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【创新设计】2016届 数学一轮课件(文科)北师大版 第五章 平面向量 第4讲 平面向量的应用


第4讲
? 夯基释疑

平面向量的应用

考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结

例1 例2 例3

训练1

训练2
训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) → → (1)若AB∥AC,则 A,B,C 三点共线.( ) (2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都 可以用向量解决.( ) (3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间 的转化的主要手段是向量的坐标运算.( ) → → (4)在△ABC 中,若AB·BC<0,则△ABC 为钝角三角 形.( )

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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
(1)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°, → → E 为 CD 的中点.若AC·BE=1,则 AB 的长为________.
→ → → 解析 (1)由题意可知, AC=AB+AD, 1→ → → BE=- AB+AD. 2 → → 因为AC· BE=1, 1→ →? → → ? ?- AB+AD?=1, 所以(AB+AD)· ? 2 ? →2 1→ → 1→2 即AD + AB· AD- AB =1.① 2 2 → → → 1→ 因为|AD|=1,∠BAD=60° ,所以AB· AD= |AB|, 2 1→ 1→2 因此①式可化为 1+ |AB|- |AB| =1, 4 2 1 1 → 解得|AB|=0(舍去)或 , 所以 AB 的长为 . 2 2
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例1

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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
例 1 (2)(2014· 天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD =120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若 → → AE·AF=1,则 λ 的值为________.

解析(2) 法 一 如 图 , → → → → 1→ AE=AB+BE=AB+ BC, 3 → → → → 1→ → 1→ AF=AD+DF=AD+λ DC=BC+ λAB, 1→? ?→ 1→? → → → ? ?BC+ AB? 所以AE· AF=?AB+3BC?· λ ? ? ? ? ? 1 ?→ → 1→2 1→2 =?1+3λ?AB· BC+ AB + BC λ 3 ? ? ? 1? 4 4 ? ? = 1+3λ × 2× 2× cos120° + + =1, 解得 λ=2. λ 3 ? ?
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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
例 1 (2)(2014· 天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD =120°,点 E,F 分别在边 BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若 → → AE·AF=1,则 λ 的值为________.

解析(2) 法二 如图建立平面直角坐标系. 由题意知:
A(0,1),C(0,-1),B(- 3,0),D( 3,0).

由 BC=3BE,DC=λDF, 可求点 E,F 的坐标分别为 ? ? 1? 1? 2 3 1 E(- ,- ),F? 3?1-λ ?,-λ ?, 3 3 ? ? ? ? ? ? 1? 4? 1? 1? 1 2 3 4? ? ? → → ? =-2?1-λ ?+ ?1+λ ?=1, ? 3?1- ?,- -1? ∴AE· AF=?- ,- ?· ? ? 3? ? λ? λ 3 3? ? ? ? ? 1 解得 λ=2. 答案 (1) (2)2 2
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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用

规律方法
平面向量解决平面几何问题时,在便于建立直角坐标系的 情况下建立平面直角坐标系, 可以使向量的运算更简便一些. 在 解决这类问题时,共线向量定理和平面向量基本定理起主导作 用.

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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
【训练 1】(1)已知 O 是平面上的一定点,A,B,C 是平面上不共 → → → → 线的三个动点, 若动点 P 满足OP=OA+λ(AB+AC), λ∈(0, +∞), 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的______心.
解析(1) → → → → 由原等式,得OP-OA=λ(AB+AC), → → → 即AP=λ(AB+AC),
根据平行四边形法则, → → 知AB+AC是△ABC 的中线
→ AD(D 为 BC 的中点)所对应向量AD的 2 倍,

D

所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心.
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考点突破 考点一 平面向量在平面几何中的应用
【训练 1】(2)(2014· 杭州质检)在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD → → =60° ,E 是 BC 的中点,则AC· AE=________.

