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福建省福州八中2013-2014学年高一数学上学期期末考试试题新人教A版


福建省福州八中 2013-2014 学年高一数学上学期期末考试试题新人 教A版

本次考试不可使用计算器 参考公式: 锥体体积公式 1 V ? Sh 3 其中 S 为底面面积,h 为高 柱体体积公式 V=Sh 其中 S 为底面面积,h 为高 圆台的表面积公式 球的表面积、体积公式 4 S ? 4? R 2 ,V ? ? R3 3 其中 R 为球的半径 台体体积公式

S ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )
2 2

其中台体的上、下底面面积分 别为 S′、S,高为 h

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

第Ⅰ卷(共 18 题,100 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的,请将所选答案写在答题卷上) 1. 在平面直角坐标系中,已知 A(1, ?2) , B(3, 0) ,那么线段 AB 中点的坐标为 A. (2, ?1)
2 2

B. (2, 1)

C. (4, ? 2)

D. (?1, 2) D. (2, 0), 2

2. 圆 x ? y ? 4 x ? 0 的圆心坐标和半径分别为 A. (0, 2), 2 B. (2, 0), 4 C. (?2,0), 2 3. 下列四个命题中错误的 是 ... A.若直线 a 、 b 互相平行,则直线 a 、 b 确定一个平面 B.若四点不共面,则这四点中任意三点都不共线 C.若两条直线没有公共点,则这两条直线是异面直线 D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面 4. 关于空间两条直线 a 、 b 和平面 ? ,下列命题正确的是 A.若 a // b , b ? ? ,则 a // ? C.若 a // ? , b // ? ,则 a // b

B.若 a // ? , b ? ? ,则 a // b D.若 a ? ? , b ? ? ,则 a // b 为 4

5. 已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底边长为 8、 高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高 的等腰三角形.则该几何体的体积为 A.48 B.64 C.96 D.192 6. 如 图 , 一 个 封 闭 的 立 方 体 , 它 的 六 个 表 面 各 标 有 A,B,C,D,E,F 这六个字母之一,现放置成如图的三种不同的位置,则字母 A,B,C 对面的字母 分别为 A. B. D ,E ,F F ,D ,E

D C A C

B E

B A C

1

C. D.

E, F ,D E, D, F

7. 圆: x 2 ? y 2 ? 4x ? 6 y ? 0 和圆: x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂直 平分线的方程是 A. x+y+3=0 B. 2x-y-5=0 C. 3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 8.两直线 3x ? y ? 3 ? 0 与 6 x ? my ? 1 ? 0 平行,则它们之间的距离为

A. 4

B.

2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 10 20

9. 已知在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AC,BD 的中点,若

AB ? 2, CD ? 4, EF ? AB ,则 EF 与 CD 所成的角的度数为
A. 90 ° B. 45 °

C. 60 ° D. 30 ° 10. 已知圆 C 与直线 x ? y ? 0及x ? y ? 4 ? 0 都相切,圆 心在直线 x ? y ? 0 上,则圆 C 的方程为 A. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 C. ( x ?1)2 ? ( y ? 1)2 ? 8 B. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D. ( x ? 1)2 ? ( y ?1)2 ? 8

二、填空题(本题共4小题,每题4分,共16分,请将所选答案写在答题卷上) 11. 已知直线 a 和两个不同的平面 ? 、 ? ,且 a ? ? , a ? ? ,则 ? 、 ? 的位置关系 是_____. 12. 已知定点 A(0,1),点 B 在直线 x+y=0 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 的坐标是 ___________________. 13. 圆 x ? y ? 4 x ? 4 y ? 10 ? 0 上的点到直线 x ? y ? 14 ? 0 的最大距离与最小距离的 差是 14. 已知三棱锥 V-ABC 四个顶点在同一个球面上, ?BAC ? 90 , AB ? AC ? 2 ,若球 心到平面 ABC 距离为 1,则该球体积为______________. 三、解答题(共 4 题,共 34 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 请将所选 答案写在答题卷上) 15. (8 分) 已知直线 l 经过两点 (2,1) , (6,3) . (1)求直线 l 的方程; (2)圆 C 的圆心在直线 l 上,并且与 x 轴相切于 (2, 0) 点,求圆 C 的方程. 16. (9 分) P
2 2

