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3.1.1~3.1.2数系的扩充、复数的概念和复数的几何意义


计数的需要
引入负整数

自然数(正整数与零) 整数 有理数
R Q Z N

解方程x+3=1
引入分数

解方程3 x=5
引入无理数

解方程x2=2

实数

可以发现数系的每一次扩充,解决了在原有数集中某种运算不能 实施的矛盾,且原数集中的运算规则在新数集中得到了保留。

问 题1:
一元二次方程

x ? 1 ? 0 ,有没有实数根?
2

15:26

1545年意大利有名的数学 “怪杰” 卡尔 丹第一次开始讨论负数开平方的问题,当 时这种数被他称作“诡辩量”.几乎过了 100年,法国数学家笛卡尔才给这种“虚 幻之数”取了一个名字——虚数.1777年 瑞士数学家欧拉还是说这种数只是存在于 “幻想之中”,并用i(imaginary,即虚 幻的缩写)来表示它的单位.直到1801年 ,德国数学家高斯系统地使用了i这个符 号,于是使之通行于世 。
15:26

问题解决:
为了解决负数开平方问题,数学家引

入一个新数 i ,把 i 叫做虚数单位,并且
规定:

(1) i2??1 ; (2)实数可以与i 进行四则运算,在进行四 则运算时,原有的加法与乘法的运算律仍 然成立.
15:26

问 题 2:
把实数和新引进的数i 像实数那

样进行运算,你得到什么样的数?
i与a相加记作a+I;i 与实数b 相乘记作bi ;规定0乘以i 等于0 ;bi 与实数a相加记作 a+bi
15:26

知新

复数的概念

形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数, 通常用字
母z表示. 全体复数所形成的集合叫做复数集, 一般用字母C表示. 复数的代数形式:

z ? a ? bi
15:26

(a ? R, b ? R)

实 部

虚 部

小试牛刀
说出下列复数的实部和虚部?
1 - 2 ? i, 3

3 - 9 2i.

- 3i,

2 实数 . 2

虚数
15:26

复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数?

自主学习 ? ? ? ? ? 对于复数a+bi(a,b∈R), b=0 当且仅当_____时 ,它是实数; a=0且b=0 当且仅当_____时 ,它是实数0; b≠0 当_______时 , 叫做虚数; a=0且b≠0 当_______时 , 叫做纯虚数;

15:26



题 3:

复数z=a+bi(a ∈ R、b ∈ R)能表示实数和虚数 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?
?实数(b ? 0) ? ?纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?虚数(b ? 0) ?非纯虚数(a ? 0,b ? 0) ? ?

复数z=a+bi
15:26



题 4:

你们可以用韦恩图把复数集与实数集、虚 数集、纯虚数集之间的关系表示出来吗?

虚数集 复数集C 纯虚数集
实数集R

15:26



题 5:
若复数 a + bi = c + di(a, b, c, d ? R) a,b,c,d应满足什么条件呢?

15:26

问题解决:
么我们就说这两个复数相等.即

知新

▲ 如果两个复数的实部和虚部分别相等,那

a ? bi ? c ? di
思考

( a , b, c , d ? R )

?a ? c ?? ?b ? d

a ? 0 ? 若 a ? bi ? 0(a、b ? R) ?? ?b ? 0

15:26

若4+bi=a-2i,求实数a,b的值。

例 1:完成下列表格(分类一栏填实数、虚数
或纯虚数)

2-3i
实部 虚部

0
0

2
-3

1 4 ? ? i 2 3 1 ? 2

6i
0
6 -1

i
0

2

0

4 3

分类 虚数 实数
15:26

虚数 纯虚 数

实数

实数m取什么值时,复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是 (1)实数? (2)虚数? (3)纯虚数?

例2:

解:(1)当 m ? 1 ? 0 ,即 m ? 1 时,复数z 是实数.
(2)当 m ? 1 ? 0 ,即 m

?1

时,复数z 是虚数.

