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湖北省宜昌一中2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)


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湖北省宜昌一中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题(每题 5 分,计 50 分) 2 1. (5 分)抛物线 x =8y 的准线方程是() A. x= B. y=2 C. y= D. y=﹣2

2. (5 分)已知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则() A. ?p:? x∈R,sinx≥1 B. ?p:? x∈R,sinx≥1 C. ?p:? x∈R,sinx>1 D. ?p:? x∈R,sinx>1

3. (5 分)下表是 x 与 y 之间的一组数据,则 y 关于 x 的线性回归方程 x y 0 1 1 3 2 5 3 7 B. (1.5,2) C. (1,2)

x+ 必过点()

A. (2,2)

D. (1.5,4)

4. (5 分)如图的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数, 那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的()

A. c>x

B. x>a
2 2

C. c>b

D. b>c

5. (5 分)“mn<0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2

6. (5 分)在区域

内任意取一点 P(x,y) ,则 x +y <1 的概率是()

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. 0 B. C. D.

7. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足关系式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx, 则 f′(2)的值等于() A. 2 B. ﹣2 C. D.

2

8. (5 分)函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的简图如图,它与 x 轴的交点是(1,0)和(3, 0) ,则函数的极小值点为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 不存在

9. (5 分 )已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,

B 两点,连接了 AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为() A. B. C. D.

10. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个 极值点 x 1,x2,若 f(x1)=x1<x2,则关于 2 x 的方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的不同实根个数为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

3

2

二、填空题(每题 5 分,计 35 分) 11. (5 分)为了检验某种产品的质量,决定利用随机数表法从 300 件产品中抽取 5 件检查, 300 件产品编号为 000,001,002,?,299,下图为随机数表的第 7 行和第 8 行,若选择随 机数表第 7 行第 5 列作为起始数字, 并向右读数, 依次得到的 5 个样本号码中的第二个号码 为. 第 7 行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 第 8 行 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79. 12. (5 分)命题“若 x,y 都是正数,则 x+y 为正数”的否命题是. 13. (5 分)把“十进制”数 123(10)转化为“二进制”数为.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 14. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 n 是 5,那么输出 p 是.

15. (5 分)y= x+cosx 的单调递减区间为.

16. (5 分)已知函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则实数 a 的取值范围是. 17. (5 分)有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个车道) ,每个车道宽 为 3m,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成,如图所示,为保证安全,要求行驶车 辆顶部(设车辆顶部为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为 0.25m,靠近中轴线 的车道为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的限制高度为. (精确 到 0.1m)

三、解答题 18. (12 分)求满足下列条件的曲线的标准方程: (1)椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,

B 两点,且△ABF2 的周长为 16; (2)焦点在 x 轴上,焦距为 10 且点(2,1)在其渐近线上的双曲线方程. 19. (12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况, 从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进 行统计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分组作出频率分布 直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[90,100]的数据) .

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(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到 市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的 2 名同学来自不同组的概率. 20. (12 分)已知命题 P:“对任意 x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,x +(a ﹣1)x+1<0”若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 21. (14 分)已知圆 M: (x+1) +y =16,定点 N(1,0) ,P 是圆 M 上任意一点,线段 PN 的垂 直平分线 l 交 PM 于点 Q,点 Q 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.
2 2 2 2

22. (15 分)已知函数

,其中 a 是实数.设 A(x1,f(x1) ) ,B

(x2,f(x2) )为该函数图象上的两点,且 x1<x2. (Ⅰ)指出函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,证明:x2﹣x1≥1; (Ⅲ)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

湖北省宜昌一中 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每题 5 分,计 50 分) 2 1. (5 分)抛物线 x =8y 的准线方程是() A. x= B. y=2 C. y= D. y=﹣2

