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【成才之路】高中数学 2-4-3第3课时 直线与抛物线的位置关系同步检测 新人教版选修2-1

2.4 第 3 课时
一、选择题

直线与抛物线的位置关系

1.直线 y=x-3 与抛物线 y =4x 交于 A、B 两点,过两点向抛物线的准线作垂线,垂 足分别为 P、Q,则梯形 APQB 的面积为( A.48 C.64 [答案] A [解析] 由?
? ?y =4x ?y=x-3 ?
2

2

)

B.56 D.72

消去 y 得,

x2-10x+9=0,∴x=1 或 9,
∴?
? ?x=1 ? ?y=-2

或?

? ?x=9 ? ?y=6



∴|AP|=10,|BQ|=2 或者|BQ|=10,|AP|=2,|PQ|=8,梯形 APQB 的面积为 48,选 A. → 2 2.设 O 是坐标原点,F 是抛物线 y =2px (p>0)的焦点,A 是抛物线上的一点,FA与 x → 轴正向的夹角为 60°,则|OA|为( A. 21p 4 13 p 6 B. 21p 2 )

C.

13 D. p 36

[答案] B [解析] 依题意可设 AF 所在直线方程为

p p y-0=(x- )tan60°,∴y= 3(x- ).
2 2

?y= 3(x-p) ? 2 联立? 2 ?y =2px ?

p 3p ,解得 x= 与 . 6 2

3p → ∵FA与 x 轴正向夹角为 60°,∴x= ,y= 3p. 2 21p → 2 2 ∴|OA|= x +y = . 2 3.抛物线 y =2px 与直线 ax+y-4=0 的一个交点是(1,2),则抛物线的焦点到该直线 的距离为( )
2

1

A. C.

3 3 2 7 5 10

2 B. 5 5 D. 17 2

[答案] B [解析] 由已知得抛物线方程为 y =4x, 直线方程为 2x+y-4=0, 抛物线 y =4x 的焦 |2+0-4| 2 5 点坐标是 F(1,0),到直线 2x+y-4=0 的距离 d= = . 2 5 2 +1 → → → → 2 4.设 F 为抛物线 y =4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA+FB+FC=0,则|FA → → |+|FB|+|FC|等于( A.9 C.4 [答案] B [解析] 设 A、B、C 三点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)、(x3,y3).由题意知 F(1,0), → → → → → → 因为FA+FB+FC=0,所以 x1+x2+x3=3.根据抛物线定义,有|FA|+|FB|+|FC|=x1+1+ ) B.6 D.3
2 2

x2+1+x3+1=3+3=6.故选 B.
→ → 2 5.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y =4x 的焦点,A 为抛物线上一点,若OA?AF=-4, 则点 A 的坐标为( A.(2,±2 2) C.(1,2) [答案] B [解析] 设点 A 的坐标为(x0,y0),∴y0=4x0① → → 又 F(1,0),∴OA=(x0,y0),AF=(1-x0,-y0), → → 2 2 ∵OA?AF=-4,∴x0-x0-y0=-4② 解①②组成的方程组得?
?x0=1 ? ? ?y0=2
2

) B.(1,±2) D.(2,2 2)

或?

?x0=1 ? ? ?y0=-2

.

[点评] 向量与解析几何相结合,向量往往要化为坐标的形式. 6.(08?宁夏、海南)已知点 P 在抛物线 y =4x 上,那么点 P 到点 Q(2,-1)的距离与 点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点 P 的坐标为( )
2

?1 ? A.? ,-1? ?4 ?
C.(1,2) [答案] A

?1 ? B.? ,1? ?4 ?
D.(1,-2)

2

[解析] 过点 Q 作准线的垂线 QM, 交抛物线于 P′点, 连结 P′F, 此时|P′Q|+|P′F|

?1 ? =|P′Q|+|P′M|=|QM|,此时|MQ|最小,所以所求坐标为? ,-1?. ?4 ?

