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2007届宁夏海南三模


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宁夏银川一中 2007 届高三数学理科第二次模拟考试卷
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一、选择题:(12 小题×5 分=60 分) 2 1.设全集 U=R,集合 A={x|x≥1}, B={x|x +x-6≥0},则集合 (CU A) I (CU B) = A.{x|-3<x<1} B.{x|1<x<2} C.{x|x>2} 2.已知棱长为 2 的正方体内接于球,则该球的表面积为 A. 3π B. 8 3π
2

( (

) )

D.{x|x<1} D. 48π

C. 12π

3.已知函 f(x)=(x+1) ,若当 x ∈ [ ? 2, ? ] 时,n≤f(x)≤m 恒成立,则 m-n 的最小 值是 ( )

1 2

1 A. 3
4.函数 f ( x ) = x +
y 1 1 O x 1

1 B. 2

C.1 (
y 1

3 D. 4

y 1

x x

的图像是
y 1 O x

开始 S=0 i=1
1 2i

O -1

x

O -1

x

S=S+ A
2

B
2

C

D i=i+1 ) 否 是 输出 S 结束

5.抛物线 y =2px 的焦点与双曲线 则 p 的值为 A.-2 C.-4. 6.如图给出的是计算

x ? y 2 = 1 的右焦点重合, 3


B.2 D. 4

1 1 1 1 + + + L + 的值的一个流程图, 2 4 6 20


其中判断框内应填入的条件是 ( A.i>10 B.i<10 C.i>20 D.i<20 7.在△ABC 中, ( a + b + c )(b + c ? a ) = 3bc ,则 sinA=( A.

) D.

3 2

B. ?

3 2

C. ±

3 2

1 2


8. 若复数 z = a ?

2 + 3i 为纯虚数, 其中 a ∈ R , 为虚数单位, i 则

a + i 2007 的值为 ( 1 + ai


A.-1 B.-i C.1 D.i 2 2 9.“a=1”是“函数 y=cos (ax)-sin (ax)的最小正周期为π” 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分必要条件



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C.充要条件
2

D.既不充分也不必要条件
2

10.若将(x-a)(x-b)逐项展开得 x -ax-bx+ab,则 x 出现的频率为 率为

1 ,x 出现的频 4

1 3 ,如此将(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)(x-e)逐项展开后,x 出现的频 2
) B.

率是( A.

5 16

1 6

C.

1 5

D.

5 32

11.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3, 1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),……,则第 40 个数对是 ( ) A.(1,9) B.(3,7) C.(4,6) D.(5,5) 12.已知椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线 必经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点 F1、F2 是它的两个焦 点,点 B 是它的一个短轴端点,其长轴长为 2 a,焦距为 2c. 将静放在 F1 点的小球(半 径忽略不计)沿直线 F1B 击出,经过椭圆壁两次反弹后再回到 F1 点,则小球经过的路程 是 ( ) B.2(a+ c) A.2(a-c) C.4 a D.以上三种情况都有可能 二、填空题:(4 小题×4 分=16 分) 13.为了科学地比较考试的成绩,有些选拔性考试会将分数转化为标准分,转化关系式为
? x?x (其中 x 是某位学生的考试分数, x 是该次考试的平均分,s 是该次考试的 s 标准差,Z 是该学生的标准分)。转化为标准分后可能出现小数和负值,因此,又常常 再将 Z 分数做线性变换转化成其它分数。 例如某次考试采用的是 T 分数, 线性变换公式

Z=

是 T=40Z+60。已知这次考试中,甲考生的考试分数是 85,这次考试的平均分是 70,标 准差是 25,则该考生的 T 分数是 . x 14.在如下程序框图中,输入 f0(x)=e +sinx-cosx,则输出的是=___________. 开始 输入 f0(x)

i=0

i=i +1

fi(x)=f 'i ?1 (x)


