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高中数学立体几何基础知识


高中数学立体几何基础知识 一、三视图 1、中心投影和平行投影 (1)中心投影:投射线均通过投影中心的投影。 (2)平行投影:投射线相互平行的投影。 (3)三视图的位置关系与投影规律 2、一个空间几何体的三视图包括:主视图、左视图、俯视图. 三视图的位置关系为:俯视图在主视图的下方、左视图在主视图的右方. 三视图之间的投影规律为: 主、俯视图———长对正;主、左视图———高平齐;俯、左视图———宽相等. 3、直观图画法 斜二测画法的规则: (1) 在空间图形中取互相垂直的 x 轴和 y 轴, 两轴交于 O 点, 再取 z 轴, ? xO z ? 90° 使 , 且 ? yO z ? 90° .
? (2)画直观图时把它们画成对应的 x ? 轴、 y 轴和 z ? 轴,它们相交于 O ? ,并使 ? x?O ?y ? ?

45° ? x ?O ?z ? ? 90° , 。
?

(3) 已知图形中平行于 x 轴、 轴或 z 轴的线段, y 在直观图中分别画成平行于 x ? 轴、 y 轴和 z ? 轴的线段.

(4)已知图形中平行于 x 轴和 z 轴的线段,在直观图中长度相等;平行于 y 轴的线段, 长度取一半. 二、多面体与旋转体 1、空间几何体的结构特征 (1)棱柱、棱锥、棱台和多面体 棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体: ①有两个面互相平行; ②其余各面都是四边 形;③每相邻两个四边形的公共边都互相平行;棱柱按底面边数可分为:三棱柱、四棱柱、 五棱柱等.棱柱性质:①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等; ②棱柱的 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 棱锥是由一个底面是多边形, 其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体. 棱锥具 有以下性质:①底面是多边形;②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形;③平行于底面的 截面和底面是相似多边形, 相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比. 截面面积和 底面面积的比等于上述相似比的平方. 棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后,截面和底面之间的部分.由棱台定义可知,所 有侧棱的延长线交于一点,继而将棱台还原成棱锥. 多面体是由若干个多边形围成的几何体. 多面体有几个面就称为几面体, 如三棱锥是四面体. (2)圆柱、圆锥、圆台、球 分别以矩形的一边,直角三角形的一直角边,直角梯形垂直于底边的腰所在的直线,半 圆以它的直径所在直线为旋转轴,旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球
1

圆柱、圆锥和圆台的性质主要有:①平行于底面的截面都是圆;②过轴的截面(轴截面)分 别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形;③圆台的上底变大到与下底相同时,可以得到圆 柱;圆台的上底变小为一点时,可以得到圆锥. 2、旋转体的面积和体积公式 名称 S侧 S全 V 圆柱 2π rl 2π r(l+r) πrh
2

圆锥 π rl π r(l+r)
1 3 1 3

圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2) π h(r 1+r1r2+r 2)
2 2 2 2

球 4π R
4 3
2

πrh

2

πR

3

表中 l、 分别表示母线、 r 表示圆柱、 h 高, 圆锥与球冠的底半径, 1、 2 分别表示圆台 上、 r r 下底面半径,R 表示半径。 三、八大定理 1、线面平行的判定定理: 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行, 那么这条直线和这个平面平行。推理模式:
a ? ? , b ? ? , a // b ? a // ? .

2、线面平行的性质定理: 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条直线和交线平行。推理模式:
a // ? , a ? ? , ? ? ? ? b ? a // b .

?

a b

?

3、面面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面,那么这两个 平面平行。
? ? b // ? ? ? a ? b ? A ? ? ? // ? a ? ? ? ? b ? ? ? ? a // ?

推理模式:

4、面面平行的性质定理: (1)如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面; 推理模式:
? // ? ?
? ? a // ? a ? ??

(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。
? ? 推理模式: ? ? ? ? b ? ? a // b ? ? ? ? a? ?

? // ?

5、直线与平面垂直的判定定理: 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直 线垂直于这个平面。

2

推理模式:

? ? l ? b ? ? a ? b ? A? ? l ? ? a ?? ? ? b ?? ? ?

l ? a

6、直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。 推理模式:
a ??? ? ? a // b b ???

7、两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ? 面面垂直) 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。 推理模式:
a ?? ? ?? ? ? ? a ? ??

