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东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟数学文试题(扫描版)


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东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2013 届高三第一次联合模拟 数学文试题

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2013 年三省三校第一次联合模拟考试文科数学答案
一.选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1.C 2.C 3.B 4.A 7.B 8.A 9.C 10.A 二.填空题(每小题 5 分,共 20 分) 5.C 11.D 6.D 12.B

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13. 14

14. 24 ?

3? 2

15. ? 0, ?

? ?

1? 4?

16.

1 ? 13 2

三.解答题 17.(本小题满分 12 分)
2 3 4 解: (Ⅰ)设数列 ?a n ?的公比为 q ,由条件, q 3 ,3q 2 , q 4 成等差数列,? 6q ? q ? q ??2 分

解得 q ? ?3, 或q ? 2 ??4 分 数列 ?a n ?的通项公式为??6 分 (Ⅱ)记 bn ? a n ?1 ? ?a n ,则 bn ? 2 n ? ? ? 2 n ?1 ? ( 2 ? ? )2 n ?1 若 ? ? 2, bn ? 0, S n ? 0 不符合条件; 若? ? 2 , 则 此时 S n ? ??8 分 ??7 分

bn ?1 ? 2 ,数列 ?bn ?为等比数列,首项为 2 ? ? ,公比为 2 bn

(2 ? ? ) (1 ? 2 n ) ? ( 2 ? ? )( 2 n ? 1) 1? 2

??10 分 ??12 分

? S n ? 2 n ? 1( n ? N *) ? ? ? 1

18.(本小题满分 12 分) 解: (I)空气质量为超标的数据有四个:77,79,84,88 平均数为 x ? 方差为 s 2 ?
77 ? 79 ? 84 ? 88 ? 82 4

??2 分 ??4 分

1 ? [(77 ? 82) 2 ? (79 ? 82) 2 ? (84 ? 82) 2 ? (88 ? 82) 2 ] ? 18.5 4

(II)空气质量为二级的数据有五个:47,50,53,57,68 任取两个有十种可能结果: {47,50}{47,53}{47,57}{47,68}{50,53}{50,57}{50,68} , , , , , , , {53,57}{53,68}{57,68} , , , 两个数据和小于 100 的结果有一种: {47,50} 记“两个数据和小于 100”为事件 A,则 P(A)=
1 10 1 10

即从空气质量为二级的数据中任取 2 个,这 2 个数据和小于 100 的概率为

??8 分
8 2 ? 12 3

(III)空气质量为一级或二级的数据共 8 个,所以空气质量为一级或二级的频率为
366 ?

??10 分 ??12 分

2 ? 244 ,所以,2012 年的 366 天中空气质量达到一级或二级的天数估计为 244 天. 3

19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG,

? F、G 分别是 AB、AB1 中点,? FG / / BB1 , FG ?
? E 为侧棱 CC1 的中点, ? FG∥EC,FG=EC,

1 BB1 2

所以四边形 FGEC 是平行四边形

??4 分

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? CF // EG ,? CF ? 平面 AB1E, EG ? 平面 AB1E ? CF / / 平面 AB1E.

??6 分

(Ⅱ)? 三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA1 ? 底面ABC ,? BB1 ? 面 ABC. 又? AC ? 平面 ABC, ? AC ? BB1 , , ? ∠ACB=90° ? AC ? BC , ??8 分 ??10 分 G

? BB1 ? BC ? B.
?V A? EB1C ?

? AC ? 平面 EB1C, ? AC ? CB1

1 1 1 1 S ?EB1C AC ? ? ( ? 1 ? 1) ? 1 ? 3 3 2 6
3 2

? AE ? EB1 ? 2 , AB1 ? 6 ,? S ?AB1E ?

?VC ? AB1E ? V A? EB1C ? 三棱锥 C ? AB1 E 的高为
20.(本小题满分 12 分)

3VC ? AB1E S ?AB1E

?

3 3

??12 分

解: (Ⅰ)当 m ? 1 时,E 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,
2

∵ k1k2 ? ?1 ,∴AB⊥CD 设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? 1) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? 1) ? y ? 4x
2

,得 k1 y ? 4 y ? 4k1 ? 0 , y1 ? y2 ?
2

4 , y1 y2 ? ?4 k1
??2 分

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? 1, ) ,同理,点 N (2k12 ? 1, ?2k1 ) 2 2 k1 k1

∴ S ?EMN ?

1 1 2 2 1 | EM | ? | EN |? ( 2 ) 2 ? ( ) 2 ? (2k12 ) 2 ? ( ?2k1 ) 2 ? 2 k12 ? 2 ? 2 ?4 分 2 2 k1 k1 k1

? 2 2?2 ? 4
当且仅当 k12 ?

