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高中数学第二章变化率与导数5简单复合函数的求导法则教学案北师大版选修2_2

§5 简单复合函数的求导法则 [对应学生用书P23] π? ? 2 已知 y=(3x+2) ,y=sin?2x+ ?. 6? ? 问题 1:这两个函数是复合函数吗? 提示:是复合函数. 问题 2:试说明 y=(3x+2) 如何复合的. 提示:令 u=g(x)=3x+2,则 y=u ,u=3x+2,y=f(u)=f(g(x))=(3x+2) . 问题 3:试求 y=(3x+2) ,f(u)=u ,g(x)=3x+2 的导数. 提示:y′=(9x +12x+4)′=18x+12,f′(u)=2u,g′(x)=3. 问题 4:观察问题 3 中导数有何关系. 提示:y′=[f(g(x))]′=f′(u)·g′(x). 2 2 2 2 2 2 1.复合函数的概念 对于两个函数 y=f(u)和 u=φ (x)=ax+b,给定 x 的一个值,就得到了 u 的值,进而 确定了 y 的值, 这样 y 可以表示成 x 的函数, 称这个函数为函数 y=f(u)和 u=φ (x)的复合 函数,记作 y=f(φ (x)),其中 u 为中间变量. 2.复合函数的求导法则 复合函数 y=f(φ (x))的导数为:y′x=[f(φ (x))]′=f′(u)φ ′(x). 利用复合函数求导法则求复合函数导数的步骤: (1)适当选取中间变量分解复合函数为初等函数. (2)求每层的初等函数的导数,最后把中间变量转化为自变量的函数. [对应学生用书P24] 简单的复合函数求导 [例 1] 求下列函数的导数: (1)y=sin 3x;(2)y= (3)y=lg(2x +3x+1); π? 2? (4)y=sin ?2x+ ?. 3? ? [思路点拨] 先分析复合函数的复合过程,然后运用复合函数的求导法则求解. [精解详析] (1)设 y=sin u,u=3x, 则 y′x=y′u·u′x=(sin u)′·(3x)′=cos u·3=3cos 3x. 1 2 (2)设 y=u- ,u=1-2x , 2 1 2 则 y′x=y′u·u′x=(u- )′·(1-2x )′ 2 1 3 =- u- ·(-4x) 2 2 ? 1 2 2 =- (1-2x ) 2 (-4x)=2x(1-2x ) 2 3 ? 3 2 2 1 1-2x 2 ; . (3)设 y=lg u,u=2x +3x+1, 则 y′x=y′u·u′x=(lg u)′·(2x +3x+1)′ = 1 2 2 uln 10 ·(4x+3)= 4x+3 x2+3x+ . π 2 (4)设 y=u ,u=sin v,v=2x+ . 3 则 y′x=y′u·u′v·v′x=2u·cos v·2 2π ? ? =2sin v·cos v·2=2sin 2v=2sin?4x+ ?. 3 ? ? [一点通] 求复合函数导数的步骤: ①确定中间变量,正确分解复合关系,即明确函数关系 y=f(u),u=g(x); ②分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导), 要特别注意中间变量对自变 量的求导,即先求 f′(u),再求 g′(x). ③计算 f′(u)·g′(x),并把中间变量转化为自变量的函数. 整个过程可简记为“分解—求导—回代”三个步骤,熟练以后可以省略中间过程. 1.函数 y= A. C.- 6 x- 6 1 x- 3 2 的导数是( ) B. D.- 6 x- 6 2 x- 3 x- 2 解析:∵y= 1 x- -3 2 =(3x-1) , -2 ∴y′=-2(3x-1) ·(3x-1)′ =-6(3x-1) =- 答案:C 2.函数 f(x)=(2x+1) ,则 f′(0)的值为________. 解析:f′(x)=5(2x+1) ·(2x+1)′=10(2x+1) , ∴f′(0)=10. 答案:10 3.求下列函数的导数. (1)y= 3-x;(2)y=sin x+sin x ;(3)y= 解:(1)设 y= u,u=3-x, 1 1 则 y′x=y′u·u′x= ·(-1)=- . 2 u 2 3- x (2)y′=(sin x+sin x )′=(sin x)′+(sin x )′ =3sin xcos x+cos x ·3x 2 2 2 3 2 3 3 3 3 3 3 4 4 5 -3 6 x- 3 1 -3x 4 . =3sin xcos x+3x ·cos x . (3)设 y=u ,u=1-3x, ∴y′=(u )′(1-3x)′=(-4u )·(-3)=12u =12(1-3x) . -5 -4 -5 -5 -4 3 复合函数导数的综合问题 [ 例 2] 某港口在一天 24 小时内潮水的高度近似满足关系 s(t) = 3sin ? ?π t+5π ? 6 ? ?12 ? (0≤t≤24),其中 s 的单位是 m,t 的单位是 h,求函数在 t=18 时的导数,并解释它的实 际意义. π 5π [精解详析] 设 f(x)=3sin x,x=φ (t)= t+ . 12 6 5π ? π π ?π 由复合函数求导法则得 s′(t)=f′(x)·φ ′(t)=3cos x· = cos? t+ ?. 6 ? 12 4 ?12 π 7π π 将 t=18 代入 s′(t),得 s′(18)= cos = (m/h). 4 3 8 π 它表示当 t=18 h 时,潮水的高度上升的速度为 m/h. 8 [一点通] 将复合函数的求导与导数的实际意义结合, 旨在巩固函数在某点处的导数反 映了函数在该点的瞬时变化率,体现导数揭示物体某时刻的变化状况. 4.(新课标全国卷Ⅱ)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a = ( A.0 C.2 解析:y′=a- 答案:D 5.f(x)= ax-1,且 f′(1)=1,则 a 的值为________. 1 a


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