?10时,复 m ?0 (3)当 m ? 1 ? 0 ,且 m ? 1 ? 0 ,即 m ?m 1? ?1? 0
数 z 是纯虚数.
15:26

实数的几何意义?
在几何 上,我们用 什么来表示 实数?

实数可以用数轴 上的点来表示.

实数 一一对应 数轴上的点 (数 ) (形 )

类比实数的几何意义,复
数的几何意义是什么呢?

回 忆

复数的一般 形式?



Z=a+bi(a, b∈R)
实部 虚部

一个复数 由什么确 定?

探究

复数的实质是什么?

任何一个复数z=a+bi,都可以由一个 有序实数对(a,b)唯一确定.由于有序实数 对(a,b)与平面直角坐标系中的点一一对 应,因此复数集与平面直角坐标系中的 点集之间可以建立一一对应.

可用下图表示出他们彼此的关系. 有序实数对(a,b)

复数z=a+bi

一一对应

直角坐标系中的点Z(a,b)

那么现在复数z=a+bi可以在平面直 角坐标系中表示出来,如图所示: y

z=a+bi
b

Z(a,b)

建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
x

o

a

x轴------实轴 y轴------虚轴

复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.

观察
实轴上的点都表示实数;虚 轴上的点都表示纯虚数,除原点

外,因为原点表示实数0.
复数z=a+bi用点Z(a,b)表示. 复平面内的点Z的坐标是(a,b),而 不是(a, bi),即复平面内的纵坐标

轴上的单位长度是1,而不是i.

练一练
?复平面内的原点(0,0)表示( 实数0); ?实轴上的点(2,0)表示(实数2); ?虚轴上的点(0,-1)表示( 纯虚数-i ); ?点(-2,3)表示( 复数-2+3i).

依照这种表示方法,每一个 复数,有复平面内唯一的一个点 和它对应;反过来,复平面内的 每一个点,有唯一的一个复数和 它对应.

由此可知,复数集C和复平面内所 有的点所成的集合是一一对应的. 复数的几何意义之一是: 记住!

复数 z=a+bi

一一对应

复平面内 的点Z(a,b)

在平面直角坐标系中,每一个 平面向量都可以用一个有序实数对 来表示,而有序实数对与复数是一 一对应的.这样,我们还可以用平面 向量来表示复数.

可用下图表示出他们彼此的关系. 直角坐标系中 复数z=a+bi 一一对应 的点Z(a,b) z=a+bi Z(a,b)
y b

???? 平面向量 OZ

a

o

x

由此可知,复数集C和复平面内 的向量所成的集合也是一一对应的.
复数的另一几何意义之一是:

???? 一一对应 平面向量OZ 复数z=a+bi

注意
???? 成点Z或说成向量 OZ 且规定相等的向量 表示同一个复数.
为了方便起见,我们常把复数z=a+bi说

???? 向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模,记作
|z|或|a+bi|.如果b=0,那么z=a+bi是一个实数a, 它的模等于|a|(就是a的绝对值).由模的定义可

知: |z|= |a+bi|=r=

a +b ? 0, r ∈ R ).
2 2(r

同学们还应明确:
任何一个复数z=a+bi与复平面内的一点 Z(a,b)对应,复平面内任意一点Z(a,b)又可 对应.这些对应都是一一对应,即

???? 以与以原点为起点,点Z(a,b)为终点的量 OZ
z=a+bi

Z(a,b)

一一对应 ????

OZ

例3 求下列复数的模:
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考: (1)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个? (2)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个?这些复 数对应的点在复平面上构成怎样的图形 ?

课堂小结
1.复数的实质是一对有序实数对; 2.用平面直角坐标系表示复平面,其 中x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴; 3.实轴上的点都表示实数;除了原点外, 虚轴上的点都表示纯虚数; 4.复数z=a+bi用点Z(a,b)表示.复平面 内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a, bi);

5.复数的两个几何意义: 复数z=a+bi
一一对应

复平面内的点Z(a,b)

???? 复数z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ
6.复平面内任意一点 Z(a,b)可以 与以原点为起点,点 Z(a,b) 为终 ???? 点的向量 OZ 对应; 7.复数的模通过向量的模来定义;



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