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四川省绵阳市高中2014届三诊数学理科试题含答案


1. 已知集合 M ? x x ? 1 , N ? x x2 ? x ,则 M ? N ?

?

?

?

?

1? A. ?
2. 复数

B. ?? 1,1?

C. ?0,1?

D. ?? 1,0,1?

5 的共轭复数是 i?2

A. ? 2 ? i B. 2 ? i C. ? 2 ? i D. 2 ? i 3. 执行如右图所示的程序框图,如输入 x ? 2 ,则输出的值为 A.9 B. log8 9 C.5 D. log8 5 4. 已知向量 a ? (3,?1) , b ? (?1,2) , c ? (2,1) .若 a ? xb ? yc( x, y ? R) ,则 x ? y ? A.2 B.1 C.0 D.

1 2

5. 已知命题 p : ?x ? R, sin x>a ,若 ?p 是真命题,则实数 a 的取值范围为 A. a<1 B. a ? 1
2

C. a ? 1

D. a ? 1

6. 已知 a ? [?2,2] ,则函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 有零点的概率为 A.

1 2
2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

x2 y2 ? ? 1(a>0, b>0) 的右焦点, 7. 若抛物线 C1 : y ? 4 x 的焦点 F 恰好是双曲线 C2 : a b2
且 C1 与 C2 交点的连线过点 F ,则双曲线 C2 的离心率为

A. 2 ? 1

B. 2 2 ? 1

C. 3 ? 2 2

D.

6? 2 2

8. 已知函数 f ( x) ? sin wx( w>0) 的一段图像如图所示,△ ABC 的顶点 A 与坐标原点 O 重 合, B 是 f ( x) 的图像上一个最低点, C 在 x 轴上,若内角 A, B, C 所对边长为 a , b, c , 且△ ABC 的面积 S 满足 12S ? b ? c ? a ,将 f ( x) 右移一个单位得到 g ( x) ,则 g ( x)
2 2 2

的表达式为 A. g ( x ) ? cos(

?
2

x)

B. g ( x ) ? ? cos( C. g ( x ) ? sin(

?
2

x)

x 1 ? ) 2 2 x 1 D. g ( x ) ? sin( ? ) 2 2
9. 为了了解小学生的作业负担,三名调研员对某校三年级 1 至 5 名进行学情调查,已知这 5 个班在同一层楼并按班号排列。若要求每名调研员均参与调查,但不在相邻两个班调查, 每个班只安排一名调研员,则不同的调查方案有 A.48 种 B.42 种 C.36 种 D.24 种 10. 已知 f ( x) ?

x e
x

( x ? R) ,若关于 x 的方程 f 2 ( x) ? mf ( x) ? m ? 1 ? 0 恰好有 4 个不相等

的实数根,则实数 m 的取值范围为 A. ( ,2) ? (2, e)

1 e

B. ( ,1)

1 e

C. (1,

1 ? 1) e

D. ( , e )

1 e

11. 某设备零件的三视图如右图所示, 则这个零件的表面积为_____. 12. 二项式 ( x ?

2 10 ) 展开式中的常数项是_______. x2
1 2 2 ) ,则 2

13. 已知幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 ( ,

lg f (2) ? lg f (5) ? _________.
14. 已知实数 x, y 满足 xy ? 1 ? 2 x ? y ,且 x> 1 ,则 ( x ? 1)( y ? 2) 的最小值为_______.

15. 已知有限集 A ? ?a1 , a2 , a3 ...,an ?(n≥2).如果 A 中元素 ai (i ? 1,2,3,...,n) 满足

a1an ...an ? a1 ? a2 ? ... ? an ,就称 A 为“复活集”,给出下列结论:
①集合 (

?1 ? 5 ?1 ? 5 , ) 是“复活集”; 2 2

②若 a1 , a2 ? R ,且 ?a1 , a2 ? 是“复活集”,则 a1a2>4 ; ③若 a1 , a2 ? N ? ,则 ?a1 , a2 ? 不可能是“复活集”; ④若 ai ? N ? ,则“复合集”A 有且只有一个,且 n= 3 . 其中正确的结论是_____________.(填上你认为所有正确的结论序号) 16.(本小题满分 12 分) 已知 S n 是等比数列 ?a n ?的前 n 项和, S3 , S9 , S6 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?a n ?的公比 q ; (Ⅱ)证明: ak , ak ?6 , ak ?3 (k ? N ?) 成等差数列. 17.(本小题满分 12 分) 绵阳市农科所研究出一种新的棉花品种,为监测长势状况.从甲、乙两块试验田中各抽取 了 10 株棉花苗,量出它们的株高如下(单位:厘米): 甲 乙 37 10 21 30 31 47 20 27 29 46 19 14 32 26 23 10 25 44 33 46