考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 由 x =2py(p>0)的准线方程为 y=﹣ ,则抛物线 x =8y 的准线方程即可得到.
2 2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解答: 解:由 x =2py(p>0)的准线方程为 y=﹣ , 则抛物线 x =8y 的准线方程是 y=﹣2, 故选 D. 点评: 本题考查抛物线的方程和性质,主要考查抛物线的准线方程的求法,属于基础题. 2. (5 分)已知命题 p:? x∈R,sinx≤1,则() A. ?p:? x∈R,sinx≥1 B. ?p:? x∈R,sinx≥1 C. ?p:? x∈R,sinx>1 D. ?p:? x∈R,sinx>1 考点: 命题的否定. 分析: 根据?p 是对 p 的否定,故有:? x∈R,sinx>1.从而得到答案. 解答: 解:∵?p 是对 p 的否定∴?p:? x∈R,sinx>1 故选 C. 点评: 本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题.
2 2

3. (5 分)下表是 x 与 y 之间的一组数据,则 y 关于 x 的线性回归方程 x y 0 1 1 3 2 5 3 7 B. (1.5,2) C. (1,2)

x+ 必过点()

A. (2,2)

D. (1.5,4)

考点: 回归分析的初步应用. 专题: 图表型. 分析: 要求 y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过的点,需要先求出这组数据的样本中心 点,根据所给的表格中的数据,求出横标和纵标的平均值,得到样本中心点,得到结果. 解答: 解:∵ =4, ∴本组数据的样本中心点是(1.5,4) , ∴y 与 x 的线性回归方程为 y=bx+a 必过点(1.5,4) 故选 D. 点评: 本题考查平均值的计算方法, 回归直线的性质: 回归直线方程一定过样本的中心点 ( , ) . ,

4. (5 分)如图的程序框图 ,如果输入三个实数 a,b,c,要求输出这三个数中最大的数, 那么在空白的判断框中,应该填入下面四个选项中的()

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A. c>x

B. x>a

C. c>b

D. b>c

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据流程图所示的顺序,逐框分析程序中各变量、各语句的作用,由于该题的目的 是选择最大数, 因此根据第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小, 故第二个选择框的作用应 该是比较 x 与 c 的大小,而且条件成立时,保存最大值的变量 X=C. 解答: 解:由流程图可 知: 第一个选择框作用是比较 x 与 b 的大小, 故第二个选择框的作用应该是比较 x 与 c 的大小, ∵条件成立时,保存最大值的变量 X=C 故选 A. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,是一种常见的题型,属于基础题. 5. (5 分)“mn<0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的() A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 证明题. 分析: 根据充分必要条件的定义进行判断:若 p? q,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要 条件;若 p?q,则 p 是 q 的充分必要条件. 解答: 解: (1)mn<0?m>0,n<0 或 m<0,n>0. 2 2 若 m>0,n<0,则方程 mx +ny =1 表示焦点在 x 轴上的双曲线; 2 2 若 m<0,n>0,则 方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线; 2 2 所以由 mn<0 不能推出方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,即不充分. 2 2 (2)若方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线,则 m<0,n>0,所以 mn<0,即必要. 2 2 综上,“mn<0”是“方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的双曲线”的必要不充分条件.
2 2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 故选 B. 点评: 本题考查双曲线的方程形式与充分必要条件的判断,关键在于掌握二元二次方程 2 2 mx +ny =1 表示双曲线条件.
2 2

6. (5 分)在区域 A. 0 B.

内任意取一点 P(x,y) ,则 x +y <1 的概率是() C. D.

考点: 几何概型. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 首先根据题意,做出图象,设 O(0,0) 、A(1,0) 、B(1,1) 、C(0,1) ,分析 可得区域 表示的区域为以正方形 OABC 的内部及边界,易得其面积,x +y <1 表 ,由
2 2

示圆心在原点,半径为 1 的圆,由圆的面积公式可得其在正方形 OABC 的内部的面积 几何概型的计算公式,可得答案. 解答: 解:根据题意,如图,设 O(0,0) 、A(1,0) 、B(1,1) 、C(0,1) , 分析可得区域
2 2

表示的区域为以正方形 OABC 的内部及边界,其面积为 1; = ,

x +y <1 表示圆心在原点,半径为 1 的圆,在正方形 OABC 的内部的面积为

由几何概型的计算公式 ,可得点 P(x,y)满足 x +y <1 的概率是 故选 C.