7.(09?全国Ⅱ理)已知直线 y=k(x+2)(k>0)与抛物线 C:y =8x 相交于 A、B 两点,F 为 C 的焦点.若|FA|=2|FB|,则 k=( A. 1 3 2 3 B. 2 3 2 2 D. 3 )

2

C.

[答案] D [解析] 设 A、B 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 由?
?y=k(x+2) ? ? ?y =8x
2 2

消去 y 得,k x +4x(k -2)+4k =0,

2 2

2

2

4(2-k ) ∴x1+x2= ,x1x2=4. 2

k

由抛物线定义得|AF|=x1+2,|BF|=x2+2, 又∵|AF|=2|BF|,∴x1+2=2x2+4, ∴x1=2x2+2 代入 x1x2=4,得 x2+x2-2=0, ∴x2=1 或-2(舍去),∴x1=4, 4(2-k ) 8 2 ∴ =5,∴k = , k2 9 2 2 ∵k>0,∴k= . 3 8. 过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 作两弦 AB 和 CD, 其所在直线的倾斜角分别为 则|AB|与|CD|的大小关系是( A.|AB|>|CD| C.|AB|<|CD| [答案] A 2p [解析] 由抛物线的焦点弦公式 l= 2 知, sin θ |AB|>|CD|,故选 A. )
2 2 2

π π 与 , 6 3

B.|AB|=|CD| D.|AB|≠|CD|

3

9.(09?全国Ⅰ理)设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线 y=x +1 相切,则 该双曲线的离心率等于( A. 3 C. 5 [答案] C [解析] 双曲线的渐近线方程为 y=± x. ∵渐近线与 y=x +1 相切, ∴x ± x+1=0 有两相等根, ∴Δ = 2-4=0,∴b =4a , ∴e= =
2 2

x2 y 2 a b

2

)

B.2 D. 6

b a

b a

b2 a

2

2

c a

c2 = a2

a2+b2 = 5. a2
2

10.(09?四川理)已知直线 l1:4x-3y+6=0 和直线 l2:x=-1,抛物线 y =4x 上一 动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.2 C. 11 5 B.3 37 D. 16 )

[答案] A [解析] 如图|PA|+|PB|=|PF|+|PB|

∴所求最小值为点 F 到直线 l1:4x-3y+6=0 的距离

d=

|4?1-0+6| =2,故选 A. 5

二、填空题 11.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米,当水面升高 1 米后, 水面宽度是________米. [答案] 4 2 [解析] 设抛物线拱桥的方程为 x =-2py,当顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米, 即抛物线过点(4,-2)代入方程得 16=4p ∴p=4,则抛物线方程是 x =-8y,
2 2

4

水面升高 1 米时,即 y=-1 时,x=±2 2. 则水面宽为 4 2米. 12.已知抛物线 y =4x 的一条过焦点的弦 AB,A(x1,y1),B(x2,y2),AB 所在直线与 y 1 1 轴交点坐标(0,2),则 + =________.
2

y1 y2

[答案]

1 2

[解析] 弦 AB 是过焦点 F(1,0)的弦, 又过点(0,2),∴其方程为 x+ =1, 2 2x+y-2=0 与 y =4x 联立得
2

y

y2+2y-4=0,y1+y2=-2,y1y2=-4,
1 1 y1+y2 -2 1 + = = = . y1 y2 y1?y2 -4 2 9 2 13.在已知抛物线 y=x 上存在两个不同的点 M、N 关于直线 y=kx+ 对称,则 k 的取 2 值范围为________. 1 1 [答案] k> 或 k<- 4 4 9 2 2 [解析] 设 M(x1,x1),N(x2,x2)关于已知抛物线对称,依 MN⊥l:y=kx+ , 2 ∴

x2-x2 1 1 1 1 1 2 =- ,即 x1+x2=- .设 MN 的中点为(x0,y0),则 x0=- ,y0=k?(- ) x1-x2 k k 2k 2k

9 + =4. 2 因中点在 y=x 内,有 4>(- 1 1 ∴k> 或 k<- . 4 4 → → 2 14.(2010?重庆理,14)已知以 F 为焦点的抛物线 y =4x 上的两点 A、B 满足AF=3FB, 则弦 AB 的中点到准线的距离为________. [答案] 8 3
2