(Ⅰ)画出两组数据的茎叶图,并根据茎叶图对甲、乙两块试验田中棉花棉的株高进行比 较,写出两个统计结论; (Ⅱ)从甲、乙两块试验田中棉花株高在[30,40]中抽 4 株,记在乙试验田中取得的棉花苗 株数为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望 E? (结果保留分数).

18.(本小题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在单位平面上,∠xOA=α, ∠AOB= ,且 α∈( , ). (Ⅰ)若 cos(α+ ) ? ?

π 4

π π 6 2

π 3

7 ,求 x1 的值; 14

(Ⅱ)过点 A,B 分别做 x 轴的垂线,垂足为 C、D,记△AOC 的面积为 S1,△BOD 的面 积为 S2.设 f(α)=S1+S2,求函数 f(α)的最大值.

19.(本小题满分 12 分) 如图,在多面体 ABCDEF 中,底面 ABCD 是梯形,且满足 AD=DC=CB= 角梯形 ACEF 中,EF //

1 AB ? a 在直 2

1 AC , ?ECA ? 90 ? ,已知二面角 E-AC-B 2

是直二面角. (Ⅰ)求证: BC ? AF ; (Ⅱ)当在多面体 ABCDEF 的体积为 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆的焦点坐标为 F1 ?? 1,0? , F ?1,0? ,过 F2 垂直于长轴的直线交椭圆于 A、B 两点, 且 AB ? 3 . (Ⅰ)求椭圆形的方程; (Ⅱ) 过 F1 点作相互垂直的直线 l1 , l2 , 分别交椭圆于 p1 , p2 , p3 , p4 试探究 是否为定值?并求当圆边形 p1 , p2 , p3 , p4 的面积 S 最小时,直线 l1,l2 的方程. 21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ?x ? ? ln?x ? a ? ? x 有且只有一个零点,其中 a>0. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? ?0,??? ,有 f ?x ? ? kx 成立,求实数 k 的最大值;
2

3 3 2 a 时,求锐二面角 D-EF-B 的余弦值. 8

1 1 ? p1 p2 p3 p4

( III ) 设 h?x ? ? f ?x ? ? x , 对 任 意 x1 , x2 ? ??1,????x1 ? x2 ? , 证 明 : 不 等 式

x1 ? x2 > x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 恒成立. h?x1 ? ? h?x2 ?

绵阳市高 2011 级第三次诊断性考试
数学(理科)参考答案及评分意见
一、选择题:每小题 5 分,共 50 分. 1.D 2.A 3.B 4.C 5.D 6.C 7.A 8.B 9.B 10.C 二、填空题:每小题 5 分,共 25 分. 11.22 12.180 13.

1 2

14.9+ 4 2

15.①③④

提示:第 15 题:易判断①是正确的; ②不妨设 a1+a2=a1a2=t,则由韦达定理知 a1,a2 是一元二次方程 x2-tx+t=0 的两个根, 由 Δ>0,可得 t<0,或 t>4,故②错;

③不妨设 A 中 a1<a2<a3<?<an, 由 a1a2?an=a1+a2+?+an<nan, 得 aa a 1 2 ???

n1 ?