2

2

=



点评: 本题考查几何概型的计算,解题的关键是将不等式(组)转化为平面直角坐标系下 的图形的面积,进而由其公式计算. 7. (5 分)已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足关系式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx, 则 f′(2)的值等于() A. 2 B. ﹣2 C. D.
2

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考点: 专题: 分析: 解答:

导数的加法与减法法则. 导数的概念及应用. 2 对等式 f(x)=x +3xf′(2)+lnx,求导数,然后令 x=2,即可求出 f′(2)的值. 2 解:∵f(x)=x +3xf′(2)+lnx,

∴f′(x)=2x+3f′(2)+ , 令 x=2,则 f′(2)=4+3f′(2)+ , 即 2f′(2)=﹣ , ∴f′(2)=﹣ . 故选:D. 点评: 本题主要考查导数的计算,要注意 f′(2)是个常数,通过求导构造关于 f′(2) 的方程是解决本题的关键. 8. (5 分)函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的简图如图,它与 x 轴的交点是(1,0)和(3, 0) ,则函数的极小值点为()

A. 1

B. 2

C. 3

D. 不存在

考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 分析: 由导函数 y=f′(x)的简可知函数 f(x)的单调性极值情况. 解答: 解:由导函数 y=f′(x)的简可知:当 x<1 或 x>3 时,函数 f(x)单调递增; 当 1<x<3 时,函数 f(x)单调递减, ∴函数 f(x)的极小值点为 3. 故选:C. 点评: 本题考查了利用导数研究函数的极值问题、 数形结合思想方法, 考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

9. (5 分)已知椭圆 C:

=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A,

B 两点,连接了 AF,BF,若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则 C 的离心率为()

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com A. B. C. D.

考点: 椭圆的简单性质. 分析: 由已知条件, 利用余弦定理求出|AF|, 设 F′为椭圆的右焦点, 连接 BF′, AF′. 根 据对称性可得四边形 AFBF′是矩形,由此能求出离心率 e. 解答: 解:如图所示, 在△AFB 中,|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= , 由余弦定理得 2 2 2 |AF| =|AB| +|BF| ﹣2|AB||BF|cos∠ABF =100+64﹣2×10×8× =36, ∴|AF|=6,∠BFA=90°, 设 F′为椭圆的右焦点,连接 BF′,AF′. 根据对称性可得四边形 AFBF′是矩形. ∴|BF′|=6,|FF′|=10. ∴2a=8+6,2c=10,解得 a=7,c=5. ∴e= = . 故选 B.

点评: 本题考查椭圆的离心率的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意余弦定理、椭 圆的对称性等知识点的合理运用. 10. (5 分)已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2,若 f(x1)=x1<x2,则关于 2 x 的方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的不同实根个数为() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 考点: 利用导数研究函数的极值;根的存在性及根的个数判断. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 3 2 2 分析: 由函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2,可得 f′(x)=3x +2ax+b=0 有 2 2 两个不相等的实数根,必有△=4a ﹣12b>0.而方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的△1=△>
3 2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 0,可知此方程有两解且 f(x)=x1 或 x2.再分别讨论利用平移变换即可解出方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2 解得个数. 3 2 解答: 解:∵函数 f(x)=x +ax +bx+c 有两个极值点 x1,x2, 2 ∴f′(x)=3x +2ax+b=0 有两个不相等的实数根, ∴△=4a ﹣12b>0.解得 ∵x1<x2, ∴
2 2

=







而方程 3(f(x) ) +2af(x)+b=0 的△1=△>0, ∴此方程有两解且 f(x)=x1 或 x2. 不妨取 0<x1<x2,f(x1)>0. ①把 y=f( x)向下平移 x1 个单位即可得到 y=f(x)﹣x1 的图象, ∵f(x1)=x1,可知方程 f(x)=x1 有两解. ②把 y=f(x)向下平移 x2 个单位即可得到 y=f(x)﹣x2 的图象,∵f(x1)=x1,∴f(x1) ﹣x2<0,可知方程 f(x)=x2 只有一解. 综上①②可知:方程 f(x)=x1 或 f(x)=x2.只有 3 个实数解.即关于 x 的方程 3(f(x) ) 2 +2af(x)+b=0 的只有 3 不同实根. 故选:A.

