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18学年高中数学导数及其应用3.3.3导数的实际应用课件新人教B版1_11803074103_图文

第三章——

3.3.3 导数的实际应用
[学习目标]
1.能利用导数解决实际问题.

2.提高综合运用导数知识解题的能力,培养化归与转化的意识.

1 预习导学 2 课堂讲义 3 当堂检测

挑战自我,点点落实
重点难点,个个击破 当堂训练,体验成功

[知识链接]

设两正数之和为常数 c ,能否借助导数求两数之积的最大值, a+b 并由此证明不等式 ≥ ab(a,b>0)? 2
答:设一个正数为x,则另一个正数为c-x,两数之积为 f(x)=x(c-x)=cx-x2(0<x<c),f′(x)=c-2x. 令f′(x)=0,

c 即 c-2x=0,得 x= . 2

c c c2 故当 x= 时,f(x)有最大值 f( )= ,即两个正数的积不大于这 2 2 4 1 两个正数的和的平方的 . 4 ?a+b?2 a+b 若设这两个正数分别为 a, b, 则有 ≥ab(a>0, b>0), 即 4 2 ≥ ab(a,b>0),当且仅当 a=b 时等号成立.

[预习导引] 1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些 问题通常称为 优化问题 . 2.利用导数解决优化问题的实质是 求函数最值 .

3.解决优化问题的基本思路是

上述解决优化问题的过程是一个典型的 数学建模 过程.

要点一 用料最省问题
例1 有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线河岸的岸边 A 处,乙
厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸40千米的B处,乙厂到河

岸的垂足 D 与 A 相距 50 千米,两厂要在此岸边合建一个供水站 C ,
从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a 元,

问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省?



如图,由题意知,只有点 C 位于线段

AD 上某一适当位置时,才能使总费用最 省,设点 C 距点 D 为 x 千米,则 BC= BD2+CD2= x2+402, 又设总的水管费 用为 y 元 , 依 题 意有 y = 3a(50 - x ) + x2+402(0<x<50). 5ax ∴y′=-3a+ . x2+402 5a

令y′=0,解得x=30或x=-30(舍去). 在(0,50)上,y只有一个极值点,根据问题的实际意义,函数在 x=30处取得最小值,此时AC=50-x=20 (千米). ∴供水站建在A、D之间距甲厂20千米处,可使水管费用最省.

规律方法

用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解

决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象, 正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.

跟踪演练1

一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的

立方成正比.已知速度为每小时10海里时,燃料费是每小时6元,

而其他与速度无关的费用是每小时 96元, 问轮船的速度是多
少时,航行1海里所需的费用总和最小?



设速度为每小时 v 海里的燃料费是每小时 p 元,那么由题

设的比例关系得p=k· v3,其中k为比例系数,
6 它可以由 v=10,p=6 求得,即 k= 3=0.006, 10

于是有p=0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时,行1海里 所需的总费用为 q 元,那么每小时所需的总费用是 0.006v3 + 1 96(元),而航行1海里所需时间为 小时,所以,航行1海里的 v 总费用为: 1 96 3 2 q= (0.006v +96)=0.006v + . v v
96 0.012 3 q′=0.012v- 2 = 2 (v -8 000), v v

令q′=0,解得v=20.∵当v<20时,q′<0; 当v>20时,q′>0,∴当v=20时取得最小值,即速度为20海

里/时时,航行1海里所需费用总和最小.

要点二

面积、容积的最值问题

例2

如图,要设计一张矩形广告,该广告含有

大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分),

这两栏的面积之和为18 000 cm2,四周空白的宽度
为10 cm,两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm.怎样确定广告

的高与宽的尺寸(单位:cm),能使矩形广告面积最小?
解 设广告的高和宽分别为x cm,y cm, y-25 则每栏的高和宽分别为(x-20)cm, cm, 2

其中x>20,y>25.
y-25 则每栏的高和宽分别为(x-20)cm, cm, 2 y-25 两栏面积之和为 2(x-20)· =18 000, 2

18 000 由此得 y= +25. x-20 ?18 000 ? 18 000x + 25 ?= 广告的面积 S=xy=x? +25x, ? x-20 ? x-20

18 000[?x-20?-x] -360 000 ∴S′= +25= +25. 2 2 ?x-20? ?x-20?

令S′>0得x>140,令S′<0得20<x<140. ∴函数在(140,+∞)上单调递增,在(20,140)上单调递减, ∴S(x)的最小值为S(140). 当x=140时,y=175.即当x=140,y=175时,S取得最小值 24 500,故当广告的高为140 cm,宽为175 cm时,可使广告

的面积最小.

规律方法

(1) 解决面积、容积的最值问题,要正确引入变量,将

面积或容积表示为变量的函数,结合实际问题的定义域,利用导 数求解函数的最值. (2)利用导数解决生活中优化问题的一般步骤 ①找关系:分析实际问题中各量之间的关系;②列模型:列出实 际问题的数学模型;③写关系:写出实际问题中变量之间的函数

关系y=f(x);④求导:求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0;⑤
比较:比较函数在区间端点和使 f′(x)=0的点的函数值的大小,

最大(小)者为最大(小)值;⑥结论:根据比较值写出答案.