<n, 当 n=2

时,即有 a1<2,∴a1=1,于是 1+a2=a2,a2 无解,即不存在满足条件的“复活集”A, 故③正确.当 n=3 时,a1a2<3,故只能 a1=1,a2=2,求得 a3=3,于是“复活集”A 只有 一个,为{1,2,3}.当 n≥4 时,由 a1a2 ??? an ?1 ≥1×2×3×?×(n-1),即有 n>(n-1)!, 也 就 是 说 “ 复 活 集 ” A 存 在 的 必 要 条 件 是 n>(n-1)! , 事 实 上 , (n-1)! ≥ (n-1)(n-2)=n2-3n+2=(n-2)2-2+n>2,矛盾,∴当 n≥4 时不存在复活集 A,故④正确. 三、解答题:共 75 分. 16.解:(Ⅰ)由 S3,S9,S6 成等差数列,可得 2 S9=S3+S6. 当 q=1 时,即得 18a1 ? 3a1 ? 6a1 ,解得 a1=0,不成立.???????????3 分 当 q ? 1 时,即得

2a1 (1 ? q 9 ) a1 (1 ? q 3 ) a1 (1 ? q 6 ) ? ? , 1? q 1? q 1? q

整理得: 2q6 ? q3 ? 1 ? 0 ,即 2(q3 )2 ? q3 ? 1 ? 0 , 解得: q ? 1 (舍去),或 q ? ?
3

4 . ???????????????????7 分 2

(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 q3 ? 1 ? 2q 6 , ∴ ak ? ak ?3 ? a1qk ?1 ? a1qk ?2 ? a1qk ?1 (1 ? q3 ) ? a1qk ?1 ? 2q6 ? 2a1q k ?5 , ∵ 2ak ?6 ? 2a1q k ?5 , ∴ ak ? ak ?3 ? 2ak ?6 ,即 ak,ak+6,ak+3(k∈N*)成等差数列.???????12 分 17.解:(Ⅰ)画出的茎叶图如右所示. 根据茎叶图可得统计结论如下: 结论一:甲试验田棉花苗的平均珠高度小于乙 试验田棉花苗的平均珠高. 结论二:甲试验田棉花苗比乙试验田棉花苗长 得整齐. ????????????6 分 (Ⅱ)ξ 的取值为 0,1.
4 C4 C1C 3 4 1 ? , P(? ? 1) ? 1 4 4 ? , 4 C5 5 C5 5

甲 5 3 3 9 2 0 1 9 1 7 1 2 3 4 0 7 0 7

乙 4 6 6 0

4

6

P(? ? 0) ?

∴ ξ 的分布列: ξ P 0 1

1 5

4 5

?????????????????????11 分

1 4 4 E? ? 0 ? ? 1? ? .????????????????????????12 分 5 5 5
18.解:(Ⅰ)由三角函数的定义有 x1 ? cos? ,x2 ? cos(? ? ∵ cos(? ? ∴ sin(? ?

?
3

) , ????????2 分

?
3

)??

7 ? ? ,? ? ( , ) , 14 6 2

?
3

)?

3 21 , ????????????????????????4 分 14

? ?? ? ? ? ? ? ∴ x1 ? cos ? ? cos ?(? ? ) ? ? ? cos(? ? )cos ? sin(? ? )sin , 3 3? 3 3 3 3 ?
∴ x1 ?

2 7 . ????????????????????????????6 分 7

1 1 (Ⅱ)由 y1 ? sin ? ,得 S1 ? x1 y1 ? cos? sin ? ? sin 2? . 2 4

? ? ? ? ? 5? 又由? ? ( , ) ,得? ? ? ( , ) ,于是 y2 ? sin(? ? ) , 3 6 2 3 2 6
1 1 ? ? 1 2? ∴ S2 ? ? x2 y2 ? ? cos(? ? )sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ), 2 2 3 3 4 3
∴ ??????8 分

1 1 2? f (? ) ? S1 ? S2 ? sin 2? ? sin(2? ? ) 4 4 3 1 1 2? 2? = sin 2? ? (sin 2? cos ? cos2? sin ) 4 4 3 3
3 3 cos 2? = sin 2? ? 8 8
= =

3 3 1 ( sin 2? ? cos 2? ) 4 2 2 3 ? sin(2? ? ) , 4 6

? ? ? ? 5? 由? ? ( , ) ,可得2? ? ? ( , ) , 6 2 6 6 6
6 2 19.(Ⅰ)证明:取 AB 的中点 G,连结 CG.
由底面 ABCD 是梯形,知 DC//AG. 又∵ DC =

于是当2? ?

