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【高优指导】2017高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.2 基本不等式及其应用课件 理 北师大版


7.2

基本不等式及其应用

-2-

考纲要求:1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决 简单的最大(小)值问题.

-3-

+ 如果 a,b 都是非负数,那么 2 ≥ ,当且仅当 a=b 时,等号成立. + 其中 称为 a,b 的算术平均数, 称为 a,b 的几何平均数.因此,基 2

1.基本不等式

本不等式又被称为均值不等式. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.

+ 2 (2)ab≤ 2 (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 2 + + 2 (3) 2 ≥ 2 (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. (4) + ≥2(a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号.

-4-

3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y有最小值是 2 (简记:积定和最小). 2 (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y时,xy有最大值是 4 (简记:和定积最大).

-5-

1 2 3 4 5

1.下列结论正确的打“ ”,错误的打 “×”. (1)当 a≥0,b≥ 0 时,
2

+ ≥ 2
2

. (

)

(2)两个不等式 a +b ≥ 成立的条件是相同的. ( × ) 1 (3)函数 y=x+ 的最小值是 2. ( × ) (4)函数 f(x)=cos x+ (5)a2+b2+c 2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R). (
4 ,x∈ cos

+ ≥2ab 与 2

0,

π 2

的最小值等于 4. ( × ) )

-6-

1 2 3 4 5

2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是 (

)

A.a 2+b2>2ab B.a+b≥2
1 1 C. +

>

2 D. + ≥2

关闭

∵a2+b2- 2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误;
对于 B,C,当 a<0,b<0 时 ,明显错误; 对于 D,∵ab>0,∴ + ≥2 D


· =2(当且仅当 a=b 时,等号成立).
解析

关闭

答案

-7-

1 2 3 4 5

3.若a,b均为大于1的正数,且ab=100,则lg a· lg b的最大值是( 5 A.0 B.1 C.2 D.
2

)

关闭

∵a>1,b>1,∴lg a>0,lg b> 0. ∴lg a· lg b≤
(lg +lg )2 4

=

(lg )2 4

=1.
关闭

当且仅当 a=b=10 时取等号. B
解析

答案

-8-

1 2 3 4 5

4.当x>1时,不等式 x+

1 ≥a 恒成立,则实数a的最大值为 -1

.

关闭

因为 x>1, 所以 x-1>0. 1 又 x+ =x-1+
-1

1 -1

+1≥2+1=3,

关闭

3 当且仅当 x=2 时等号成立,所以 a 的最大值为 3.
解析 答案

-9-

1 2 3 4 5

5.做一个体积为32 m3,高为2 m的长方体纸盒,若要想用纸最少,底 面的长与宽分别为 .

关闭

设底面的长和宽分别为 x m,y m,则有 xy=16, S 表面积=2xy+2(x+y)×2=32+4(x+y)≥32+8 =32+32=64(当且仅当 关闭 x=y=4 时,等号成立). 4 m,4 m 即面积的最小值是 64 m2,即长和宽都是 4 m 时用纸最少 .
解析 答案

-10-

1 2 3 4 5

自测点评 1.应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”.忽略某 个条件,就会出错. + 2 2.对于公式 a+b≥2 ,ab≤ ,要弄清它们的作用、使用 2 条件及内在联系,两个公式也体现了ab和a+b的转化关系. 3.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式. 若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致.

-11考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点1利用基本不等式求最值 1 4 例1(1)已知x>0,y>0,且x+y=1,则 + 的最小值是


.

关闭

∵x>0,y>0,x+y=1, ∴ + =(x+y)
当且仅当 =
1 4 1 4 1 4

+

4

= +




4

+5≥2
1 3 2 3



· +5=9,

关闭

4

,且 x+y=1,即 x= ,y= 时 ,等号成立 ,

∴ 9 + 的最小值是 9.
解析

答案

-12考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(2)设a,b>0,a+b=5,则 + 1 + + 3 的最大值 为 .

