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极坐标与参数方程高考题练习含答案


极坐标系与参数方程高考题练习
2014 年 一.选择题
1. (2014 北京)曲线 ?

? x ? ?1 ? cos ? ( ? 为参数)的对称中心( B ) ? y ? 2 ? sin ?

A. 在直线 y ? 2 x 上 C. 在直线 y ? x ? 1 上

B. 在直线 y ? ?2 x 上 D. 在直线 y ? x ? 1 上

2.(2014 安徽)以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长 度单位。 已知直线 l 的参数方程是 ? 的弦长为( D ) (A) 14 (C) 2 (B)2 14 (D)2 2

? x ? t ? 1, ( t 为参数), 圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4 cos? ,则直线 l 被圆 C 截得 ?y ? t ? 3

3(2014 江西) (2).(坐标系与参数方程选做题)若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标

1

系,则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的极坐标为( ) A. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

B. ? ?

C. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ? 【答案】A

?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4

2

D. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?

4

【解析】 Q y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1?

? ? sin ? ? 1 ? ? cos ? ? 0 ? ? cos? ? 1?
?? ? 1 ?? ? ?0 ?? ? ? sin ? ? cos ? ? 2?
所以选 A。

二.填空题
1. (2014 湖北)(选修 4-4:坐标系与参数方程)

?x ? t ? 已知曲线 C1 的参数方程是 ? 以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 3t ?t为参数? , ?y ? 3 ?
的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为_______.

2. (2014 湖南)直角坐标系中,倾斜角为

? x ? 2 ? cos ? ? 的直线 l 与曲线 C: , ( ? 为参数)交于 A 、 B 两点,且 ? 4 ? y ? 1 ? sin ?

2

AB ? 2 ,以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线 l 的极坐标方程是________.

?x ? 2 ? t ? 3 (2014 重庆)已知直线 l 的参数方程为 ? y ? 3 ? t( t 为参数) , 以坐标原点为极点,x 正半轴为极轴建立极坐标系,
曲线 C 的极坐标方程为

? sin 2 ? ? 4 cos? ? 0(? ? 0,0 ? ? ? 2? ) , 则 直 线 l 与 曲 线 C 的 公 共 点 的 极 经

? ? ____ 5 ____.
. 【答案】 5 【解析】

? x = 2 + t , y = 3+ t , y - x = 1? ρ sin 2 θ - 4 cosθ = 0 ∴ρ 2 sin 2 θ = 4ρ cosθ ? y 2 = 4x. 联立y 2 = 4x与y - x = 1得y 2 - 4 y + 4 = 0 ? y = 2 ∴交点(1,2),ρ = 1+ 4 = 5. 所以, ρ = 5.

4

(2014 上海)已知曲线 C 的极坐标方程为 p(3 cos? ? 4 sin ? ) ? 1 , 则 C 与极轴的交点到极点的距离是



【答案】

1 3
3

【解析】

1 1 ? ρ(3 cosθ - 4 sin θ) = 1∴ 3x - 4 y = 1交于点( ,0).所以,是 3 3

? ? C. (2014 陕西)(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点 (2, ) 到直线 ? sin(? ? ) ? 1 的距离是 6 6
C

π π 3 1 ? 极坐标点(2, )对应直角坐标点 ( 3,1 ) , 直线ρ sin(θ - ) = ρ sin θ ? - ρcosθ ? =1即对应 6 6 2 2 3 - 3 +2 3 y - x = 2,∴点( 3,1 )到直线x - 3 y + 2 = 0的距离d =| |= 1 3+1

5 (2014 天津)在以 O 为极点的极坐标系中, 圆 ? ? 4sin? 和直线 ? sin ? ? a 相交于 A, B 两点.若 ΔAOB 是等边三 角形,则 a 的值为___________. 解:3
2 圆的方程为 x + ( y - 2) = 4 ,直线为 y = a . 2

因为 AOB 是等边三角形,所以其中一个交点坐标为

,代入圆的方程可得 a = 3 .

6. (2014 广东) (坐标与参数方程选做题) 在极坐标系中, 曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin

2

? ? cos? 和 ? sin ? =

1,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线 C1 和 C2 的交点的直 角坐标为__

答案 : (1,1) 提示 : C1即( ? sin ? ) 2 ? ? cos ? , 故其直角坐标方程为:y 2 ? x, C2的直角坐标方程为 : y ? 1,? C1与C2的交点的直角坐标为(1,1) .

三.解答题
1. (2014 新课标 I)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t
4

(Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 【解析】 :.(Ⅰ) 曲线 C 的参数方程为: ? 直线 l 的普通方程为: 2 x ? y ? 6 ? 0 (Ⅱ) (2)在曲线 C 上任意取一点 P (2cos ? ,3sin ? )到 l 的距离为
o

? x ? 2cos ? ? y ? 3sin ?