?

?

?

,即 ? ?

?
3

时,f (? ) max ?

3 .????????????12 分 4 z E
F C H G B y

1 AB=AG=a, 2
D A x

∴ 四边形 ADCG 是平行四边形,得 AD=CG=a, ∴ CG=

1 AB 2

∴ AC⊥BC. ∴ BC⊥平面 ACEF.

又∵ 二面角 E-AC-B 是直二面角,即平面 ACEF ? 平面 ABCD, ∴ BC⊥AF.?????????????????????????????6 分 (Ⅱ)解:连结 DG 交 AC 于 H,连结 FH. ∵ 平面 ACEF ? 平面 ABCD, 由(Ⅰ)知 BC ? 面 ACEF,DH//BC, ∴ DH ? 面 ACEF. 即 BC、DH 分别是四棱锥 B-ACEF、D-ACEF 的高.

在 Rt△ACB 中, AC ? 4a2 ? a2 ? 3a ,EF= ∴ V ? VD? ACEF ? VB ? ACEF

3 a. 2

1 1 3a a 1 1 3a 3 3a 3 ? ? ?( ? 3a) ? CE ? ? ? ? ( ? 3a) ? CE ? a ? . 3 2 2 2 3 2 2 8 ∴ CE ? a .
如图,以 C 为坐标原点,CA、CB、CE 为 x,y,z 轴建立空间坐标系,

0, 0) ,E (0 , 0 ,a) ,F ( ∴ C (0 ,

3a 3a a , 0 ,a) ,B(0 ,a , 0) ,D( , ? , 0) , 2 2 2

uuu r uur 3a EF ? ( , 0, 0) ,EB ? (0 ,a ,? a) , 2
设面 BEF 的法向量 n1=(x,y,z),

? 3a x ? 0, ? 1, 1) , 令 y=z=1,可得 n1 ? (0 , ? 2 ? ay ? az ? 0 , ?
? 2, 1) . 同理可得面 DEF 法向量 n2 ? (0 ,
∴ cos ? ?

n1 ? n2 n1 n2

?

1 10 ? . 2 ? 5 10
10 .??????????????????12 分 10

∴ 锐二面角 D-EF-B 的余弦值

20.解:(Ⅰ)由题意,设椭圆的标准方程为 由焦点 F2 的坐标为(1,0)知 a2-b2=1,① 再由

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0), a2 b2

12 y 2 b2 ? ? 1 ? ,整理得 y = . a2 b2 a

∵ 过 F2 垂直于长轴的弦长|AB|=3, ∴

2b 2 ? 3 .② a x2 y2 ? ? 1 .?????????????????????3 分 4 3

联立①、②可解得 a2=4,b2=3. ∴ 椭圆的方程为

(Ⅱ)若 l1、l2 中一条的斜率不存在,则另一条的斜率则为 0, 此时,|P1P2|=4,|P3P4|=|AB|=3, 于是

1 1 1 1 7 ? = ? ? .?????????????????????5 分 P P3 P4 4 3 12 1P 2

若 l1、l2 的斜率均存在且不为 0,

1 设 l1 的方程: y ? k ( x ? 1) ,则 l2 的方程: y ? ? ( x ? 1) , k

? x2 y 2 ? ? 1, ? ? 3 联立方程 ? 4 消去 x 得: (3k 2 ? 4) y 2 ? 6ky ? 9 ? 0 , 1 ? y ? ? ( x ? 1), ? k ?
∴ y1 ? y2 ? ?

6k 9 ,y1 y2 ? ? 2 , 2 3k ? 4 3k ? 4
12(k 2 ? 1) 36k 2 36 ? . ? 3k 2 ? 4 (3k 2 ? 4)2 3k 2 ? 4

2 ∴ P y1 ? y2 = 1 ? k 2 3P 4 = 1? k

同理可得: P 1P 2 ? ∴

12( k 2 ? 1) , 4k 2 ? 3

1 1 4k 2 ? 3 3k 2 ? 4 7 ? ? ? ? . 2 2 PP P3 P4 12(k ? 1) 12(k ? 1) 12 1 2
1 1 7 ? ? (定值).??????????????????9 分 P P3 P4 12 1P 2

