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2011届高考数学知识点总结 立体几何


高中数学第九章-立体几何
考试内容 平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线.对应边分别平行的角.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面 直线的距离. 直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定与性质.点到平面的距 离.斜线在平面上的射影.直线和平面所成的角.三垂线定理及其逆定理. 平行平面的判定与性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直 的判定与性质. 多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球. 考试要求 (1)掌握平面的基本性质,会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图; 能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形,能够根据图形想像 它们的位置关系. (2)掌握两条直线平行与垂直的判定定理和性质定理,掌握两条直线所成的角和 距离的概念,对于异面直线的距离,只要求会计算已给出公垂线时的距离. (3)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;掌握直线和平面垂直的判定定 理和性质定理;掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的 距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理. (4)掌握两个平面平行的判定定理和性质定理,掌握二面角、二面角的平面角、 两个平行平面间的距离的概念,掌握两个平面垂直的判定定理和性质定理. (5)会用反证法证明简单的问题. (6)了解多面体、凸多面体的概念,了解正多面体的概念. (7)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图. (8)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质,会画正棱锥的直观图. (9)了解球的概念,掌握球的性质,掌握球的表面积、体积公式. 9(B) .直线、平面、简单几何体 考试内容: 平面及其基本性质.平面图形直观图的画法. 平行直线. 直线和平面平行的判定与性质.直线和平面垂直的判定.三垂线定理及其逆定理. 两个平面的位置关系. 空间向量及其加法、减法与数乘.空间向量的坐标表示.空间向量的数量积. 直线的方向向量.异面直线所成的角.异面直线的公垂线.异面直线的距离. 直线和平面垂直的性质. 平面的法向量. 点到平面的距离. 直线和平面所成的角. 向 量在平面内的射影. 平行平面的判定和性质.平行平面间的距离.二面角及其平面角.两个平面垂直 的判定和性质. 多面体.正多面体.棱柱.棱锥.球. 考试要求: (1)掌握平面的基本性质。会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图: 能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形.能够根据图形想像它 们的位置关系.

(2)掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理;理解直线和平面垂直的概念. 掌握直线和平面垂直的判定定理;掌握三垂线定理及其逆定理. (3)理解空间向量的概念,掌握空间向量的加法、减法和数乘. (4)了解空间向量的基本定理;理解空间向量坐标的概念.掌握空间向量的坐标运 算. (5)掌握空间向量的数量积的定义及其性质:掌握用直角坐标计算空间向量数量 积的公式;掌握空间两点间距离公式. (6)理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念. (7)掌握直线和直线、直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念.对于异面 直线的距离,只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离掌握直线和平面 垂直的性质定理掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理. (8)了解多面体、凸多面体的概念。了解正多面体的概念. (9)了解棱柱的概念,掌握棱柱的性质,会画直棱柱的直观图. (10)了解棱锥的概念,掌握正棱锥的性质。会画正棱锥的直观图. (11)了解球的概念.掌握球的性质.掌握球的表面积、体积公式. (考生可在 9(A)和 9(B)中任选其一)

立体几何知识要点 一、知识提纲 (一)空间的直线与平面 ⒈平面的基本性质 ⑴三个公理及公理三的三个推论和它们的用途. ⑵斜二 测画法. ⒉空间两条直线的位置关系:相交直线、平行直线、异面直线. ⑴公理四(平行线的传递性) .等角定理. ⑵异面直线的判定:判定定理、反证法. ⑶异面直线所成的角:定义(求法) 、范围. ⒊直线和平面平行 直线和平面的位置关系、直线和平面平行的判定与性 质. ⒋直线和平面垂直 ⑴直线和平面垂直:定义、判定定理. ⑵三垂线定理及逆定理. 5.平面和平面平行 两个平面的位置关系、两个平面平行的判定与性质. 6.平面和平面垂直 互相垂直的平面及其判定定理、性质定理. (二)直线与平面的平行和垂直的证明思路(见附图) (三)夹角与距离 7.直线和平面所成的角与二面角 ⑴平面的斜线和平面所成的角:三面角余弦公式、最小角定理、斜线和平 面所成的角、直线和平面所成的角. ⑵二面角:①定义、范围、二面角的平面角、直二面角. ②互相垂直的平面及其判定定理、性质定理. 8.距离

⑴点到平面的距离. ⑵直线到与它平行平面的距离. ⑶两个平行平面的距离:两个平行平面的公垂线、公垂线段. ⑷异面直线的距离:异面直线的公垂线及其性质、公垂线段. (四)简单多面体与球 9.棱柱与棱锥 ⑴多面体. ⑵棱柱与它的性质:棱柱、直棱柱、正棱柱、棱柱的性质. ⑶平行六面体与长方体:平行六面体、直平行六面体、长方体、正四棱柱、 正方体;平行六面体的性质、长方体的性质. ⑷棱锥与它的性质:棱锥、正棱锥、棱锥的性质、正棱锥的性质. ⑸直棱柱和正棱锥的直观图的画法. 10.多面体欧拉定理的发现 ⑴简单多面体的欧拉公式. ⑵正多面体. 11.球 ⑴球和它的性质:球体、球面、球的大圆、小圆、球面距离. ⑵球的体积公式和表面积公式. 二、常用结论、方法和公式 1.从一点 O 出发的三条射线 OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则点 A 在平面∠ BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上; 2. 已知:直二面角 M-AB-N 中,AE ? M,BF ? N,∠EAB= ? 1 ,∠ABF= ? 2 ,异 面直线 AE 与 BF 所成的角为 ? ,则 cos ? ? cos ? 1 cos ? 2 ; 3.立平斜公式:如图,AB 和平面所成的角是 ? 1 ,AC 在平面内,BC 和 AB 的射影 BA1 成 ? 2 ,设∠ABC= ? 3 ,则 cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ; 4.异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行 线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面 体、长方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角, 它的三条边分别是平面的垂线 段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面 的垂线段,垂足和斜足的连线,是产生线面角的关键; 6.二面角的求法 (1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内 作棱的垂线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; (2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定 理或逆定理作出二面角的平面角; (3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个
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半平面的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面 与棱垂直; (4)射影法:利用面积射影公式 S 射=S 原 cos ? ,其中 ? 为平面角的大小,此法 不必在图形中画出平面角; 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现 棱,然后再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 7.空间距离的求法 (1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作 出公垂线,然后再进行计算; (2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解; (3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此, 确定已知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用 等体积法列方程求解; 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底; 9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 因此有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分 别为 ? , ? , ? , 则有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =2; 10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 11.欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F-E=2; 并且棱数 E=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半; 12.柱体的体积公式:柱体(棱柱、圆柱)的体积公式是 V 柱体=Sh.其中 S 是柱体的 底面积,h 是柱体的高. 13.直棱柱的侧面积和全面积 S 直棱柱侧= c ? (c 表示底面周长, ? 表示侧棱长) S 棱柱全=S 底+S 侧 14.棱锥的体积:V 棱锥= Sh ,其中 S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高。
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15.球的体积公式 V= ? R 3 ,表面积公式 S ? 4 ? R 2 ;掌握球面上两点 A、B 间的
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距离求法: (1)计算线段 AB 的长, (2)计算球心角∠AOB 的弧度数;(3)用弧 长公式计算劣弧 AB 的长。


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