结束



i =2007

输出 fi

? x ≥ 2    15.已知 x、y 满足约束条件 ? y ≥ 2    ,则目标函数 z=x+2y 的取值范围可用区间表示 ? ?x + y ≤ 6 ?
为 . 16.已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为零的函数,且对于任意的 a,b∈R,满足 f(ab)=af

f (2 n ) f (2 n ) * (b)+bf(a),f(2)=2,其中 a n = ( n ∈ N ), b n = (n ∈ N * ) . n n 2
下列结论:①f(0)= f(1);②f(x)为偶函数;③数列{an}为等比数列;④数列{bn}

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为等差数列.其中正确的是 三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,内角 A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向 量 m =(1,cosA -1), n =(cosA,1)且满足 m ⊥ n . (1)求 A 的大小; (2)若 a= 3 ,b+c=3 求 b、c 的值. .

18. (本小题满分 12 分) 甲盒有标号分别为 1、 3 的 3 个红球; 2、 乙盒有标号分别为 1、 2…、

n(n≥2)的 n 个黑球,从甲、乙两盒中各抽取一个小球,抽取的标号恰好分别为 1 和 n 的概率为 1 .
12

(1)求 n 的值; (2)现从甲、乙两盒各随机抽取 1 个小球,抽得红球的得分为其标号数;抽得黑球,若 标号数为奇数,则得分为 1,若标号数为偶数,则得分为零,设被抽取的 2 个小球 得分之和为 ξ ,求 ξ 的数学期望 E ξ .

19.(本小题满分 12 分)如右图,四棱锥 P-ABCD 中,PB⊥底面 ABCD,CD⊥PD,底面 ABCD 为直角梯形,AB⊥BC,AD∥BC,AB=AD=PB=3. 点 E 在棱 PA 上,且 PE=2EA. (1)求证△BDC 是等腰直角三角形。 (2)求异面直线 PA 与 CD 所成的角; (3)求 AB 与面 BED 所成角的余弦值。
E B C P

A

D

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中 国 最 大 的 文 学 社 区 网 站---159 文 学 网 1 3 20.(本小题满分 14 分)已知数列{an}中,a1= , an=2 - (n ≥ 2, n ∈ N + ) ,数列 a n ?1 5
{ b n} 满足 bn=

1 (n ∈ N + ) . an ? 1

(1)求证:数列{bn}是等差数列; (2) 记 Tn=a1 a 2…a n-1an,探索数列{Tn}的通项,求使得 Tn<-5 的最小正整数 n; (3) 求数列{an}中的最大项与最小项,并说明理由.

21.(本小题满分 14 分)已知△ABC 三顶点分别为 A(-3,0),B(3,0),C(x,y) (1)当 BC 边上的高所在直线过点 D(0,2)时,求点 C 的轨迹方程; (2)设△ABC 的面积为 12,满足三角形的周长最小时,点 C 在以 A,B 为焦点的椭圆上, 求椭圆方程; (3)若斜率为 k 的直线与(2)中的椭圆交于不同的两点 M,N,求证:当直线平行移动 时,MN 的中点恒在一条过原点的直线上.

四、选考题(本题满分 10 分,只能从 A、B 两道题中选做一道) A.(1)已知点 C 的极坐标为(2,

π
3

),画图并求出以 C 为圆心,半径 r=2 的圆的极

坐标方程(写出解题过程); (2)P 是以原点为圆心,r=2 的圆上的任意一点,Q(6,0),M 是 PQ 中点 ①画图并写出⊙O 的参数方程; ②当点 P 在圆上运动时,求点 M 的轨迹的参数方程。 B.如图所示,AB 为⊙O 的直径,BC、CD 为⊙O′的切线,B、D 为切点 (1)求证:AD∥OC; A (2)若⊙O 的半径为 1,求 AD·OC 的值. C.已知:a、b、x、y∈R , 求证: x + y ≥ ( a +
+

a b + = 1, x y

D O

b)2
C

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[参考答案] 参考答案] 一、选择题: 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 C 5 D 6 A 7 A 8 B 9 A 10 A 11 C 12 C