关闭

因为 a,b>0,a+b=5,所以(a+1)+(b+3)=9.令 x=a+1,y=b+3,则 x+y=9(x>1,y>3),于是 + 1 + + 3 = + ,而( + )2=x+y+2 ≤x+y+(x+y)=18,所以 + ≤3 2.此时 x=y,即 a+1=b+3,结合 a+b=5 可得 a=3.5,b=1.5,故当 a=3.5,b= 1.5 关闭 3 , 2 + 1 + + 3的最大值为 3 2. 时
解析 答案

-13考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(3)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为

.

关闭

由 x+3y=5xy,得 + =5(x>0,y>0),


3

1

则 3x+4y= (3x+4y)
5

1

3

+

1

=

1 5

13 +

12

+

3



1 5

13 +

2

12

·

3

= (13+12)=5,
5

1

当且仅当 解得 5

12

=

3

= 1, = .
2 1

= 2, ,即 x=2y 时 ,等号成立 ,此时由 + 3 = 5,
关闭

解析

答案

-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何应用基本不等式求最值? 解题心得:应用基本不等式求最值的常用方法有: (1)若直接满足基本不等式条件,则直接应用基本不等式. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以 通过添项、构造“1”的代换、分离常数、平方等手段使之能运用基 本不等式.常用的方法还有:拆项法、变系数法、凑因子法、分离 常数法、换元法、整体代换法等.

-15考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练 1 (1)若 log4(3a+4b)=log2 ,则 a+b 的最小值是
( ) A.6+2 3 B.7+2 3 C.6+4 3 D.7+4 3
关闭

1 1 由 log4(3a+4b)=log2 ,得 log2(3a+4b)= log2(ab),所以 2 2 3 4 3a+4b=ab,即 + =1. 3 4 3 4 所以 a+b=(a+b) + = + +7≥4 3+7,当且仅当 3 4 D = ,即 a=2 3+4,b=3+2 3时取等号.故选 D
解析

关闭

答案

-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

5 1 (2)已知 x< ,则 f(x)=4x-2+ 的最大值为 4 4-5

.

关闭

因为 x< ,所以 5-4x>0,则 f(x)=4x-2+
4

5

1

当且仅当 5-4x=
1 1. 为

1

4 -5

=- 5-4 +

1 5-4

+3≤-2+3=1.
1 4 -5

5-4

,即 x=1 时 ,等号成立.故 f(x)=4x-2+

的最大值 关闭
答案

解析

-17考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点2利用基本不等式证明不等式

例2

1 1 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,求证: + + ≥8.
关闭

证明 :∵a+b=1,

∴ + + =2 + . ∵a+b=1,a>0,b> 0, 1 1 + + ∴ + = + =2+ + ∴ + + ≥8
1 1 1

1

1

1

1

1

≥2+2=4 当且仅当 = = 时,等号成立 .
2

1

当且仅当 = = 时,等号成立 .
2

1

答案

-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:如何利用基本不等式证明不等式? 解题心得:1.利用基本不等式证明新的不等式的基本思路是:利用 基本不等式对所证明的不等式中的某些部分放大或者缩小,在含有 三个字母的不等式证明中要注意利用对称性. 2.用基本不等式证明不等式时,要充分利用基本不等式及其变形, 同时注意基本不等式成立的条件.对待证明的不等式作适当变形, 变出基本不等式的形式,然后利用基本不等式进行证明.

-19考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练2 已知a>0,b>0,a+b=1,求证: 1 +

1

1+

1

≥9.

证明 :(方法一)∵a>0,b>0,a+b=1,

∴1+ =1+
1

1

+

=2+ .
1



同理 ,1+ =2+ .



∴ 1 +
=5+2


1

1+


= 2+



2+




+
1 2 1

≥5+4=9,当且仅当 = ,
1

即 a=b= 时 ,等号成立.