点评: 本题综合考查了利用导数研究函数得单调性、 极值及方程解得个数、 平移变换等基 础知识,考查了数形结合的思想方法、推理能力、分类讨论的思想方法、计算能力、分析问 题和解决问题的能力. 二、填空题(每题 5 分,计 35 分) 11. (5 分)为了检验某种产品的质量,决定利用随机数表法从 300 件产品中抽取 5 件检查, 300 件产品编号为 000,001,002,?,299,下图为随机数表的第 7 行和第 8 行,若选择随 机数表第 7 行第 5 列作为起始数字, 并向右读数, 依次得到的 5 个样本号码中的第二个号码 为 068. 第 7 行 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 第 8 行 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79. 考点: 系统抽样方法.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 专题: 概率与统计. 分析: 随机数表法也是简单随机抽样的一种方法,采用随机数表法读数时可以从左向右, 也可以从右向左或者从上向下等等.应该注意的是,在读数中出现的相同数据只取一次,超 过编号的数据要剔除. 解答: 解:若选择随机数表第 7 行第 5 列作为起始数字, 第一个号码为 175,然后是 331,572,455,068, 则满足条件的第 2 个号码为 068. 故答案为:068. 点评: 本题主要考查简单随机抽样的应用,比较基础. 12. (5 分)命题“若 x,y 都是正数,则 x+y 为正数”的否命题是若 x,y 不都是正数,则 x+y 是非正数. 考点: 四种命题. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据四种命题之间的关系写出命题的否命题即可. 解答: 解:命题“若 x,y 都是正数,则 x+y 为正数”的否命题是: “若 x,y 不都是正数,则 x+y 是非正数”, 故答案为:若 x,y 不都是正数,则 x+y 是非正数. 点评: 本题考查了四种命题之间的关系,是一道基础题. 13. (5 分)把“十进制”数 123(10)转化为“二进制”数为 1111011(2) . 考点: 进位制. 专题: 计算题. 分析: 利用“除 k 取余法”是将十进制数除以 2,然后将商继续除以 2,直到商为 0,然 后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案. 解答: 解:123÷2=61?1 61÷2=30?1 30÷2=15?0 15÷2=7?1 7÷2=3?1 3÷2=1?1 1÷2=0?1 故 123(10)=1111011 (2) 故答案为:1111011 (2) . 点评: 本题考查的知识点是十进制与其它进制之间的转化, 其中熟练掌握“除 k 取余法” 的方法步骤是解答本题的关键,属于基础题. 14. (5 分)执行如图所示的程序框图,如果输入的 n 是 5,那么输出 p 是 120.

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考点: 伪代码. 专题: 阅读型. 分析: 通过算法,按照框图中的要求将几次的循环结果写出,得到输出的结果. 解答: 解:如果输入的 n 是 5,由循环变量 k 初值为 1,那么: 经过第一次循环得到 p=1,满足 k≤n,继续循环,k=2, 经过第二次循环得到 p=2,满足 k≤n,继续循环,k=3 经过第三次循环得到 p=6,满足 k≤n,继续循环,k=4 经过第四次循环得到 p=24,满足 k≤n,继续循环,k=5 经过第五次循环得到 p=120,满足 k≤n,继续循环,k=6 不满足 k≤n,退出循环 此时输出 p 值为 120 故答案为:120. 点评: 本题考查解决算法中的循环结构的输出结果问题时,常采用写出几次的结果找规 律. 15. (5 分)y= x+cosx 的单调递减区间为(2kπ + ,2kπ +

) ,k∈Z.

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求函数的导数,利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可. 解答: 解:函数的导数 f′(x)= ﹣sinx, 由 f′(x)= ﹣sinx<0, 得 sinx> , 解得 2kπ + <x<2kπ + ,k∈Z, ,2kπ + ) ,k∈Z ) ,k∈Z,

故函数的单调递减区间为(2kπ + 故答案为: (2kπ + ,2kπ +

点评: 本题主要考查函数单调区间的求解, 求函数的导数, 利用函数单调性和导数之间的 关系是解决本题的关键.