∴ 综上知



1 1 7 1 , ? ? ?2 PP P3 P4 12 PP 1 2 1 2 P 3P 4
24 2 576 , ) ? 7 49 1 288 . ? PP 1 2 P 3P 4 ? 2 49
12(k 2 ? 1) 12(k 2 ? 1) ? 时,S 最小,此时解得 k ? ?1 , 4k 2 ? 3 3k 2 ? 4

∴ PP 1 2 P 3P 4 ?( ∴ Smax

当且仅当 PP 1 2 ? P 3P 4 ,即

∴ 四边形 P1P3P2P4 的面积 S 最小时,l1、l2 的直线方程: y ? ? ( x ? 1) .???13 分

? ?) , f ?( x) ? 21.解:(Ⅰ) f ( x ) 的定义域为 (?a ,
由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? a ? ? a .

1 x ? a ?1 ?1 ? ? . x?a x?a

∵ 当 ? a ? x ? 1 ? a 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 ? a 时, f ?( x) ? 0 ,

1 ? a] 上是增函数,在区间 [1 ? a ,+?) 上是减函数, ∴ f ( x ) 在区间 (?a ,
∴ f ( x) 在 x ? 1 ? a 处取得最大值. 由题意知 f (1 ? a) ? ?1 ? a ? 0 ,解得 a ? 1 .????????????????4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) =ln(x+1)-x, 当 k≥0 时,取 x=1 得, f (1) ? ln 2 ? 1 ? 0 ,知 k≥0 不合题意. 当 k ? 0 时,设 g ( x) ? f ( x) ? kx2 ? ln( x ? 1) ? x ? kx2 .

1 ? x(2kx ? 2k ? 1) . ? 1 ? 2kx ? x ?1 x ?1 2k ? 1 1 令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ? ? ?1 ? ? ?1 . 2k 2k 1 2k ? 1 ? ?) 上恒成立, ①若 x2 ? ? ≤0,即 k≤- 时, g ?( x) ? 0 在 x ? (0, 2 2k
则 g ?( x) ?

∴ g ( x) 在 [0, ? ? ) 上是增函数,从而总有 g ( x) ? g (0) ? 0 ,

? ? ) 上恒成立. 即 f ( x) ≥ kx 2 在 [0,

2k ? 1 2k ? 1 1 ? 0 ,即 ? ? k ? 0 时,对于 x ? (0 , ? ) , g ?( x) ? 0 , 2k 2 2k 2k ? 1 ∴ g ( x) 在 (0 , ? ) 上单调递减. 2k 2k ? 1 于是,当取 x0 ? (0 , ? ) 时, g ( x0 ) ? g (0) ? 0 ,即 f ( x0 ) ≥ kx0 2 不成立. 2k 1 故 ? ? k ? 0 不合题意. 2 1 综上, k 的最大值为 ? . ???????????????????????8 分 2 (Ⅲ) 由 h( x) ? f ( x) ? x ? ln( x ? 1) .
②若 x2 ? ? 不妨设 x1 ? x2 ? ?1 ,则要证明 只需证明 即证

x1 ? x2 ? x1 x2 ? x1 ? x2 ? 1 , h( x1 ) ? h( x2 )

( x1 ? 1) ? ( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)( x2 ? 1) , ln( x1 ? 1) ? ln( x2 ? 1)

( x1 ? 1)2 ? 2( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ( x2 ? 1)2 x ?1 , ? ln 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) x2 ? 1

即证 设t ?

x1 ? 1 x ?1 x ?1 ?2? 2 ? ln 1 . x2 ? 1 x1 ? 1 x2 ? 1

t ?1 x1 ? 1 1 ? ln t . (t ? 1) ,则只需证明 t ? 2 ? ? ln t (t ? 1) ,化简得 t x2 ? 1 t

t ?1 (t ? 1)2 ?0, ? ln t ,则 ? ?(t ) ? 2t t t ∴ ? (t ) 在 (1, ? ?) 上单调递增,
设 ? (t ) ? ∴ ? (t ) ? ? (1) ? 0 . 即

t ?1 ? ln t ,得证. t

故原不等式恒成立.?????????????????????14 分



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