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状元之路2015版高考数学二轮复习函数与方程及函数的应用专题训练(含解析)

【状元之路】 2015 版高考数学二轮复习 函数与方程及函数的应用专题 训练(含解析) 一、选择题 1.函数 f(x)= A.-2 1 C. 2 2 +a 的零点为 1,则实数 a 的值为( x 3 +1 1 B.- 2 D. 2 ) 2 1 解析 由已知得 f(1)=0,即 1 +a=0,解得 a=- .故选 B. 3 +1 2 答案 B 2.函数 f(x)=2 -x- 2的一个零点所在的区间是( A.(0,1) C.(2,3) 0 x ) B.(1,2) D.(3,4) 2 解析 由 f(0)=2 -0- 2<0,f(1)=2-1- 2<0,f(2)=2 -2- 2>0,根据函数零点存在性 定理知函数的一个零点在区间(1,2)内,故选 B. 答案 B 6 3.(2014·北京卷)已知函数 f(x )= -log2x,在下列区间中,包含 f(x)零点的区间是( x ) A.(0,1) C.(2,4) B.(1,2) D.(4,+∞) 解析 由题意知,函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,又 f(1)=6-0=6>0,f(2)=3-1=2>0, f(4)= -log24= -2=- <0,由零点存在性定理,可知函数 f(x)在区间(2,4)上必存在零点. 答案 C 4.(2014·湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -3x,则函数 g(x) =f(x)-x+3 的零点的集合为( A.{1,3} C.{2- 7,1,3} ) B.{-3,-1,1,3} D.{-2- 7,1,3 2 6 4 3 2 1 2 解析 求出当 x<0 时 f(x)的解析式, 分类讨论解方程即可. 令 x<0, 则-x>0, 所以 f(-x)=(- x)2+3x=x2+3x.因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(-x)=-f(x). 所以当 x<0 时,f(x)= -x -3x.所以当 x≥0 时,g(x)=x -4x+3.令 g(x)=0,即 x -4x+3=0,解得 x=1 或 x=3.当 2 x<0 时, g(x)=-x2-4x+3.令 g(x)=0, 即 x +4x-3=0, 解得 x=-2+ 7>0(舍去)或 x=-2- 7. 2 2 2 所以函数 g(x)有三个零点,故其集合为{-2- 7,1,3}. 1 答案 D ?kx+2,x≤0 ? 5.已知函数 f(x)=? ?lnx,x>0 ? (k∈R),若函数 y=|f(x)|+k 有三个零点,则实数 k 的取 值范围是( A.k≤2 ) B.-1<k<0 D.k≤-2 C.-2 ≤k<-1 解析 由 y=|f(x)|+k=0 得|f(x)|=-k≥0,所以 k≤0,作出函数 y=|f(x)|的图象, 要使 y=-k 与函数 y=|f(x)|有三个交点,则有-k≥2,即 k≤-2,选 D. 答案 D 6.x0 是函数 f(x)=2sinx-π lnx(x∈(0,π ))的零点,x1<x2,则①x0∈(1,e);②x0∈(e,π ); ③f(x1)-f(x2)<0;④f(x1)-f(x2)>0,其中正确的命题为( A.①③ C.②③ B.①④ D.②④ ) 解析 因为 f(1)=2sin1-π ln1=2sin1>0,f(e)=2sin e-π <0,所以 x0∈(1,e),即①正确. f′(x)=2cosx- ,当 x∈?0, ?时, >2,f′(x)<0, 2? x x ? π 当 x= 时,f′(x)=-2<0, 2 当 x∈? π ? π? π ?π ,π ?时,1<π <2,cosx< 0,f′(x)<0. ? x ?2 ? 综上可知,f′(x)<0,f(x)为减函数,f(x1)>f(x2),即 f(x1)-f(x2)>0,④正确. 答案 B 二、填空题 7.已知 0<a<1,函数 f(x)=a -|logax|的零点个数为________. 解析 分别画出函数 y=a (0<a<1)与 y=|logax|(0<a<1)的图象,如图所示,图象有两个交点. x x 2 答案 2 ?x -2,x≤0, ? 8.(2014·福建卷)函数 f(x)=? ? ?2x-6+lnx,x>0 2 的零点个数是________. 解析 分段函数分别在每一段上判断零点个数,单调函数的零点至多有一个. 当 x≤0 时,令 x -2=0,解得 x=- 2(正根舍去), 所以在(-∞,0]上有一个零点. 1 当 x>0 时,f′( x)=2+ >0 恒成立,所以 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 2 x 又因为 f(2)=-2+ln2<0,f(3)=ln3>0,f(2)·f(3)<0,所以 f(x)在(2,3)内有一个零点. 综上,函数 f(x)的零点个数为 2. 答案 2 9.(2 014·陕西卷)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影 部分),则其边长 x 为________m. 解析 如图所示,△ADE∽△ABC,设矩形的面积为 S,另一边长为 y, 则 S△ADE ?40-y?2 ? x ?2 =? ? =? ? . S△ABC ? 40 ? ?40? 3 所以 y=40-x,则 S=x(40-x)=-(x-20) +20 , 所 以当 x=20 时,S 最大. 答案 20 三、解答题 1 x 10.已知函数 f(x)=2 ,g(x)= |x|+2. 2 (1)求函数 g(x)的值域; (2)求满足方程 f(x)-g(x)=0 的 x 的值. 1 ?1?|x| 解 (1)g(x)= |x|+2=? ? +2, 2 ?2? 2 2 ?1?|x| 因为|x|≥0,所以 0<? ? ≤1, ?2? 即 2<g(x)≤3,故 g(x)的值域是(2,3]. 1 x (2)由 f(x)-g(x)=0,得 2 - |x|


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