1 2 2 1 ) ?k > , 2k 16

→ → [解析] 如右图,设|AF|=m,|FB|=n,

5

1 1 2 1 1 由 + = 得 + =1,

m n p m n
1 1 + =1, 3n n



4 4+ 3 8 4 m+n ∴n= ,m=4,∴AB 中点到准线的距离 d= = = . 3 2 2 3 三、解答题 15.过抛物线 y =x 上一点 A(4,2),作倾斜角互补的两直线 AB、AC 交抛物线于 B、C. 求证直线 BC 的斜率为定值. [证明] 设 B(x1,x1),C(x2,x2)(|x1|≠|x2|), 则 kBC=
2 2 2

x1-x2 1 x1-2 x2-2 ;kAB= 2 ,kAC= 2 . 2 2= x1-x2 x1+x2 x1-4 x2-4

∵AB,AC 的倾斜角互补.∴kAB=-kAC. ∴

x1-2 x2-2 =- 2 ,∴x1+2=-(x2+2), 2 x1-4 x2-4

1 ∴x1+x2=-4.∴kBC=- 为定值. 4 16.已知抛物线 y =6x 的弦 AB 经过点 P(4,2),且 OA⊥ OB(O 为坐标原点),求弦 AB 的长. [解析] 由 A、B 两点在抛物线 y =6x 上,可设 A( ,y1),B( ,y2). 6 6 → → 因为 OA⊥OB,所以OA?OB=0.
2 2

y2 1

y2 2

y2 y1y2 → y1 → 由OA=( ,y1),OB=( ,y2),得 +y1y2=0. 6 6 36
∵y1y2≠0,∴y1y2=-36,① ∵点 A、B 与点 P(4,2)在一条直线上, ∴

2

2

2 2

y1-2 y1-y2 y1-2 1 = 2 2,化简,得 2 = , 2 y1 y1 y2 y1-24 y1+y2
6 -4 6 - 6

即 y1y2-2(y1+y2)=-24. 将①式代入,得 y1+y2=-6.② 由①和②, y1=-3-3 5, 2=-3+3 5, 得 y 从而点 A 的坐标为(9+3 5, -3-3 5),

6

点 B 的坐标为(9-3 5,-3+3 5), 所以|AB|= (x1-x2) +(y1-y2) =6 10. 17.设抛物线 y =8x 的焦点是 F,有倾角为 45°的弦 AB,|AB|=8 5,求△FAB 的面 积. [解析] 设 AB 方程为 y=x+b 由?
?y=x+b, ? ? ?y =8x.
2 2 2 2

消去 y 得:x +(2b-8)x+b =0.
2

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=8-2b,x1?x2=b . ∴|AB|= 1+k ?|x1-x2| = 2? (x1+x2) -4x1?x2 = 2[(8-2b) -4b ]=8 5, 解得:b=-3. ∴直线方程为 y=x-3.即:x-y-3=0 ∴焦点 F(2,0)到 x-y-3=0 的距离为 d= 1 2 ∴S△FAB= ?8 5? =2 10. 2 2 18.已知抛物线 y=-x +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B,求 A、B 两点间的距离. [分析] 本题考查抛物线上的对称问题,可利用 A、B 两点在抛物线上,又在直线上, 设出直线方程利用条件求解. [解析] 由题意可设 lAB 为:y=x+b,把直线方程代入 y=-x +3 中得,x +x+b-3 =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-1,y1+y2=x1+b+x2+b=(x1+x2)+2b=2b- 1. 1 1 ∴AB 的中点坐标为(- ,b- ),则该点在直线 x+y=0 上. 2 2 1 1 ∴- +(b- )=0,得 b=1. 2 2 ∴|AB|= 1+1 |x1-x2|= 2 = 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2



2 . 2

(x1+x2) -4x1x2

2

(-1) -4?(-2)=3 2.

所以 A、B 两点间距离为 3 2.

7



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