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16. (5 分) 已知函数 f (x) =x (lnx﹣ax) 有两个极值点, 则实数 a 的取值范围是



考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: f(x)=xlnx﹣ax (x>0) ,f′(x)=lnx+1﹣2ax.令 g(x)=lnx+1﹣2ax,由于 函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点?g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数根.g′ (x)= = .当 a≤0 时,直 接验证;当 a>0 时,利用导数研究函数 g(x)的 时,函数 g(x)取得极大值, ,解得即可.

单调性可得:当 x=

故要使 g(x)有两个不同解,只需要
2

解答: 解:f(x)=xlnx﹣ax (x>0) ,f′(x)=lnx+1﹣2ax. 令 g(x)=lnx+1﹣2ax, ∵函数 f(x)=x(lnx﹣ax)有两个极值点,则 g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数 根. g′(x)= = ,

当 a≤0 时,g′(x)>0,则函数 g(x)在区间(0,+∞)单调递增,因此 g(x)=0 在区 间(0,+∞)上不可能有两个实数根,应舍去. 当 a>0 时,令 g′(x)=0,解得 x= 令 g′(x)>0,解得 令 g′(x)<0,解得 ∴当 x= .

,此时函数 g(x)单调递增; ,此时函数 g(x )单调递减.

时,函数 g(x)取得极大值.

当 x 趋近于 0 与 x 趋近于+∞时,g(x)→﹣∞, 要使 g(x)=0 在区间(0,+∞)上有两个实数根,则 ∴实数 a 的取值范围是 故答案为: . . ,解得 .

点评: 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值, 考查了等价转化方法, 考查了推理能 力和计算能力,属于难题. 17. (5 分)有一隧道,内设双行线公路,同方向有两个车道(共有四个车道) ,每个车道宽 为 3m,此隧道的截面由一个长方形和一抛物线构成,如图所示,为保证安全,要求行驶车 辆顶部(设车辆顶部为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少为 0.25m,靠近中轴线

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 的车道为快车道,两侧的车道为慢车道,则车辆通过隧道时,慢车道的限制高度为 4.3. (精 确到 0.1m)

考点: 抛物线的应用. 专题: 应用题. 分析: 根据题意,适当建立坐标系,如:以抛物线的对称轴为 y 轴,路面为 x 轴,可确定 抛物线的顶点坐标及与 x 轴右交点坐标,设抛物线的顶点式,把右交点坐标代入,可求抛物 线解析式; 规定车辆必须在中心线右侧距道路边缘 2 米这一范围内行驶, 即此时车子的右边 横坐标为 6,代入解析式求此时的纵坐标,回答题目问题. 解答: 解:如图,以抛物线的对称轴为 y 轴,路面为 x 轴,建立坐标系, 由已知可得,抛物线顶点坐标为(0,6) ,与 x 轴的一个交点(8,0) , 2 设抛物线解析式为 y=ax +6, 把(8,0)代入解析式, 得 a=﹣ , x +6,
2

所以,抛物线解析式为 y=﹣

当 x=6 时,y≈4.3, ∴慢车道的限制高度为 4.3 米. 故答案为:4.3.

点评: 实际问题中的抛物线问题, 一般要建立直角坐标系解决, 适当建立坐标系可使抛物 线解析式形式上简单,便于利用题目的已知条件求解析式. 三、解答题 18. (12 分)求满足下列条件的曲线的标准方程: (1)椭圆 C 的中心在原点,焦点 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交 C 于 A,

B 两点,且△ABF2 的周长为 16; (2)焦点在 x 轴上,焦距为 10 且点(2,1)在其渐近线上的双曲线方程. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.

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分析: (1)由题意设椭圆方程为

(a>b>0) ,由已知得

,由此

能求出椭圆方程.

