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东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟数学文试题(扫描版)_图文

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东北三省三校(辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中)2013 届高三第一次联合模拟

数学文试题

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2013 年三省三校第一次联合模拟考试文科数学答案

一.选择题(每小题 5 分,共 60 分)

1.C

2.C

3.B

4.A

5.C

6.D

7.B

8.A

9.C

10.A 11.D

12.B

二.填空题(每小题 5 分,共 20 分)

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13. 14

14. 24 ? 3? 2

15.

? ??

0,1 4

? ??

1 ? 13 16.
2

三.解答题 17.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)设数列?an ?的公比为 q ,由条件, q 3 ,3q 2 , q 4 成等差数列,?6q2 ? q3 ? q4 ……2 分

解得 q ? ?3,或q ? 2 ……4 分

数列?an ?的通项公式为……6 分

(Ⅱ)记 bn ? an?1 ? ?an ,则 bn ? 2n ? ? ? 2n?1 ? (2 ? ?)2n?1 ……7 分

若 ? ? 2,bn ? 0, Sn ? 0 不符合条件; ……8 分

若?

?2,

则 bn?1 bn

? 2 ,数列 ?bn ?为等比数列,首项为 2 ? ? ,公比为 2

此时 Sn

?

(2 ? ?) 1? 2

(1 ? 2n )

?

(2 ? ?)(2n

? 1)

……10 分

? Sn ? 2n ? 1(n ? N*) ? ? ? 1

……12 分

18.(本小题满分 12 分) 解:(I)空气质量为超标的数据有四个:77,79,84,88

平均数为 x ? 77 ? 79 ? 84 ? 88 ? 82 4

……2 分

方差为 s2 ? 1 ? [(77 ? 82)2 ? (79 ? 82)2 ? (84 ? 82)2 ? (88 ? 82)2 ] ? 18.5 4

……4 分

(II)空气质量为二级的数据有五个:47,50,53,57,68 任取两个有十种可能结果:{47,50},{47,53},{47,57},{47,68},{50,53},{50,57},{50,68}, {53,57},{53,68},{57,68}, 两个数据和小于 100 的结果有一种:{47,50}

记“两个数据和小于 100”为事件 A,则 P(A)= 1 10

即从空气质量为二级的数据中任取 2 个,这 2 个数据和小于 100 的概率为 1 10

……8 分

(III)空气质量为一级或二级的数据共 8 个,所以空气质量为一级或二级的频率为 8 ? 2 ……10 分 12 3

366 ? 2 ? 244 ,所以,2012 年的 366 天中空气质量达到一级或二级的天数估计为 244 天. 3

19.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)证明:取 AB1 的中点 G,联结 EG,FG,

?F、G

分别是

AB、AB1 中点,? FG

/

/ BB1, FG

?

1 2

BB1

? E 为侧棱 CC1 的中点,?FG∥EC,FG=EC,

所以四边形 FGEC 是平行四边形

……4 分

……12 分

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?CF // EG ,?CF ? 平面 AB1E, EG ? 平面 AB1E ?CF / / 平面 AB1E.
(Ⅱ)?三棱柱 ABC—A1B1C1 的侧棱 AA1 ? 底面ABC ,? BB1 ? 面 ABC.

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……6 分

又?AC ? 平面 ABC, ? AC ? BB1 , ?∠ACB=90°, ? AC ? BC ,

? BB1 ? BC ? B. ? AC ? 平面 EB1C, ? AC ? CB1

……8 分

?V A? EB1C

?

1 3

S

?EB1C

AC

?

1 ?(1 32

?1?1) ?1 ?

1 6

……10 分

G

? AE ? EB1 ?

2, AB1 ?

6,? S?AB1E ?

3 2

?VC? AB1E

? VA?EB1C ? 三棱锥 C ?

AB1E

的高为 3VC? AB1E S ?AB1E

?

3 3

20.(本小题满分 12 分)

……12 分

解:(Ⅰ)当 m ? 1时,E 为抛物线 y2 ? 4x 的焦点,

∵ k1k2 ? ?1,∴AB⊥CD

设 AB 方程为 y ? k1(x ?1) , A(x1, y1), B(x2 , y2 )



? y ? k1(x

? ?

y

2

?

4x

?1)

,得 k1 y2

?

4y

?

4k1

?

0,

y1

?

y2

?

4 k1

,

y1 y2

?

?4

AB

中点

M

( x1

? 2

x2

,

y1

? 2

y2

) ,∴

M( 2 k12

? 1,

2 ) ,同理,点 k1

N (2k12

?1, ?2k1)

……2 分

∴ S?EMN

?

1 2

| EM

|?|

EN

|?

