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5.4 两角和与差、二倍角的三角函数公式


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5.4 两角和与差、二倍角的三角函数公式 两角和与差、

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知识要点梳理
一. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、
sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β

S (简记为: α ± β )

cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β (简记为: α ± β ) C

tan α ± tan β tan(α ± β ) = (简记为: Tα ± β ) 1 m tan α ? tan β
二.二倍角的正弦、余弦和正切公式: 二倍角的正弦、余弦和正切公式: 二倍角的正弦 Sin2a =

2 sin α ? cosα

(简记为: S2α )

高考总复习·数学 高考总复习 数学 cos2a= cos 2 α ? sin 2 α = 2 cos 2 α ? 1= 1 ? 2 sin 2 α (简记为: C2α )

2 tan α tan2a= 1 ? tan 2 α

(简记为: T2α )

三.二倍角余弦公式的变式 二倍角余弦公式的变式: 二倍角余弦公式的变式

1 + cos 2α 1.降幂公式: cos α = 2
2

1 ? cos 2α sin α = 2
2

1 + cos 2α = 2 cos 2 α 2.升幂公式:

1 ? cos 2α = 2 sin 2 α

高考总复习·数学 高考总复习 数学 四.辅助角公式: 辅助角公式

a sin x + b cos x = a 2 + b 2 sin ( x + ? ) (其中 ? 角所在的象限由a, b的符号确定, ? 角的值由
b 确定) tan ? = a

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和、差、二倍角公式的运用
5 π 已知sin α = , α ∈ ( , π ) 13 2

,(1)求sin(α + 4 ), cos(α ? 6 ), tan(α + 3 )

π

π

π

的值;(2)求 sin 2α , cos 2α , tan 2α 的值。 【思路分析 思路分析】由题设,需先求出 思路分析

cos α的值,再运用和、差角、二倍角公式。
5 π 12 tan α = ? 5 【解析】由 sin α = , α ∈ ( , π ) ,可得 cos α = ? , 12 13 2 13

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(1) sin(α + ) = sin α cos + cos α sin 4 4 4 5 2 12 2 7 2 = ? ? ? =? 13 2 13 2 26

π

π

π

co s(α ? ) = co s α cos + sin α sin 6 6 6 12 3 5 1 5 ? 12 3 =? ? + ? = 13 2 13 2 26

π

π

π

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3 tan(α + ) = 3 1 ? tan α tan π 3 5 ? + 3 169 3 ? 240 12 = = 69 5 3 1+ 12
(2)
60 119 sin 2α 60 2 sin 2α = 2 sin α cos α = ? , cos 2α = 2 cos α ? 1 = , tan 2α = =? 169 169 cos 2α 119

π

tan α + tan

π

高考总复习·数学 高考总复习 数学 利用角的变换, 差角三角公式, 利用角的变换,和、差角三角公式,求 特定角的三角函数值 已知 0 < β <

π
2

< α < π ,且 0 < β <

π
2

<α <π



2 sin( ? β ) = ,求 cos( α + β ) 的值. 2 3

α

【思路分析 思路分析】(1)和、差、倍角公式及平方关系的正用、 思路分析 逆用。(2)角的变换。
β ? ?α ? ? α +β 拆角:? α ? ? ? ? ? β ? = , 解: 2? ?2 2 ? ?


π
2

< α < π,0 < β <

π
2

?

π
4

<α ?

β
2

< π,?

π
4

<

α
2

?β <

π
2

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β? β? 4 5 5 ? ? ?α ? ?α ? sin ? α ? ? = 1 ? cos 2 ? α ? ? = , cos ? ? β ? = 1 ? sin 2 ? ? β ? = 2? 2? 9 3 ? ? ?2 ? ?2 ?

? cos

α +β
2

β ? ?α ? ? = cos[? α ? ? ? ? ? β ?] 2? ?2 ? ?

β ? ?α β ? ?α ? ? ? ? 7 5 = cos ? α ? ? cos ? ? β ? + sin ? α ? ? sin ? ? β ? = 2? 2? ?2 ? ?2 ? ? ? 27

? cos (α + β ) = 2 cos

2

α +β
2

239 ?1 = ? 729

高考总复习·数学 高考总复习 数学 【点评与感悟 点评与感悟】在解答有条件限制的求值问题时,要善于发现所 点评与感悟 求的三角函数的角与已知条件的角的联系,一般方法是配角 与拆角,如 2α = (α + β ) + (α ? β )
2β = (α + β ) ? (α ? β ), + β = 2 (α + β ) ? β, α ? β = 2(α ? β ) + β 2α 2