( ? 为参数) ,

………5 分

d?

5 4cos ? ? 3sin ? ? 6 , 5
4 d 2 5 ,其中 ? 为锐角.且 tan ? ? . ? 5sin ?? ? ? ? ? 6 ? ? 0 3 sin 30 5

则 | PA |?

当 sin ?? ? ? ? ? ?1 时, | PA | 取得最大值,最大值为

22 5 ; 5
…………10 分

当 sin ?? ? ? ? ? 1 时, | PA | 取得最小值,最小值为

2 5 . 5

2. (2014 新课标 II)(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ,

? ?. ? ?? ?0, ?
? 2?
(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y ? 3x ? 2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定 D

5

的坐标.

3. (2014 辽宁) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲线 C.
2 2

(1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极坐标建立极坐标系,求 过线段 P 1P 2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程.

6

【答案】 (1) x = cosθ, y = 2 sin θ,θ ∈[0, π (2) 2ρ cosθ - 4ρ sin θ +3 = 0 【解析】 (1)曲线C的参数方程: x = cosθ, y = 2 sin θ,θ ∈[0,π] (2)

设曲线C上的点P(cosθ,2 sin θ)在直线上,则 2 cosθ + 2 sin θ - 2 = 0, π π 1 解得 2 sin(θ + ) = 1.即θ = 0,或 .所以,A(1,0), B(0,2), AB中点( ,1). 4 2 2 1 1 ∴ 垂直AB的中垂线方程是 y - 1 = ( x - )即4 y - 3 = 2 x 2 2 所以, 所求直线的极坐标方程 是2ρ cosθ - 4ρ sin θ + 3 = 0

4(2014 福建) (本小题满分 7 分)选修 4—4:极坐标与参数方程 已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 2t , ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? y ? ?4t

? x ? 4 cos? , ( ? 为常数). ? ? y ? 4 sin ?
(I)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (II)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)直线 l 的普通方程为 2x-y-2a=0,
7

圆 C 的普通方程为 x2+y2=16. (2)因为直线 l 与圆 C 有公共点, 故圆 C 的圆心到直线 l 的距离 d= 解得-2 5≤a≤2 5.

? 2a 5

≤4,

2007--2013 年高考

极坐标与参数方程 B )

(2013 安徽数学(理) )在极坐标系中,圆 p =2 cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A. ? =0(? ? R)和? cos=2 C. ? = B. ? =

?
2

(? ? R)和? cos=2

?
2

(? ? R)和? cos=1

D. ? =0(? ? R)和? cos=1

8

?? (2013 天津数学(理) )已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? , 圆心为 C, 点 P 的极坐标为 ? ? 4, ? ,
? 3?

则|CP| =

2 3

.

错误!未指定书签。 (2013 上海卷(理) )在极坐标系中,曲线 ? ? cos ? ? 1 与 ? cos ? ? 1 的公共点到 极点的距离为_____
1? 5 _____ 2

解析:

错误!未指定书签。 (2013 北京卷(理) )在极坐标系中 ,点(2, ____1_____.

? )到直线ρ sinθ =2 的距离等于 6

错误!未指定书签。 (2013 重庆数学(理) )在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为
2 ? ?x ? t 极轴建立极坐标系.若极坐标方程为 ? cos ? ? 4 的直线与曲线 ? (为参数)相交于 A, B 两点, 3 y ? t ? ?

则 AB ? ______ 【答案】 16

9

错误!未指定书签。 (2013 广东(理) )(坐标系与参数方程选讲选做题)

? x ? 2 cos t ? ? ? y ? 2 sin t (为参数), C 在点 ?1,1? 处的切线为 C 已知曲线 的参数方程为 ? , 以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则切线的极坐标方程
为 .

【答案】x+y=2



? sin ? ? ?

? ?

??

?? 2 4?

错误!未指定书签。 (2013 陕西(理) )C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的 倾斜角 ? 为参数, 则圆 x 2 ? y 2 ? x ? 0 的参数方程为______ .
y P θ

O

x

x ? cos 2 ? 【答案】 ? ?

? y ? cos ? ? sin ?

,? ? R

?x ? t 错误! 未指定书签。 (2013 江西 (理) ) (坐标系与参数方程选做题)设曲线 C 的参数方程为 ? (为 2 y ? t ?
参数),若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 c 的极坐标方 程为__________ 【答案】 ? cos 2 ? ? sin ? ? 0

10

错误!未指定书签。 (2013 湖南卷(理) )在平面直角坐标系 xoy 中,若
? x ? t, ? x ? 3cos ? , l:? (t 为参数)过椭圆 C : ? ?y ? t ? a ? y ? 2sin ?