E A B

F C

2

D

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, AP=AB,BP=BC=2,E,F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明:EF∥平面 PAD;(Ⅱ)求四棱锥 E-ABCD 的体积 V; (Ⅲ)求二面角 E-AD-C 的大小. 17. (9 分) 已知半径为 5 的圆的圆心在 x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切. (Ⅰ)求圆的方程; (Ⅱ)设直线 ax ? y ? 5 ? 0 (a ? 0) 与圆相交于 A, B 两点,求实数 a 的取值范围; 18. (8 分)

某商店经营的消费品进价每件 14 元,月销售量 Q (百件)与销售价格 p (元)的关系 如下图,每月各种开支 2000 元. (1)写出月销售量 Q (百件)与销售价格 p (元)的函数关系; (2)写出月利润 y (元)与销售价格 p (元)的函数关系; (3)当商品价格每件为多少元时,月利润最大?并求出最大值. 第Ⅱ卷(共 7 题,50 分) 四、选择题和填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 19. 集合 A={(x,y)|x +y =4} ,B={(x,y)|(x-3) +(y-4) =r } ,其中 r>0,若 A∩B 中有且仅有一个元素,则 r 的值是______________. 20. 已知点 A(x,5)关于点(1,y)的对称点(-2,-3) ,则点 P(x,y)到原点的距 离是 。 21. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 的 六 个 顶 点 都 在 球 O 的 球 面 上 , 若
2 2 2 2 2

AB ? 3,AC ? 4 , AB ? AC , AA1 ? 12 ,则球 O 的半径为.
A.

3 17 2

B. 2 10

C.

13 2

D. 3 10
D1 A1 B1 C1

22. 如图,正四棱柱 ABCD–A1B1C1D1 中,AB=3,BB1=4.长为 1 的线段 PQ 在棱 AA1 上移动,长为 3 的线段 MN 在棱 CC1 上移动,

·N
3

·R
P· Q· D

·M
C

在点 R 棱 BB1 上移动,则四棱锥 R–PQMN 的体积是 A.6 B.10 C.12 D.不确定 23. 要在边长为 16 米的正方形草坪上安装喷水龙头, 使整个草坪都能喷洒到水.假设每 个喷水龙头的喷洒范围都是半径为 6 米的圆面,则需安装这种喷水龙头的个数最少是 A.3 B.4 C.5 D.6 五、解答题(共 2 题,共 25 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 24. (13 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,

ABCD 是 正 方 形 , PD ? 平 面 A B C D ,
PD ? AB ? 2 , E, F , G 分别是 PC , PD, BC 的中

P

F 点. (1)求证:平面 PAB // 平面 EFG ; (2)在线段 PB 上确定一点 Q ,使 PC ? 平面 D

E

C G

ADQ ,并给出证明;

A

B

(3)证明平面 EFG ? 平面 PAD ,并求出 D 到平面 EFG 的距离. 25. (12 分)已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 和定点 A ? 2,1? ,由圆 O 外一点 P ? a, b? 向圆 O 引 切线 PQ ,切点为 Q ,且满足 PQ ? PA . (1)求实数 a、 b 间满足的等量关系; (2)求线段 PQ 长的最小值; (3)若以 P 为圆心所作的圆 P 与圆 0 有公共点, 试求半径取最小值时圆 P 的方程.

y
2
A

O

2

x
P

Q

福州八中 2013—2014 学年第一学期期末考试 高一数学 必修 2 试卷参考答案及评分标准 第Ⅰ卷(共 18 题,100 分) ]

4

三、解答题; 15. 解: (1)由已知,直线 l 的斜率 k 所以,直线 l 的方程为 x ? 2 y ? 0 .

?

3 ?1 1 ? , 6?2 2

------------2 分

------------3 分

(2)因为圆 C 的圆心在直线 l 上,可设圆心坐标为 (2a, a) , 因为圆 C 与 x 轴相切于 (2, 0) 点, 所以圆心在直线 x ? 2 上, 所以 a ? 1 , ------------6 分 所以圆心坐标为 (2, 1) ,半径为 1, 所以,圆 C 的方程为 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 . ------------8 分 16. 解:(Ⅰ)∵E,F 分别是 PB,PC 的中点 ∴EF∥BC ……………………1 分 ∵BC∥AD ∴EF∥AD ……………………2 分 ∵AD ? 平面 PAD,EF ? 平面 PAD ∴EF∥平面 PAD ……………………3 分 (Ⅱ)(法 1)∵AP=AB,BP=2,AP⊥平面 ABCD ∴AB=AP= 2 ……………………4 分 ∵S 矩形 ABCD=AB·BC=2 2 ∴VP-ABCD= S 矩形 ABCD·PA= ∴V=