解析(2) 建立如图平面直角坐标系,

? A?- ? ? ? 3 ? ? 1? 3 ,0?,C? ,0?,B?0,-2?. 2 ? ? ? ? 2 ?

∴E

? 点坐标为? ?

3 1? ,- ?, 4 4?

3 3 1? → → ? ∴AC=( 3,0),AE=? ,- ?, 4 4? ? 3 3 1 9 → → ∴AC· AE= 3× +0× (- )= . 4 4 4 9 答案 (1)重 (2) 4
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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
【例题 2】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ? ? A A? A A? 已知向量 m=?sin 2 ,cos 2 ?,n=?cos 2 ,-cos 2 ?,且 2m· n+|m| ? ? ? ? 2 → → = ,AB· AC=1. (1)求角 A 的大小;(2)求△ABC 的面积 S. 2 A A 2A 解析 (1)因为 2m· n=2sin cos -2cos 2 2 2 π =sin A-(cos A+1)= 2sin(A- )-1, 4 ? π? 2 ? ? 又|m|=1,所以 2m· n+|m|= 2sin A-4 = , 2 ? ? π 1 即 sin(A- )= . 因为 0<A<π, 4 2 π π 3π π π 5π 所以- <A- < , 所以 A- = ,即 A= . 4 4 4 4 6 12
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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
【例题 2】在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c, ? ? A A? A A? 已知向量 m=?sin 2 ,cos 2 ?,n=?cos 2 ,-cos 2 ?,且 2m· n+|m| ? ? ? ? 2 → → = ,AB· AC=1. (1)求角 A 的大小;(2)求△ABC 的面积 S. 2 ?π π? 5π 解析 (2)cosA=cos =cos? + ? 12 ?6 4 ? 6- 2 π π π π =cos cos -sin sin = , 6 4 6 4 4 → → 因为AB· AC=bccosA=1,所以 bc= 6+ 2.
?π π? 6+ 2 5π 又 sinA=sin =sin?6+4 ?= , 12 4 ? ? 1 6+ 2 2+ 3 1 所以△ABC 的面积 S= bcsinA = ( 6+ 2)× = . 2 2 4 2
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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用

规律方法
(1)解决平面向量与三角函数交汇问题,关键是准确利用向 量的坐标运算化简已知条件, 将其转化为三角函数中的有关问题 解决. (2)熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、 几何意义、 向量模、 夹角的坐标运算公式外,还应掌握三角恒等变换、正、余弦定理 等知识.

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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
训练 2 已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), 0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

(1)证明

由题意得|a-b|2=2,
即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2.
又因为 a2=b2=|a|2=|b|2=1,
所以 2-2a· b=2, 即 a· b=0,

故 a⊥b.

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考点突破 考点二 平面向量在三角函数中的应用
训练 2 已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), 0<β<α<π. (1)若|a-b|= 2,求证:a⊥b; (2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求 α,β 的值.

(2)解 因为 a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
? ?cosα+cosβ=0, 所以? ? ?sinα+sinβ=1,

由此得, cosα = cos(π - β) .

由 0<β<π, 得 0<π-β<π, 又 0<α<π,故 α=π-β.

1 代入 sinα+sinβ=1,得 sinα=sinβ= . 2 5π π 又 α>β,所以 α= ,β= . 6 6
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考点突破

考点三

向量在解析几何中的应用

例 3 (2013· 湖南卷)已知平面上一定点 C(2, 0)和直线 l: x=8, ?→ 1→ ? ?→ 1→ ? ?PC- PQ? P 为该平面上一动点, 作 PQ⊥l, 垂足为 Q, 且?PC+2PQ?· 2 ? ? ? ? =0.(1)求动点 P 的轨迹方程; → → (2)若 EF 为圆 N: x2+(y-1)2=1 的任一条直径, 求PE· PF的最值.
y 解析 (1)设 P(x,y),则 Q(8,y). 3 B1 → 1→ → 1→ 由(PC+ PQ)· (PC- PQ)=0, 2 2 2 1 →2 1→2 N C 得|PC| - |PQ| =0, –4 –3 –2 –1O 1 2 4 1 –1 2 2 2 即(x-2) +y - (x-8) =0 –2 4 –3 x2 y2 化简得 + =1. 16 12 x2 y2 所以点 P 在椭圆上,其方程为 + =1. 16 12
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P

