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2019高中数学人教A版选修2-2习题:第一章导数及其应用 1.4

1.4 生活中的优化问题举例 课时过关· 能力提升 基础巩固 1 已知某生产厂家的年利润 y(单位:万元)与年产量 x(单位:万件)的函数关系式为 y=- x3+81x-234,则使该生产厂家 获取最大年利润的年产量为( ) A.13 万件 C.9 万件 B.11 万件 D.7 万件 解析 y'=-x2+81,令 y'=0,得 x=9(舍去 x=-9),且经讨论知 x=9 是函数的极大值点,所以厂家获得最大年利润的年产量是 9 万件. 答案 C 2 某产品的销售收入 y1(单位:万元)是产量 x(单位:千台)的函数,且关系式为 y1=17x2(x>0),生产成本 y2(单位:万元) 是产量 x(单位:千台)的函数,且关系式为 y2=2x3-x2(x>0),为使利润最大,应生产( A.6 千台 C.8 千台 B.7 千台 D.9 千台 ) 解析设利润为 y,则 y=y1-y2=17x2-(2x3-x2)=-2x3+18x2(x>0), 所以 y'=-6x2+36x=-6x(x-6). 令 y'=0,解得 x=0(舍去)或 x=6,经检验知 x=6 既是函数的极大值点也是函数的最大值点. 答案 A 3 某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到大家更多的关注,据有关统计数据显示,从上午 6 时到 9 时,车辆通过该 市某一路段的用时 y(单位:分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间的关系可近似地用如下函数表示:y=- t3- t2+36t则在这段时间内,通过该路段用时最多的时刻是( A.6 时 C.8 时 解析 y'=- t2- t+36, 令 y'=0 解得 t=8 或 t=-12(舍去), 当 0<t<8 时,y'>0;当 t>8 时,y'<0, 所以 t=8 为函数的最大值点. 故当 t=8 时,通过该路段用时最多. 答案 C B.7 时 D.9 时 ) , 1 4 某厂要围建一个面积为 512 m2 的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边要砌新墙,当砌新墙所用的材 料最省时,堆料场的长和宽分别为( A.32 m,16 m C.25.6 m,20 m B.64 m,8 m D.51.2 m,10 m ) 解析设新建堆料场与原墙平行的一边长为 x m,与原墙垂直的一边长为 y m,则 xy=512,新建围墙的长 l=x+2y= +2y(y>0). 令 l'=- +2=0,解得 y=16(另一负根舍去). 当 0<y<16 时,l'<0; 当 y>16 时,l'>0. 所以当 y=16 时,函数 l= 答案 A 5 做一个容积为 256 m3 的方底无盖水箱,所用材料最省时,它的高为( A.6 m C.4 m B.8 m D.2 m . ) +2y(y>0)取得极小值,也就是最小值,此时 x= =32. 解析设底面边长为 x m,高为 h m,则有 x2h=256,所以 h= 设所用材料的面积为 S m2,则有 S=4x· h+x2=4x· 令 S'=0,得 x=8,因此 h= 答案 C =4(m). +x2= +x2,S'=2x- . 6 做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的容积是 27π,且用料最省,则水桶的底面半径为 解析用料最省,即水桶的表面积最小. 设圆柱形水桶的表面积为 S,底面半径为 r(r>0),则水桶的高为 ,所以 S=πr2+2πr× =πr2+ . (r>0).求导,得 S'=2πr- . 令 S'=0,解得 r=3. 当 0<r<3 时,S'<0;当 r>3 时,S'>0.所以当 r=3 时,圆柱形水桶的表面积最小,即用料最省. 答案 3 7 某厂生产某种产品 x 件的总成本 c(x)=1 200+ 这样的产品单价为 50 万元,产量定为 x3(万元),已知产品单价的平方与产品件数 x 成反比,生产 100 件 件时总利润最大. 2 答案 25 8 已知矩形的两个顶点位于 x 轴上,另两个顶点位于抛物线 y=4-x2 在 x 轴上方的曲线上,则这个矩形面积最大时的 长和宽分别为 . 解析设第一象限中位于抛物线上的矩形的顶点为(x,y),其中 0<x<2,y>0,则在抛物线上的另一个顶点为(-x,y),在 x 轴上 的两个顶点分别为(-x,0),(x,0). 设矩形的面积为 S,则 S=2x(4-x2)(0<x<2), 则 S'=8-6x2. 令 S'=0,得 x= 或 x=(舍去).当 0<x< 时,S'>0; 当 <x<2 时,S'<0. 因此,当 x= 积最大. 答案 和 时,S 取得极大值,也就是最大值,此时,2x= ,4-x2= .所以矩形的长和宽分别为 和 时,矩形的面 9 一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为 10 海里/时时,燃料费是 6 元/时,而其 他与速度无关的费用是 96 元/时,问轮船的速度是多少时,航行 1 海里所需的费用总和最小? 分析本题主要考查利用导数解决实际问题.应当先求出比例系数,再利用已知条件将航行 1 海里的费用总和表示为速 度的函数,利用导数求解. 解设速度为 v 海里/时的燃料费是 p 元/时,由题设的比例关系得 p=k· v3,其中 k 为比例系数.由 v=10,p=6,得 k= =0.006,于是 p=0.006v3. 设船的速度为 v 海里/时时,航行 1 海里所需的总费用为 q 元,而每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元,航行 1 海里 所需时间为 时,所以航行 1 海里的总费用为 q= (0.006v3+96)=0.006v2+ 所以 q'=0.012v令 q'=0,解得 v=20. 因为当 0<v<20 时,q'<0; 当 v>20 时,q'>0,所以当 v=20 时,q 取得最小值. (v3-8 000). (v>0). 3 故速度为 20 海里/时时,航行 1 海里所需费用总和最小. 能力提升 1 若底面为等


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