二、填空题: x 13.84 14.e -cosx-sinx 三、解答题: 17.(1) m ? n = 0 ,cosA=

15.[6,10]

16.① ③ ④

1 ,A 为△ABC 内角,∴A=60? 2

(2)a= 3 ,A=60?,由余弦定理

a 2=b2+c2-2 bc cosA 得 a 2=(b+c)2-2 bc-2 bc cosA ∵a +b=3, ∴3=9-3bc,bc =2 ?b + c = 3 ?b = 1 ?b = 2 由? 得? 或? ?bc = 2 ?c = 2 ?c = 1
18.(1)由

1 1 1 ? = 得 n=4 3 n 12
乙盒
1 2 3 4

(2) 甲盒
1 2 3

ξ 是被抽取的 2 个小球得分之和
则有 P( ξ =1)=

1 2 1 × = 3 4 6 1 2 1 2 2 P( ξ =2)= × + × = 3 4 3 4 6 1 2 1 2 2 P( ξ =3)= × + × = 3 4 3 4 6 1 2 1 P( ξ =4)= × = 3 4 6

概率分布表:

ξ
P

1

2

3

4

2 1 6 6 1 2 2 1 1 + 4 + 6 + 4 15 5 ∴E ξ = 1 × + 2 × + 3 × + 4 × = = = 6 6 6 6 6 6 2
19.(1)PB⊥面 ABCD ? PB⊥DC DC⊥面 PBD PD⊥DC AB⊥AD ∠ADB=45? AB=AD AD∥BC ? ∠ADB=∠DBC △BDC 为等腰直角三角形 △BDC 为等腰直角三角形 (2)过 D 作 DF⊥BC 于 F,则 F 为 BC 中点 DC⊥BD

1 6

2 6

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连接 AF、PF,由(1)知 BF=FC=3 ∴AD∥FC,ADCF 为 ∴∠PAF 即为异面直线 PA 与 CD 所成角。 Rt△PAB、Rt△BAD1,Rt△PBF 均为等腰直角三角形 ∴PA=AF=PF=3 2 ∴∠PAF=60? z
P

方法二:用空间向量(略) 方法二 E (3)建立如图所示坐标系,则 B(0,0,0), P(0,0,3),A(0,3,0),D(3,3,0), E(0,2,1) 从而 BE = (0,2,1), BD = (3,3,0), BA = (0,3,0) 设面 BDE 的一个法向量为 n = ( x, y, z ) 则 由 n ⊥ BD, n ⊥ BE 得 ?
A

B

C

x

D

y

?3 x + 3 y = 0 ?x = ? y ,即 ? ?2 y + z = 0 ? z = ?2 y

令 y=-1 得 n =(1,-1,2),| n |= 6 ,| BA |=3 ∴cos( n , BA )=

?3 6 ×3

=?

1 6

,sin< n , BA >=

5 6

∴AB 与面 BED 所成角的余弦值为 cos θ =

30 6

20.(1)由 an=2-

1 a n ?1

得 an-1=

a n ?1 ? 1 a ?1+1 1 1 ∴ = n ?1 = 1+ a n ?1 an ? 1 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1



1 1 ? =1 a n ?1 a n ?1 ? 1 1 3 ∴bn-bn-1=1,又 a1= an ? 1 5
b 1=

∵ bn =

1 5 =? a1 ? 1 2

5 为首项,d=1 为公差的等差中项。 2 5 7 2n ? 7 bn =- ? + (n ? 1) × 1 = n ? = 2 2 2
∴{ bn }是以 b1=- (2)bn =