P

1 3

4 3

…………5 分

E A G B

F D C

1 2 VP-ABCD= 2 3

……………………6 分

(Ⅱ)(法 2)连接 EA,EC,ED,过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G 则 EG⊥平面 ABCD,且 EG=

∵AP=AB, ? PAB=90°,BP=2 ∴AP=AB= 2 ,EG= ∵S 矩形 ABCD=AB·BC =2 2

1 PA ………4 分 2
………5 分

2 2

5

∴V=

1 S 矩形 ABCD·EG 3

=

2 3

…………………6 分

(Ⅲ)∵PA⊥平面 ABCD ∴AD⊥PA ∵ABCD 是矩形 ∴AD⊥AB ∵AP∩AB=A ∴AD⊥平面 ABP ∵AE ? 平面 ABP ∴AD⊥AE ∴∠BAE 为所求二面角的平面角……8 分 ∵△ABP 是等腰直角三角形,E 是 PB 中点 ∴所求二面角为 45° ………………9 分 17. 解: (Ⅰ)设圆心为 M (m, 0) ( m ? Z ) .由于圆与直线 4 x ? 3 y ? 29 ? 0 相切,且半

径为 5 ,所以

4m ? 29 ? 5 ,即 4m ? 29 ? 25 .因为 m 为整数,故 m ? 1 . 5
2 2

故所求圆的方程为 ( x ? 1) ? y ? 25 . …………………………………4 分 (Ⅱ)把直线 ax ? y ? 5 ? 0 即 y ? ax ? 5 .代入圆的方程,消去 y 整理,得

(a 2 ? 1) x 2 ? 2(5a ? 1) x ? 1 ? 0 .
由于直线 ax ? y ? 5 ? 0 交圆于 A, B 两点,故 ? ? 4(5a ? 1) ? 4(a ? 1) ? 0 .
2 2

即 12a 2 ? 5a ? 0 ,由于 a ? 0 ,解得 a ? 所以实数 a 的取值范围是 (

5 . 12

5 , ? ?) .…………………………………………9 分 12

6

第Ⅱ卷(共 7 题,50 分) 19. 3 或 7. 20.

17

21. C

22. A

23 .B 为正方形,AB // CD ,

B C D 24. (1) 所以 EF // CD , 又A E , F 分别是线段 PC, PD 的中点,
所以 EF // AB , 又 EF ? 平面 PAB ,所以 EF // 平面 PAB . 因为 E , G 分别是线段 PC , BC 的中点,所以 EG // PB , 又 EG ? 平面 PAB ,所以, EG // 平面 PAB . 所以平面 EFG // 平面 PAB . -------------4 分

P E Q D H A B G C

F O

(2) Q 为线段 PB 中点时, PC ? 平面 ADQ . 取 PB 中点 Q ,连接 DE , EQ, AQ , 由于 EQ // BC // AD ,所以 ADEQ 为平面四边形, 由 PD ? 平面 ABCD ,得 AD ? PD , 又 AD ? CD , PD 所以 AD ? PC , 又三角形 PDC 为等腰直角三角形, E 为斜边中点,所以 DE ? PC ,

CD ? D ,所以 AD ? 平面 PDC ,

AD ? DE ? D ,所以 PC ? 平面 ADQ .

------------8 分

(3)因为 CD ? AD , CD ? PD , AD ? PD ? D ,所以 CD ? 平面 PAD , 又 EF // CD ,所以 EF ? 平面 PAD ,所以平面 EFG ? 平面 PAD . 取 AD 中点 H ,连接 FH , GH ,则 HG // CD // EF ,平面 EFGH 即为平面 EFG , 在平面 PAD 内,作 DO ? FH ,垂足为 O ,则 DO ? 平面 EFGH ,

DO 即为 D 到平面 EFG 的距离,

7

在三角形 PAD 中, H , F 为 AD, PD 中点, DO ? FD sin 45 ?

2 . 2

即 D 到平面 EFG 的距离为 25. 连接 OP ,

2 . 2

-------------13 分
2 2 2

Q 为切点, PQ ? OQ ,由勾股定理有 PQ ? OP ? OQ .

6? 4 ? b ? ?2a ? 3 . PQ ? a 2 ? b 2 ? 1 ? 5a 2 ? 12a ? 8 ? 5 ? a ? ? ? .---------6 分 5? 5 ?
故当 a ?

2

6 2 2 5 .即线段 PQ 长的最小值为 5 .---------8 分 时, PQ min ? 5 5 5

8



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