α = (α + β ) ? β,α = (α ? β ) + β,β = (α + β ) ?α,β = ?(α ? β ) + α 等
变角主要是将所求角转化为同角、特殊角、已知角或它们的 和、差、两倍、一半等;注意角的范围对函数值的影响。

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和、差角、二倍角公式的逆用以及变形使用 差角、

计算:tan 20o + tan 40o + 3 tan 20o tan 40o. 【思路分析 思路分析】注意将公式变形来用。如将公式 思路分析 tan α + tan β tan(α + β ) = 1 ? tan α ? tan β 变形为 tan α + tan β = tan(α + β ) (1 ? tan α ? tan β )来用 解:

tan 20o + tan 40o + 3 tan 20o tan 40o
= tan600 (1--tan200 tan400 ) + 3 tan 20o tan 40o = 3

【点评与感悟 点评与感悟】不仅对公式的正用、逆用要熟悉,而且对公式 点评与感悟 的变形应用也要熟悉。

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二倍角公式的逆用、 二倍角公式的逆用、辅助角公式的 应用
(09茂名市模拟 茂名市模拟)已知函数f(x)=cos2x+sinxcosx(x∈R) 茂名市模拟 3π (Ⅰ)求f( )的值; 8 (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. 【思路分析 思路分析】本小题主要考查三角函数的倍角公式、和角公式, 思路分析 三角函数的图象与性质等基础知识;考查理解能力和运算能力.

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1 + cos 2 x 1 + sin 2 x 解: f ( x) = 2 2

2 2 2 1 = ( sin 2 x + cos 2 x) + 2 2 2 2 2 π 1 = sin(2 x + ) + 2 4 2

3π 2 1 1 (I) f ( ) = sin π + = 8 2 2 2
(II)令2kπ ?

π
2

≤ 2x +

π
4

≤ 2 kπ +

π
2

,k ∈Z

3π π ∴ 2k π ? ≤ 2 x ≤ 2 kπ + , k ∈ Z 4 4

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3π π ≤ x ≤ k π + (k ∈ Z ) 即 kπ ? 8 8
∴f(x)单调递增区间为[ kπ ?

时,f(x)单调递增. ] (k ∈ Z )

3π 3π , kπ + 8 8

【点评与感悟 点评与感悟】在(1)的解法中,运用了二倍角的正、余弦公式, 点评与感悟 还引入了辅助角,技巧性较强。值得强调的是:辅助角公式

b ? ,或 ? a sin α + b cos α = a + b sin (α + ? ) ? 其中tan? = ? a? ? a? ? 2 2 asinα +bcosα = a + b cos (α ? ? ),其中 tan ? = ? ?
2 2

?

b?

在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到, 应特别加以关注。

高考总复习·数学 高考总复习 数学 和、差角、二倍角公式、诱导公式、同 差角、二倍角公式、诱导公式、 角公式的综合运用
π? ? 1 + 2 cos ? 2 x ? ? 4? ? f ( x) = (07重庆文)已知函数 π? ? sin ? x + ? 2? ?

(Ⅰ)求 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若角a在第一象限且

3 cos α = 5

,求 f (α )

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π? ? sin ? x + ? ≠ 0 解:(Ⅰ) 由 2? ? π x ≠ kπ ? ( k ∈ Z ) 即

π 得 x ≠ ? + kπ , 2

2

π ? ? 故 f ( x) 的定义域为 ? x ∈ R | x ≠ kπ ? ,k ∈ Z ? 2 ? ?

4 ?3? (Ⅱ)由已知条件得 sin α = 1 ? cos 2 α = 1 ? ? ? = 5 ?5? π? ? 1 + 2 cos ? 2α ? ? 4? ? f (α ) = 从而 π? ? sin ? α + ? 2? ?

2

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π π? ? 1 + 2 ? cos 2α cos + sin 2α sin ? 4 4? ? = cos α

1 + cos 2α + sin 2α 2 cos 2 α + 2sin α cos α = = cos α cos α

14 = 2(cos α + sin α ) = 5

高考总复习·数学 高考总复习 数学 【点评与感悟 点评与感悟】求值、化简、证明是三角函数中最常见的题型, 点评与感悟 其解题一般思路为 “五遇六想”即:遇到切,想化弦;遇多元, 想消元;遇差异,想联系;遇高次,想降次;遇特角,想求值; 想消元,引辅角。 “五遇六想”作为解题经验的总结和概括,操 作简便,十分有效。其中蕴含了一个变换思想(找差异,抓联 系,促进转化),两种数学思想(转化思想和方程思想),三 个追求目标(化为特殊角的三角函数值,使之出现相消项或相 约项),三种变换方法(切化弦法,消元降次法,辅助元素法)。

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