1 1 2 2n ? 5 ,an=1+ =1+ = an ? 1 bn 2n ? 7 2n ? 7

an =

2n ? 5 2n ? 7

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中 国 最 大 的 文 学 社 区 网 站---159 文 学 网 ? 3 ?1 1 2n ? 9 2n ? 7 2 n ? 5 L Tn=a1a2…an= ? ? ? ? ? 5 ? 3 ? 1 2n ? 11 2n ? 9 2n ? 7 2n ? 5 5 ? 2n = < ?5 得 得 T n= ?5 5
5-2n<-25,2 n >30,n >15 ∴使得 Tn<-5 的最小整数 n =16 (3)方法一:由 an= 作 y=1+

2n ? 5 2 n ? 7 + 2 2 = =1+ 2n ? 7 2n ? 7 2n ? 7
y 1 3

1 x? 7 2

的图象如右图所示:

由图知数列{an}中 最大项为 a4=3 最小项为 a3=-1 方法二:用导数,求 y=

74 2

x

2x ? 5 的导数. 2x ? 7

21.(1)A(-3,0),B(3,0),D(0,2),C(x,y) 则 AD =(3,2), BC =(x-3,y) 由 AD ? BC = 0 得 3(x-3)+2y=0 ∴C 点的轨迹方程为 3x+2y-9=0
A? y 4 -3 A 3 B

1 (2)由 S△ABC= | AB | | y |=12 知| y |=4 2
C 点在直线 y=±4 上运动,如图

y=4 x

取 y=4,A 关于 y=4 的对称点 A′(-3,8),得 A′B 方程为 y=-

4 x+4 3

由?

?y = 4 ? 得 C(0,4) 4 y=? x+4 ? 3 ?

即 S△=12,周长最小时 d(0,4),这时 C 点在以 A、B 为焦点的椭圆上, 则有 c=3,2a=10,a=5,b=4 ∴椭圆方程为

x2 y2 + =1 25 16

(3)设斜率为 k 的直线方程为 y=kx+m,

? y = kx + m ? 2 2 2 则由 ? x 2 得(16+25k )x +50km+25m -400=0 y2 =1 ? + ? 25 16
△>0 时设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点 G(x,y)

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由有 x1+x2=

? 50km 16 + 25k 2 32m 16 + 25k 2

y1+y2=k(x1+x2)+2b=

? 25km ? ? x = 16 + 25k 2 ∴? (k 为常数,m 为参数) ? 16m ?y = ? 16 + 25k 2 ?
∴G 点轨迹方程为 即 y=-

y 16 =? x 25k

16 x , 当 k=0 时,G 点的轨迹为 y 轴所在的线段; 25k 16 当 k≠0 时,G 点轨迹方程 y=- x 25k

即当直线平行移动时,MN 的中点恒在一条过原点的直线上。 四、选考题: A.(1)如图,设 M( ρ ,θ) 则∠MQC=θ-

π
3



π
3
2

-θ

M

由余弦定理得 4+ ρ -4cos(θ-

π
3

C

)=4

O

∴ QC 的极坐标方程为 ρ =4cos(θ-
x = 2 cos θ (2)如图①⊙O 的参数方程 ? ? ? y = 2 sin θ

π
3


y P M O Q x

②设 M(x,y),P(2cosθ,2sinθ), 因 Q(6,0) 6 + 2 cos θ ? ?x = ? 2 ∴M 的参数方程为 ? 2 sin θ ?y = ? 2 ?

? x = 3 + cos θ 即? ? y = sin θ
B.(1)如图,连接 BD、OD ∵CB、CD 是⊙O 的两条切线 ∴BD⊥OC,∴∠2+∠3=90° 又 AB 为⊙O 直径,∴AD⊥PB,∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3,∴AD∥OC (2)AO=OD,则∠1=∠A=∠3 ∴Rt△BAD∽Rt△ODC,AD???OC=AB?OD=2

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C.a,b,x,y∈R ,
+

a b + = 1 ,则 x y

x+y=(x+y)=(

ay bx a b + ) = a + b + ( + ) ≥ a + b + 2 ab = ( a + b ) 2 x y x y

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