(2)由题意设双曲线方程为

,a>0,b>0,由已知得

,由此能求

出双曲线方程. 解答: (本小题满分 10 分) 解: (1)由题意设椭圆方程为 (a>b>0) ,

由已知得



解得 a=4,b=2 ∴椭圆方程为

, .?(5 分)

(2)由题意设双曲线方程为

,a>0,b>0,

由已知得



解得 ∴双曲线方程为

, .?(5 分)

点评: 本题考查椭圆方程和双曲线方程的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意圆锥 曲线的性质的合理运用. 19. (12 分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动.为了了解本次竞赛学生成绩情况, 从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容量为 n)进 行统计.按照[50,60) ,[60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]的分组作出频率分布 直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60) ,[90,100]的数据) .

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(Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x、y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学到 市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,求所抽取的 2 名同学来自不同组的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图;茎叶图;等可能事件 的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ) 根据频率分布直方图的性质求得样本容量 n 和频率分布直方图中 x、 y 的值. (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分别记为 a,b,c,d,e,分数在[90,100) 有 2 人,分别记为 F,G,用列举法求得所有的抽法有 21 种,而满足条件的抽法有 10 种, 由此求得所求事件的概率. 解答: 解析: (Ⅰ)由题意可知,样本容量 , ,

x=0.1﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.04=0.030. (Ⅱ)由题意可知,分数在[80,90)有 5 人,分别记为 a,b,c,d,e, 分数在[90,100)有 2 人,分别记为 F,G. 从竞赛成绩是 8(0 分)以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学有如下种情形: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,F) , (a,G) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,F) , (b,G) , (c,d) , (c,e) , (c,F) , (c,G) , (d,e) , (d,F) , (d,G) , (e,F) , (e,G) , (F,G) , 共有 21 个基本事件; 其中符合“抽取的 2 名同学来自不同组”的基本事件有(a,F) , (a,G) , (b,F) , (b,G) , (c,F) , (c,G) , (d,F) , (d,G) , (e,F) , (e,G) ,共 10 个, 所以抽取的 2 名同学来自不同组的概率 . (12 分)

点评: 本题主要考查等可能事件的概率,频率分布直方图的应用,属于中档题. 20. (12 分)已知命题 P:“对任意 x∈[1,2],x ﹣a≥0”,命题 q:“存在 x∈R,x +(a ﹣1)x+1<0”若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假命题,求实数 a 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据二次函数的最值,一元二次不等式解的情况和判别式△的关系即可求出 p: a≤1,q:a<﹣1,或 a>3,而根据“p 或 q”为真,“p 且 q”为假知道 p 真 q 假,或 p 假 q 真两种情况,所以求出每种情况的 a 的取值范围并求并集即可. 2 解答: 解:由命题 p 知,x 在[1,2]上的最小值为 1,∴p:a≤1;
2 2

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由命题 q 知,不等式 x +(a﹣1)x+1<0 有解,∴△=(a﹣1) ﹣4>0; ∴a>3 或 a<﹣1; 即 q:a>3,或 a<﹣1; ∴若“p 或 q”为真,“p 且 q”为假,则 p,q 一真一假; ∴ ;
2 2

∴﹣1≤a≤1,或 a>3; ∴实数 a 的取值范围为[﹣1,1]∪(3,+∞) . 点评: 考查二次函数在闭区间上的最值, 一元二次不等式解的情况和判别式△的关系, 以 及 p 或 q,p 且 q 的真假和 p,q 真假的关系. 21. (14 分)已知圆 M: (x+1) +y =16,定点 N(1,0) ,P 是圆 M 上任意一点,线段 PN 的垂 直平分线 l 交 PM 于点 Q,点 Q 的轨迹为曲线 C. (1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l:y=kx+m 与曲线 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为直径 的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)通过中垂线的性质、圆 M 的方程可得动点 Q 满足 QM+QN=4,进而可得结论; (2)联立直线 l 与椭圆方程,利用 ? =0,结合韦达定理计算即得结论.
2 2 2 2

解答: (1)解:∵圆 M 方程为: (x+1) +y =16, ∴点 M(﹣1,0) ,半径 R=4, ∵线段 PN 的中垂线与线段 PM 相交于点 Q, ∴QN=QP,∴QM+QN=QM+QP=PM, ∵点 P 是圆 M 上的动点,∴PM 长为圆 M 的半径 4, ∴动点 Q 满足 QM+QN=4, 即点 Q 的轨迹 C 是以 M、N 为焦点,2a=4 的椭圆, 2 2 2 2 ∴a =4,c=1,b =a ﹣c =3, ∴曲线 C 的方程为: ;