1 ,即 k1 ? ?1 时,△EMN 的面积取最小值 4. k12

??6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1 ( x ? m) , A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 由?

? y ? k1 ( x ? m) ? y ? 4x
2

,得 k1 y ? 4 y ? 4k1m ? 0 , y1 ? y2 ?
2

4 , y1 y2 ? ?4m k1
?8 分

AB 中点 M (

x1 ? x2 y1 ? y2 2 2 2 2 , ) ,∴ M ( 2 ? m, ) ,同理,点 N ( 2 ? m, ) 2 2 k1 k1 k2 k2

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∴ k MN ?

yM ? y N kk ? 1 2 ? k1k2 xM ? xN k1 ? k2

??10 分

∴MN: y ?

2 2 ? k1k2 [ x ? ( 2 ? m)] ,即 y ? k1k2 ( x ? m) ? 2 k1 k1

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .??12 分 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)? a ? 0,? f ' ( x ) ? x ? ax 2 ? ?ax ( x ? )
? f ' ( x ) ? 0 ? x ? 0, 或x ? 1 a 1 a

1 1 ? (??,0) 上, f ' ( x ) ? 0 ; (0, ) 上 f ' ( x ) ? 0 ; ( ,?? ) 上 f ' ( x ) ? 0 a a

??2 分 ??4 分

1 1 ? f (x ) 的极小值为 f (0) ? 0 ;函数 f (x ) 的极大值为 f ( ) ? a 6a 2

(Ⅱ)? a ? e ? g ( x ) ?

1 2 1 3 x ? ex ? e x ( x ? 1) , g ' ( x ) ? x ( e x ? ex ? 1) 2 3

(ⅰ)记 h( x ) ? e x ? ex ? 1, h' ( x ) ? e x ? e ,
(??,1) 上, h' ( x ) ? 0 , h(x ) 是减函数; (1,?? ) 上, h' ( x ) ? 0 , h(x ) 是增函数, ? h( x ) ? h(1) ? 1 ? 0 ,

??6 分 ??8 分

则在 (0,??) 上, g ' ( x ) ? 0 ;在 (??,0) 上, g ' ( x ) ? 0 , 故函数 g (x ) 的单调递增区间是 (0,??) ,单调递减区间是 (??,0) (ⅱ) x ? 0 时, g ' ( x ) ? x ( e x ? ex ? 1) ? 1 ? ln x ? e x ? ex ? 1 ? 由(ⅰ)知, h( x ) ? e x ? ex ? 1 ? 1 记 ? ( x ) ? 1 ? ln x ? x ( x ? 0) ,则 ? ' ( x ) ?
1? x , x 1 ? ln x x

在区间 (0,1) 上, ? ' ( x ) ? 0 , ? (x ) 是增函数;在区间 (1,??) 上, ? ' ( x ) ? 0 , ? (x ) 是减函数,
?? ( x ) ? ? (1) ? 0 , ?1 ? ln x ? x ? 0,?

1 ? ln x ?1 x

??10 分 ??12 分

? e x ? ex ? 1 ? 1 ?

1 ? ln x ,即 g ' ( x ) ? 1 ? ln x 成立。 x

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ)圆 C1 和 C2 的的普通方程分别是 ( x ? 2) ? y ? 4 和 x ? ( y ? 1) ? 1 ,
2 2 2 2

所以圆 C1 和 C2 的的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos ? 和 ? ? 2 sin ? .

??5 分

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(Ⅱ)依题意得,点 P, Q 的极坐标分别为 ? 所以 | OP |?| 4 cos ? | , | OQ |?| 2 sin ? | . 从而 | OP | ? | OQ |?| 4sin 2? |? 4 ( ? ? 即 | OP | ? | OQ | 的最大值是 4 . 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

? ? ? 4 cos ? , ? ? ? 2 sin ? , 和? ?? ? ? , ?? ? ? .

?
4

时即可取等). ??10 分

解: (1) a ? 2 时, x ? 2 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 1,? x ? 3 或 x ? 1 ,

? 解集为 ? ??,1? ? ?3, ?? ?
(2) f ( x) ? ?

??5 分

?3x ? a,x ? a ? x ? a, x ? a

? a ? 0 ? [a,??) 上 f ( x ) ? f (a ) ? 2a ? 0 , ( ?2, a ) 上 f ( x ) ? f ( ?2) ? ?2 ? a
? 若 x ? ( ?2, ??) ,当且仅当 ?2 ? a ? 0 时

f ( x) ? 0 恒成立,

?a ? 2

??10 分



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