Q

3x 4 5 6 7 8 x

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考点突破

考点三

向量在解析几何中的应用
y

→ → → → → → PF=(NE-NP)· (NF-NP) 解析(2)因PE·

3 B1 P 2 → → → → →2 →2 →2 =NP -NF =NP -1, F 1 =(-NF-NP)· (NF-NP) N E C x2 y2 O 1 2 3 4 x P 是椭圆 + =1 上的任一点,设 P(x0,y0), –4 –3 –2 –1–1 16 12 –2 2 2 x2 y0 4 y 0 0 –3 则有 + =1,即 x2 ,又 N(0,1), 0=16-

16 12 3 1 2 →2 1 2 2 所以NP =x0+(y0-1) =- y0-2y0+17 =- (y0+3)2+20. 3 3 → 因 y0∈[-2 3,2 3],所以当 y0=-3 时,NP2 取得最大值 20,

→ → 故PE· PF的最大值为 19;

→ 当 y0=2 3时,NP2 取得最小值为 13-4 3(此时 x0=0), → → 故PE·PF的最小值为 12-4 3.
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考点突破

考点三

向量在解析几何中的应用

规律方法
向量在解析几何中的作用 (1)载体作用: 向量在解析几何问题中出现, 多用于“包装”, 解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”, 导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹 角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用 a⊥b?a· b=0;a∥b?a=λb(b≠0),可解 决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解 决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.

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考点突破

考点三

向量在解析几何中的应用

训练 3 已知点 P(0,-3),点 A 在 x 轴上,点 Q 在 y 轴的正 3→ → → → 半轴上,点 M 满足PA·AM=0,AM=- MQ,当点 A 在 x 轴上 2 移动时,求动点 M 的轨迹方程. 解析 设 M(x,y)为所求轨迹上任一点,设 A(a,0),Q(0,b)(b>0), → → → 则PA=(a,3),AM=(x-a,y),MQ=(-x,b-y), → → 由PA· AM=0,得 a(x-a)+3y=0.① ?3 ? 3 3→ 3 → 由AM=- MQ,得(x-a,y)=- (-x,b-y)=?2x,2(y-b)?, 2 2 ? ? 3 x ? ? ?x-a=2x, ?a=-2, ∴? ∴? ∴b>0,∴y>0, ?y=3y-3b, ?b=y . 3 ? 2 2 ? x x? x? 1 2 ? ? 把 a=- 代入①, 得- x+2 +3y=0,整理得 y= x (x≠0). 2 2? 4 ? 1 2 所以动点 M 的轨迹方程为 y= x (x≠0). 4
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课堂小结

思想方法

1.向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来,这就为向 量和函数的结合提供了前提,运用向量的有关知识可以解决某 些函数问题. 2.以向量为载体求相关变量的取值范围,是向量与函数、 不等式、 三角函数等相结合的一类综合问题. 通过向量的坐标运 算, 将问题转化为解不等式或求函数值域, 是解决这类问题的一 般方法. 3. 向量的两个作用: ①载体作用: 关键是利用向量的意义、 作用脱去“向量外衣”,转化为我们熟悉的数学问题; ②工具作用:利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距 离问题.

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课堂小结

易错防范

1. 对三角形“四心”的意义不明, 向量关系式的变换出错, 向量关系式表达的向量之间的相互位置关系判断错误等.

2.注意向量夹角和三角形内角的关系,两者并不等价.

3.注意向量共线和两直线平行的关系;两向量 a,b 夹 角为锐角和 a· b>0 不等价.

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(见教辅)

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