(2)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 易知椭圆 C 的右顶点为 D(2,0) ,

联立

,消去 y 整理得:

(3+4k )x +8mkx+4(m ﹣3)=0,且△=3+4k ﹣m , 而 AD⊥BD,即 ? =0,

2

2

2

2

2

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∴(1+k )x1x2+(mk﹣2) (x1+x2)+m +4=0, 2 2 整理得:7m +16mk+4k =0, 解得:m1=﹣2k,m2=﹣ ,且均满足 3+4k ﹣m >0,
2 2

2

2

当 m1=﹣2k 时,l 的方程为 y=k(x﹣2) ,直线过定点(2,0) ,与已知矛盾; 当 m2=﹣ 时,l 的方程为 ,直线过定点 . ;

∴直线 l 过定点,定点坐标为

点评: 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题,考查运算求解能力,考查分析问题、解决问 题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

22. (15 分)已知函数

,其中 a 是实数.设 A(x1,f(x1) ) ,B

(x2,f(x2) )为该函数图象上的两点,且 x1<x2. (Ⅰ)指出函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,证明:x2﹣x1≥1; (Ⅲ)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 压轴题;导数的综合应用. 分析: (I)根据分段函数中两段解析式,结合二次函数及对数函数的性质,即可得出函 数 f(x)的单调区间;

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (II)由导数的几何意义知,点 A 处的切线的斜率为 f′(x1) ,点 B 处的切线的斜率为 f′ (x2) , 再利用 f (x) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直时, 斜率之积等于﹣1, 得出 (2x1+2) (2x2+2)=﹣1,最后利用基本不等式即可证得 x2﹣x1≥1; (III)先根据导数的几何意义写出函数 f(x)在点 A、B 处的切线方程,再利用两直线重 合的充要条件列出关系式,从而得出 a=lnx2+( ) ﹣1,最后利用导数研究它的单
2

调性和最值,即可得出 a 的取值范围. 解答: 解: (I)函数 f(x)的单调减区间(﹣∞,﹣1) ,函数 f(x)的单调增区间[﹣1, 0) , (0,+∞) ; (II)由导数的几何意义知,点 A 处的切线的斜率为 f′(x1) ,点 B 处的切线的斜率为 f′ (x2) , 函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直时,有 f′(x1)f′(x2)=﹣1, 当 x<0 时, (2x1+2) (2x2+2)=﹣1,∵x1<x2<0,∴2x1+2<0,2x2+2>0, ∴x2﹣x1= [﹣(2x1+2)+(2x2+2)]≥ =1,

∴若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,有 x2﹣x1≥1; (III)当 x1<x2<0,或 0<x1<x2 时,f′(x1)≠f′(x2) ,故 x1<0<x2, 当 x1<0 时,函数 f(x)在点 A(x1,f(x1 ) )处的切线方程为 y﹣(x (x﹣x1) ; 当 x2>0 时,函数 f(x)在点 B(x2,f(x2) )处的切线方程为 y﹣lnx2= (x﹣x2) ; +2x1+a)=(2x1+2)

两直线重合的充要条件是



由①及 x1<0<x2 得 0< ﹣1, 令 t=

<2,由①②得 a=lnx2+(

) ﹣1=﹣ln

2

+ (



2

,则 0<t<2,且 a= t ﹣t﹣lnt,设 h(t)= t ﹣t﹣lnt, (0<t<2)

2

2

则 h′(t)= t﹣1﹣ =

,∴h(t)在(0,2)为减函数,

则 h(t)>h(2)=﹣ln2﹣1,∴a>﹣ln2﹣1, ∴若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,a 的取值范围(﹣ln2﹣1,+∞) . 点评: 本题以函数为载体,考查分段函数的解析式,考查函数的单调性,考查直线的位置 关系的处理,注意利用导数求函数的最值.



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