a1Sk ?2 2 2 2 2 (2k ) ? 2(k ? 2)(k ? 3) ,即 k ? 5k ? 6 ? 0 解得 k ? 6 或 k ? ?1 (舍去),因此 k ? 6 。 1 23.【2012 高考陕西文 16】已知等比数列 ?an ? 的公比为 q=- . 2 1 (1)若 a 3 = ,求数列 ?an ? 的前 n 项和; 4
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得 S n ? (Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? , 【答案】

从而

a

k



a

k ?2



a

k ?1

成等差数列。

24.【2012 高考湖北文 20】 (本小题满分 1 3 分) 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1) 求等差数列{an}的通项公式; (2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列错误!不能通过编辑域代码创建对象。的前 n 项和。 20. 【答案】

【解析】本题考查等差数列的通项,求和,分段函数的应用等;考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.求等差

数列的通项一般利用通项公式 an ? a1 ? ? n ?1? d 求解;有时需要利用等差数列的定义: an ? an?1 ? c ( c 为常数)或等 比数列的定义:

an ? c ' ( c ' 为常数, c ' ? 0 )来判断该数列是等差数列或等比数列,然后再求解通项;有些数列本 an ?1

身不是等差数列或等比数列,但它含有无数项却是等差数列或等比数列,这时求通项或求和都需要分段讨论.来年需注 意等差数列或等比数列的简单递推或等差中项、等比中项的性质. 25.【2012 高考天津文科 18】 (本题满分 13 分) 已知{错误!未找到引用源。 }是等差数列,其前 n 项和为错误!未找到引用源。 , {错误!未找到引用源。 }是等比数 列,且错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2,错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。-错误!未找到 引用源。=10 (I)求数列{错误!未找到引用源。 }与{错误!未找到引用源。 }的通项公式; (II)记错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。 , (n 错误!未找到引用源。,n>2) 。 【答案】

26.【2012 高考山东文 20】 (本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的前 5 项和为 105,且 a20 ? 2a5 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N* ,将数列 {an } 中不大于 7 2 m 的项的个数记为 bm .求数列 {bm } 的前 m 项和 Sm .
?5a ? 10d ? 105, 【答案】 (I)由已知得: ? 1 ?a1 ? 9d ? 2(a1 ? 4d ),

解得 a1 ? 7, d ? 7 , 所以通项公式为 an ? 7 ? (n ? 1) ? 7 ? 7n . (II)由 an ? 7n ? 72m ,得 n ? 72m?1 , 即 bm ? 72m?1 . ∵
bk ?1 7 2 m ?1 ? 2 m ?1 ? 49 , bk 7

∴ {bm } 是公比为 49 的等比数列,

∴ Sm ?

7(1 ? 49m ) 7 ? (49m ? 1) . 1 ? 49 48

27.【2012 高考全国文 18】(本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效 ) ......... 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,前 n 项和 S n ? (Ⅰ)求 a2 , a3 ; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式。 【答案】

n?2 an 。 3

28.【2012 高考安徽文 21】 (本小题满分 13 分)

x + sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 {xn } . 2 (Ⅰ)求数列 {xn } 的通项公式;
设函数 f(x) = (Ⅱ)设 {xn } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【答案】 【解析】 (I) f ( x) ?

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 2 2 3

2? 2? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) , 3 3 2? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值, 得:当 x ? 2k? ? 3 2? 得: xn ? 2n? ? 。 3 2? (II)由(I)得: xn ? 2n? ? 。 3 f ?( x) ? 0 ? 2k? ?
Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? n) ?

2n? 2n? ? n(n ? 1)? ? 。 3 3

当 n ? 3k (k ? N * ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0 ,

2? 3 , ? 3 2 4? 3 当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? sin , ?? 3 2 * 得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0 ,
当 n ? 3k ?1(k ? N * ) 时, sin Sn ? sin

3 , 2 3 当 n ? 3k ? 2(k ? N * ) 时, sin Sn ? ? 。 2
当 n ? 3k ?1(k ? N * ) 时, sin Sn ?

【2012 高考上海文 23】 (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8分 对于项数为 m 的有穷数列 ?an ? ,记 bk ? max ?a1 , a2 ,..., ak ? ( k ? 1, 2,..., m ) ,即 bk 为 a1 , a2 ,..., ak 中的最大值,并称 数列 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,如 1,3,2,5,5 的控制数列是 1,3,3,5,5 (1)若各项均为正整数的数列 ?an ? 的控制数列为 2,3,4,5,5,写出所有的 ?an ? (2)设 ?bn ? 是 ?an ? 的控制数列,满足 ak ? bm?k ?1 ? C ( C 为常数, k ? 1, 2,..., m ) ,求证: bk ? ak ( k ? 1, 2,..., m ) ( 3 ) 设 m ? 100 , 常 数 a ? ?

?1 ? ,1? , 若 an ? an2 ? (? 1 )2 n , ?bn ? 是 ?an ? 的 控 制 数 列 , 求 2 ? ?

n ( n? 1 )

(b1 ? a1 ) ? (b2 ? a2 ) ? ... ? (b100 ? a100 )
【 答 案 】

【2012 高考广东文 19】 (本小题满分 14 分) (1)求 a1 的值;

设数列 ?an ? 前 n 项和为 Sn ,数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,满足 Tn ? 2Sn ? n2 , n ? N .
*

(2)求数列 ?an ? 的通项公式. 【答案】 【解析】 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 2S1 ? 1。 因为 T1 ? S1 ? a1 ,所以 a1 ? 2a1 ? 1,求得 a1 ? 1 。 (2)当 n ? 2 时, Sn ? Tn ? Tn?1 ? 2Sn ? n2 ? [2Sn?1 ? (n ?1)2 ] ? 2Sn ? 2Sn?1 ? 2n ? 1, 所以 Sn ? 2Sn?1 ? 2n ?1 所以 Sn?1 ? 2Sn ? 2n ? 1 ① ②

② ? ①得 an?1 ? 2an ? 2 ,

an?1 ? 2 ? 2 (n ? 2) , an ? 2 a ?2 求得 a1 ? 2 ? 3 , a2 ? 2 ? 6 ,则 2 ? 2。 a1 ? 2
所以 an?1 ? 2 ? 2(an ? 2) ,即 所以 ?an ? 2? 是以 3 为首项,2 为公比的等比数列, 所以 an ? 2 ? 3 ? 2n?1 , 所以 an ? 3 ? 2n?1 ? 2 , n ? N 。
*

[来源:学科网 ZXXK]

【2102 高考福建文 17】 (本小题满分 12 分) 在等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=1,b4=8,{an}的前 10 项和 S10=55. (Ⅰ)求 an 和 bn; (Ⅱ)现分别从{an}和{bn}的前 3 项中各随机抽取一项,写出相应的基本事件,并求这两项的值相等的概率。

【答案】

【2012 高考江西文 17】 (本小题满分 12 分) 已知数列|an|的前 n 项和 Sn ? kcn ? k (其中 c,k 为常数) ,且 a2=4,a6=8a3 (1)求 an; (2)求数列{nan}的前 n 项和 Tn。 【答案】 【解析】(1)当 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 ) 则 an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )
[来源:Z_xx_k.Com]

a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )
a6 c6 ? c5 ? ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c3 ? c 2 当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2
综上所述 an ? 2n (n ? N * ) (2) nan ? n2n ,则

Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ?

? n2 n (1) ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)

2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ?

(1)-(2)得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1

? 2n ? n2n?1



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