8、两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ? 线面垂直) 若两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面。
? ? ? ? ? ? ? ? l?
?

推理模式:

?? a ?? a ? ? ? a ? l ? ?

四、空间问题的证明方法 1、平行关系证明 (1)线线平行
? ? ? ? a ? ? b ? a // b ? a // b

(2)线面平行
? 先求面 ? 的法向量 n ? ? ? ? a ?n ? 0 ? a ? n ? a // ?

(3)面面平行
? 先求面 ? 的法向量 n ? 再求面 ? 的法向量 m ? ? ? ? m ? ? n ? m // n ? ? // ?

2、垂直关系证明 (1)线线垂直

(2)线面垂直

(3)面面垂直

3

? ? ? ? a ?b ? 0 ? a ? b ? a ? b

? 先求面 ? 的法向量 n ? ? ? ? a ? ? n ? a // n ? a ??

? 先求面 ? 的法向量 n ? 再求面 ? 的法向量 m ? ? ? ? m ?n ? 0 ? m ? n ? ? ? ?

说明:证线面垂直也可用判定定理. 五、空间向量与立体几何 .空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) 轴是纵轴(对应为纵 ,y 轴) 轴是竖轴(对应为竖坐标). ,z ①令 a =(a1,a2,a3), b
? ( b1 , b 2 , b 3 )

,则
? ( ? a 1 , ? a 2 , ? a 3 )( ? ? R )

a ? b ? ( a 1 ? b 1 ,a 2 ? b 2 ,a 3 ? b 3 )

,?a

,a ?b

?a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3



a

∥b

? a 1 ? ? b 1 ,a 2 ? ? b 2 ,a 3 ? ? b 3 (? ? R )

?

a1 b1

?

a2 b2

?

a3 b3



a ? b ? a1b1 ?a 2 b 2 ?a 3 b 3 ? 0

。 (用到常用的向量模与向量之间的转化:

a ?

a ?a ?

a

2
1

?a

2
2

?a

2
3

a

2

? a ?a ? a ?

a ?a

) (一)空间角的求解方法 1、线线成角
? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? a ?b x1 x 2 ? y 1 y 2 ? z 1 z 2 x1 ? y1 ? z 1 ?
2 2 2

x2 ? y2 ? z2

2

2

2

2、线面成角 ? (1)求面 ? 的法向量 n ; (2)求出 cos ? AB , n ? ; (3)设直线 AB 和平面 ? 所成的角 ? ,则
? sin ? ? cos ? AB , n ? ,从而求得线面成角 ? . ?

也即直线 AB 和平面 ? 所成的角等于 3、面面成角

?
2

? ? ? AB , n ?

4

(1)分别求出面 ? 和面 ? 的法向量 n 、 m ; (2)求出 cos ? n , m ? ;并得出角 ? n , m ? ; (3)设平面 ? 和平面 ? 所成的角 ? ,则 利用法向量求二面角的平面角定理:设 n 、 m 分别是二面角 ?
? ? ? ? ?
?l??

?

?

? ?

? ?

中平面 ? , ? 的法向量,
?

则 n 与 m 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 n 、m 方向相同, ( 则为补角,n 、 ? m 反方,则为其夹角).
?? ? m ?n ? ? a rc co s ?? ? | m || n | ?? ? m ?n ? ? a rc co s ?? ? | m || n |

?

二面角 ? ? l ? ? 的平面角



?? ? m ,n 为平面 ? , ? (

的法向量). (二)空间距离的求解方法 1、点到点的距离
AB ? x ? y
2 2

? z

2

2、点到面的距离 (1)求向量 AB 的坐标; (2)求面 ? 的法向量 n ; (3)求出向量 AB 在法向量 n 上的投影
? AB cos ? AB , n ?
? ?

(4)点 A 到面 ? 的距离:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射线,其中
??? ?? ? ? | AB ? n | ? d ? |n|

A??

,则点 B 到平面 ? 的距离为

.

3、求线到面的距离和面到面的距离,转化为求点到面的距离.
???? ?? ? | CD ?n | ? d ? l1 , l 2 |n|

?

4、异面直线间的距离
l1 , l 2

(

是两异面直线,其公垂向量为 n , C 、 D 分别是

上任一点, d 为

l1 , l 2

间的距离).

5


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