(?为参数)的 右顶点,则常数 a的值为 ________.
【答案】3

错误!未指定书签。 ( 2013 湖 北 ( 理 ) ) 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 C 的 参 数 方 程 为

? x ? a cos ? ?? 为参数,a ? b ? 0 ? .在极坐标系 (与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位 ,且以原 ? ? y ? b sin ?
点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线与圆 O 的极坐标方程分别为

? sin ? ? ?

? ?

??

2 m ? m为非零常数 ? 与 ? ? b .若直线经过椭圆 C 的焦点,且与圆 O 相切,则椭圆 ?? 4? 2

C 的离心率为___________.
【答案】
6 3

? x ? 2cos ? ( ? 为参数上 , 对应参数分别为 ? ? ? 与 ( 2013 新课标(理) )已知动点 P, Q 都在曲线 C : ? ? y ? 2sin ?

? ? 2? (0 ? ? ? 2? ) , M 为 PQ 的中点.
(Ⅰ)求 M 的轨迹的参数方程; (Ⅱ)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 ? 的函数,并判断 M 的轨迹是否过坐标原点. 【答案】

11

错误!未指定书签。 (2013 辽宁(理) )在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立坐

?? ? 标系.圆 C1 ,直线 C2 的极坐标方程分别为 ? ? 4sin ? , ? ? cos ? ? ? ? ? 2 2. . 4? ?
(I)求 C1 与 C2 交点的极坐标; (II)设 P 为 C1 的圆心, Q 为 C1 与 C2 交点连线的中点.已知直线 PQ 的参数方程为
?x ? t3 ? a ? ? b 3 ? t ? R为参数 ? ,求 a, b 的值 ? y ? t ?1 ? 2

【答案】

12

错误!未指定书签。 (2013 福建(理) )坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,以坐标原点为极

? 点 , x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系 . 已知点 A 的极坐标为 ( 2, ) , 直线的极坐标方程为 4 ? ? cos(? ? ) ? a ,且点 A 在直线上. 4
(1)求 a 的值及直线的直角坐标方程;

? x ? 1 ? cos ? (2)圆 c 的参数方程为 ? ,( ? 为参数),试判断直线与圆的位置关系. ? y ? sin ?

? ? 【答案】解:(Ⅰ)由点 A( 2, ) 在直线 ? cos(? ? ) ? a 上,可得 a ? 2 4 4
所以直线的方程可化为 ? cos ? ? ? sin ? ? 2 从而直线的直角坐标方程为 x ? y ? 2 ? 0 (Ⅱ)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 所以圆心为 (1, 0) ,半径 r ? 1 以为圆心到直线的距离 d ?
2 ? 1 ,所以直线与圆相交 2

?x ? t ? 1 错误!未指定书签。 (2013 江苏)在平面直角坐标系 xoy 中,直线的参数方程为 ? (为参数), ? y ? 2t
13

? x ? 2 tan 2 ? 曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数),试求直线与曲线 C 的普通方程,并求出它们的公 ? y ? 2 tan ?
共点的坐标.

?x ? t ? 1 【答案】C 解:∵直线的参数方程为 ? ∴消去参数后得直线的普通方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 ① ? y ? 2t
同理得曲线 C 的普通方程为 y 2 ? 2 x ②

1 ①②联立方程组解得它们公共点的坐标为 (2,2) , ( ,?1) 2

错误!未指定书签。 (2013 新课标 1(理) )选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 4 ? 5cos t 已知曲线 C1 的参数方程为 ? (为参数),以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ? y ? 5 ? 5sin t
坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? . (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

? x ? 4 ? 5cos t 【答案】将 ? 消去参数,化为普通方程 ( x ? 4) 2 ? ( y ? 5) 2 ? 25 , ? y ? 5 ? 5sin t ? x ? ? cos ? 即 C1 : x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 , 将 ? 代 入 x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 得 , y ? ? sin ? ?

? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ,
∴ C1 的极坐标方程为 ? 2 ? 8? cos ? ? 10 ? sin ? ? 16 ? 0 ; (Ⅱ) C2 的普通方程为 x 2 ? y 2 ? 2 y ? 0 ,
? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0 ?x ? 1 ?x ? 0 ? 由 ? 2 解得 ? 或 ? , ∴ C1 与 C2 的 交 点 的 极 坐 标 分 别 为 2 ? ?y ?1 ?y ? 2 ?x ? y ? 2 y ? 0

( 2,

?

), (2, ) . 4 2

?