跟踪演练 2

圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底面

半径应怎样选取,才能使所用的材料最省?



如图,设圆柱的高为h,底半径为R,

则表面积S=2πRh+2πR2, 由 V=πR2h,得 h= V 2, πR V 2V 2V 2 2 则 S(R)=2πR 2+2πR = +2πR ,令 S′(R)=- 2 +4πR=0, πR R R
3 V 3 4V 3 V V V 解得 R= ,从而 h= 2= = =2 , 2π π 2π πR ?3 ?2 V? π? ? 2π?

即h=2R.因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值. 所以,当罐的高与底直径相等时,所用材料最省.

要点三 成本最省,利润最大问题
例3 甲、乙两地相距s千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速

度不得超过c千米/时,已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)

由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v千米/时的平方
成正比,比例系数为b(b>0);固定部分为a元.

(1)把全程运输成本 y(元) 表示为速度 v(千米/时)的函数,并指出 这个函数的定义域;
解 s 依题意汽车从甲地匀速行驶到乙地所用的时间为 ,全程运 v

输成本为
?a ? s 2 s ? y=a· +bv · =s? +bv? , ? v v ?v ?

∴所求函数为

?a ? ? y=s? +bv? ?,定义域(0,c] v ? ?

(2)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?
解 由 由题意 s、a、b、v 均为正数.
? a? ? y′=s?b- 2? =0 ? v? ?

得 v=

a .但 v∈(0,c]. b

①若 ②若

a ≤c,则当 v= b

a 时,全程运输成本 y 最小; b

a >c,则 v∈(0,c], b

此时y′<0,即y在(0,c]上为减函数.

所以当v=c时,y最小.
综上可知,为使全程运输成本y最小,
当 当 a ≤c 时,行驶速度 v= b a >c 时,行驶速度 v=c. b a ; b

规律方法

正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解

题的主要思路.另外需注意: ①合理选择变量,正确给出函数关系式. ②与实际问题相联系. ③必要时注意分类讨论思想的应用.


利润

收入

? 1 ? 1 2 R=q· p=q?25- q?=25q- q , 8 ? 8 ?

? 1 2? L=R-C=?25q- q ?-(100+4q) 8 ? ?

1 2 =- q +21q-100(0<q<200) 8

1 L′=- q+21 4 1 令 L′=0,即- q+21=0, 4

求得唯一的极值点q=84. 所以产量为84时,利润L最大.

1 2 3 4

1 2 3 4

解析

原油温度的瞬时变化率为f′(x)=x2-2x=(x-1)2-1

(0≤x≤5),

所以当x=1时,原油温度的瞬时变化率取得最小值-1.
答案
C

1 2 3 4

2.设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时

底面边长为( 3 A. V

)

B. 2V

3

C. 4V

3

D.2 V

3

3 2 4 3 解析 设底面边长为 x,则表面积 S= x + V(x>0). 2 x

1 2 3 4

3 3 3 ∴S′= 2 (x -4V).令 S′=0,得 x= 4V. x
则 x= 4V是函数在(0,+∞)上的一个极值点,且是 S 的最小值点. 3

答案

C

1 2 3 4

3.在边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去相等 的正方形,再把它沿虚线折起,做成一个无盖

的方底箱子,箱底边长为多少时,箱子容积最
大?最大容积是多少?

1 2 3 4

60-x 解 设箱底边长为 x cm,则箱高 h= cm, 2 2 3 60 x - x 箱子容积 V(x)=x2h= (0<x<60). 2

3 2 3 2 V′(x)=60x- x 令 V′(x)=60x- x =0, 2 2

解得x=0 (不合题意,舍去)或x=40,

1 2 3 4

因为x∈(0,40)时V′(x)>0,V(x)是增函数, x∈(40,60)时V′(x)<0,V(x)是减函数. 所以x=40时V(x)取极大值,也是最大值, 并求得V(40)=16 000. 即当底面边长为40 cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000 cm3.

1 2 3 4

1 2 3 4



100 当速度为 x 千米/时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时, x
? ? 1 3 100 3 h(x) = ? x - x+8? × = 128 000 80 1 x ? ?

设耗油量为 h(x)升, 依题意 得 1 2 800 15 x + - 280 4 x

(0<x≤120),
3 3 x - 80 x 800 h′(x)= - = (0<x≤120). 640 x2 640x2

1 2 3 4

令h′(x)=0,得x=80.
因为x∈(0,80)时,h′(x)<0,h(x)是减函数;

x∈(80,120)时,h′(x)>0,h(x)是增函数,
所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25(升). 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值,所以它是最小值. 即汽车以80千米/时匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最 少为11.25升.

内部文件,请勿外传

课堂小结
正确理解题意,建立数学模型,利用导数求解是解应用题的主要

思路与方法,需要特别注意:
(1)合理选择变量并确定变量的范围,正确给出函数表达式;

(2)与实际问题相联系;
(3)必要时注意分类讨论思想的应用;

(4)回归问题本身做答.

预习导学

挑战自我,点点落实

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3.3.3 导数的实际应用

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预习导学

挑战自我,点点落实

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3.3.3 导数的实际应用

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