∴ 1 +

1+

≥9,当且仅当 a=b= 时 ,等号成立.
2

1

-20考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

(方法二) 1 + =1+ + + =1+
+ 1 1 1

1

1+
2

1

+

1



∵a,b 为正数,a+b=1, ∴ab≤
1 + 2 2 1 2



=1+ ,


= ,当且仅当 a=b= 时 ,等号成立.
4 1 2 2 1 1 2

1

1

于是 ≥4, ≥8,当且仅当 a=b= 时 ,等号成立.


∴ 1 +

1+

≥1+8=9,

当且仅当 a=b= 时 ,等号成立 .

-21考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

考点3基本不等式的实际应用 例3某厂家拟在2016年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销 售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x=3 (k为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能是1 + 1 万件.已知2014年生产该产品的固定投入为8万元,每生产一万件该 产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品 年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金). (1)将2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数; (2)该厂家2016年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?

-22考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

解 :(1)由题意知 ,当 m=0 时 ,x=1(万件 ), ∴1=3-k?k=2, 2 ∴x=3,
+1

每件产品的销售价格为 1.5×

8+16

∴2016 年的利润 y=1.5x×
1) +29(m≥0). (2)∵m≥0 时 , 当且仅当
16 16 +1

8+16

(元 ),
16 +1

-8-16x-m=-

+ ( +

+(m+1)≥2 16=8,

∴y≤-8+29= 21,
+1

=m+1,即 m=3(万元)时 ,ymax= 21(万元 ).

故该厂家 2016 年的促销费用投入 3 万元时 ,厂家的利润最大为 21 万元 .

-23考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

思考:应用基本不等式解决实际应用问题的基本思路是什么? 解题心得:1.利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目 信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应 的函数关系式,然后用基本不等式求解. 2.在求所列函数的最值时,当用基本不等式时,若等号取不到,则 可利用函数单调性求解.

-24考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

对点训练3 某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采 关闭 用了新工艺 ,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品 解 :(1)由题意可知 ,二氧化碳每吨的平均处理成本为.已知该单 = 位每月的处理量最少为 400吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月 1 80 000 1 80 000 1 2 x+ 200 ≥ 2 · 200 = 200, 处理量 y= 2 x -200x+80 000, 2 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 2 1 80 000 且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100元. 当且仅当 x= ,即 x=400 时等号成立 , 2 (1) 该单位每月处理量为多少吨时 ,才能使每吨的平均处理成本 故该单位月处理量为 400 吨时 ,才能使每吨的平均处理成本最 最低 ? 低 ,最低成本为 200 元 . (2) 不获利 .设该单位每月获利为 S,求出最大利润 元 ,则 (2) 该单位每月能否获利 ?如果获利 ;如果不获利, 1 1 S= 100x-y=100x- 2 -200 + 80 000 =- x2+300x-80 则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损 ? 2 2
000=- (x-300) 2-35 000,因为 x∈[400,600],所以 S∈[-80 000,- 40 000]. 故该单位每月不获利 ,需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不 亏损 .
答案
2 1

-25考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或乘积 为定值,主要有两种思路:(1)对条件使用基本不等式,建立所求目标 函数的不等式求解.(2)条件变形,进行“1”的代换、添项、拆项、分 离常数、平方、换元、整体代换等手段使之能运用基本不等式. 2.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和 式”的放缩功能,常常用于比较数(式)的大小或证明不等式,解决问 题的关键是分析不等式两边的结构特点,选择好利用基本不等式的 切入点.

-26考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

3.对于均值不等式还要掌握公式的逆用和变形,例如 a2+b2≥2ab ab≤ 逆用就是
+ 2 (a,b>0).变形有 2
2

2 + ab≤ 2

+ ; 2 ≥ (a,b>0)逆用就是 2 + 2 2 + + ab≤ 2 ≤ 2 , ≤ 2 ≤

2

2 + 2

(a>0,b>0)等,同时还要注意“添”“拆”项技巧和公式等号成立

的条件等.

-27考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混

1.利用基本不等式求最值的三个条件为“一正、二定、三相等”, 忽视哪一个都可能致误. 2.连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致.



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