【2012 新课标文 23】已知曲线 C1 的参数方程是

(φ 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴

14

的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线 C2 的极坐标方程是ρ =2. 正三角形 ABC 的顶点都在 C2 上, 且 A、 B、C 以逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ) (Ⅰ)求点 A、B、C 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为 C1 上任意一点,求|PA| +|PB| +|PC| 的取值范围. 解析:
2 2 2

【2012 辽宁文 23】在直角坐标 xOy 中,圆 C1 : x2 ? y 2 ? 4 ,圆 C2 : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 。 (Ⅰ)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1 , C2 的极坐标方程 ,并求出

15

圆 C1 , C2 的交点坐标(用极坐标表示); (Ⅱ)求圆 C1与C2 的公共弦的参数方程。

【2012 江苏 23】在极坐标中,已知圆 C 经过点 P 点,求圆 C 的极坐标方程.

?

2,

?? 3 ? ? ,圆心为直线 ? sin ? ? ? ? ? ? 与极轴的交 3? 2 4 ?

?

16

【2012 陕西文 15】直线 2 ? cos ? ? 1 与圆 ? ? 2 cos ? 相交的弦长为

3

? ? x ? 5 cos ? 【2012 广东文 14】在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为 ? (? 为 y ? 5 sin ? ? ?

? 2 x ? 1? t ? ? ? 2 参数, 0 ? ? ? )和 ? ( t 为参数) ,则曲线 C1 和 C2 的交点坐标为 2 ?y ? ? 2 t ? ? 2

(2,1)

(2 011 陕西文 15)直角坐标系 xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点 A,B

? x ? 3 ? cos ? 分别在曲线 C1 : ? ( ? 为参数)和曲线 C2 : ? ? 1 上,则 AB 的最小值为____1____. y ? sin ? ?

17

5 ? ?x ? t 2 ? x ? 5 cos? ? 4 ? y ? sin ? ? y ? t ? ? (0 ? ? ? ?) (2011 广东卷文 14)已知两曲线参数方程分别为 和 (t∈R) , 它们的

交点坐标为

(1,

2 5 ) 5



? x ? 5cos ? (2011 江苏 21)在平面直角坐标系 xOy 中,求过椭圆 ? ( ? 为参数)的右焦点且与直线 ? y ? 3sin ? ? x ? 4 ? 2t ( t 为参数)平行的直线的普通方程。 ? ?y ? 3?t

? x ? 2 ? cos ? , (2010 重庆卷文科 8)若直线 y ? x ? b 与曲线 ? ( ? ? [0, 2? ) )有两个不同的公共点,则 ? y ? sin ?
实数 b 的取值范围为 (A) (2 ? 2,1) ( D ) (B) [2 ? 2, 2 ? 2]

18

(C) (??, 2 ? 2) ? (2 ? 2, ??)

(D) (2 ? 2, 2 ? 2)

(2010 湖南卷文科 4) 极坐标 p ? cos? 和参数方程 ? A. 直线、直线 B. 直线、圆

? x ? ?1 ? t (t 为参数) 所表示的图形分别是 ( ? y ?2?t

D



C. 圆、圆

D. 圆、直线

(2010 广东卷文 15)在极坐标系 ( ? , ? ) (0 ? ? ? 2? ) 中,曲线 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 与 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 的交点的极坐标为 (1,0) .

? x ? cos ? , (2010 陕西卷文 15) (坐标系与参数方程选做题)参数方程 ? ( ? 为参数)化成普通方 ? y ? 1 ? sin ?
程为

x2 ? ( y ?1)2 ? 1

.

? x ? cos ? (2010 辽宁卷文 23)已知 P 为半圆 C: ? ( ? 为参数,0≤ ? ≤ π )上的点,点 A 的坐标为 ? y ? sin ?

? 的长度均为 π . (1,0) ,O 为坐标原点,点 M 在射线 OP 上,线段 OM 与 C 的弧 AP 3
(Ⅰ)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极 轴建立极坐标系,求点 M 的极坐标; (Ⅱ)求直线 AM 的参数方程.
19

? x ? ?4 ? cos t , ? x ? 8cos ? , (2010 海南、宁夏)已知曲线 C 1 : ? (t 为参数) , C2 :? ( ? 为参数) 。 ? y ? 3 ? sin t , ? y ? 3sin ? ,
(1) 化 C 1 ,C 2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; (2)若 C 1 上的点 P 对应的参数为 t ? 为参数)距离的最小值。

?

? x ? 3 ? 2t , ,Q 为 C 2 上的动点,求 PQ 中点 M 到直线 C3 : ? (t 2 ? y ? ?2 ? t

x ?1?2t , { (2009 广东)若直线 y ?2?3t . ( t 为参数)与直 线

4 x ? ky ? 1 垂直,则常数 k =___-6_____

20

? (2008 广东)已知曲线 C1 , C2 的极坐标方程分别为 ? cos ? ? 3, ? ? 4cos ? ( ? ? 0,0 ? ? ? ) ,则曲线 C1 C2 2
交点的极坐标为

(2007 广东)在极坐标系中,直线 l 的方程为ρ sinθ =3,则点(2,π /6)到直线 l 的距离为

2

21


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