1 2

( 2 )2 ? ( 2 )2 ?

k12

k1

(2k12 )2 ? (?2k1)2 ? 2

k12

?

1 k12

?

2

…4



?2 2?2 ?4

当且仅当 k12

?

1 k12

,即 k1

?

?1时,△EMN

的面积取最小值

4.

……6 分

(Ⅱ)证明:设 AB 方程为 y ? k1(x ? m) , A(x1, y1), B(x2 , y2 )



? y ? k1(x

? ?

y

2

?

4x

?

m)

,得 k1 y2

?

4y

?

4k1m

?

0,

y1

?

y2

?

4 k1

,

y1 y2

?

?4m

AB

中点

M

( x1

? 2

x2

,

y1

? 2

y2

) ,∴

M

(

2 k12

?

m,

2) k1

,同理,点

N

(

2 k22

?

m,

2 k2

)

…8 分

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∴ kMN

?

yM xM

? yN ? xN

?

k1k2 k1 ? k2

? k1k2

……10 分

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∴MN:

y

?

2 k1

?

k1k2

[

x

?

(

2 k12

?

m)] ,即

y

?

k1k2 (x ? m) ?

2

∴直线 MN 恒过定点 (m, 2) .……12 分

21.(本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)? a ? 0,? f ' (x) ? x ? ax 2 ? ?ax(x ? 1 ) a

? f ' (x) ? 0 ? x ? 0,或x ? 1 a

?(??,0) 上, f ' (x) ? 0 ; (0, 1 ) 上 f ' (x) ? 0 ; ( 1 ,??) 上 f ' (x) ? 0

a

a

?

f

(x)

的极小值为

f

(0)

?

0 ;函数

f

(x)

的极大值为

f

(1) a

?

1 6a 2

(Ⅱ)? a ? e ? g(x) ? 1 x 2 ? 1 ex 3 ? e x (x ? 1) , g' (x) ? x(e x ? ex ? 1) 23

……2 分 ……4 分

(ⅰ)记 h(x) ? e x ? ex ? 1, h' (x) ? e x ? e ,

(??,1) 上, h' (x) ? 0 , h(x) 是减函数; (1,??) 上, h'(x) ? 0 , h(x) 是增函数,

?h(x) ? h(1) ? 1 ? 0 ,

……6 分

则在 (0,??) 上, g' (x) ? 0 ;在 (??,0) 上, g' (x) ? 0 ,

故函数 g(x) 的单调递增区间是 (0,??) ,单调递减区间是 (??,0)

……8 分

(ⅱ) x ? 0 时, g' (x) ? x(e x ? ex ? 1) ? 1 ? ln x ? e x ? ex ? 1 ? 1 ? ln x x

由(ⅰ)知, h(x) ? e x ? ex ? 1 ? 1

记 ?(x) ? 1 ? ln x ? x(x ? 0) ,则? ' (x) ? 1 ? x , x
在区间 (0,1) 上,?' (x) ? 0 ,?(x) 是增函数;在区间 (1,??) 上,?' (x) ? 0 ,?(x) 是减函数,

??(x) ? ?(1) ? 0 ,?1 ? ln x ? x ? 0,? 1 ? ln x ? 1 x

……10 分

? e x ? ex ? 1 ? 1 ? 1 ? ln x ,即 g' (x) ? 1 ? ln x 成立。 x

……12 分

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
解:(Ⅰ)圆 C1 和 C2 的的普通方程分别是 (x ? 2)2 ? y2 ? 4 和 x2 ? ( y ?1)2 ? 1,

所以圆 C1 和 C2 的的极坐标方程分别是 ? ? 4 cos? 和 ? ? 2 sin? .

……5 分

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(Ⅱ)依题意得,点

P,

Q

的极坐标分别为

?? ???

? 4 cos ??,

?

,



?? ???

? 2sin ? ?.

?

,

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所以| OP |?| 4 cos? |,| OQ |?| 2sin ? | . 从而| OP | ? | OQ |?| 4sin 2? |? 4 (? ? ? 时即可取等).
4 即| OP | ? | OQ | 的最大值是 4 .
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲
解:(1) a ? 2 时, x ? 2 ? 2x ? 2x ?1? x ? 2 ? 1,? x ? 3 或 x ? 1,

……10 分

?解集为 ???,1? ?3, ??? ……5 分

(2)

f

(

x)

?

?3x ? a,x

? ?

x

?

a,

x

?

? a

a

a ? 0? [a,??) 上 f (x) ? f (a) ? 2a ? 0 , (?2, a) 上 f (x) ? f (?2) ? ?2 ? a

?若 x ? (?2, ??) ,当且仅当 ?2 ? a ? 0 时 f (x) ? 0 恒成立,

?a ? 2

……10 分



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