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高中数学必修二2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案


2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系
2.1.1 平面 ? 知识梳理 1 平面含义:平面是无限延展的 2 三个公理: (1)公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内 . 符号表示为

A∈ l B∈ l A∈ ? B∈ ? 【公理 1 作用】判断直线是否在平面内. (2)公理 2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号表示为:A、B、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α , 使 A∈α 、B∈α 、C∈α 。 【公理 2 作】确定一个平面的依据。 =>

l ??

A
α ·
L

α ·

A

·
(3)公理 3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为:P∈α ∩β =>α ∩β =L,且 P∈L 【公理 3 作用】判定两个平面是否相交的依据. ? 知能训练

C

·

B

β ·

一.选择题 P α 1.已知 m ,n 分别是两条不重合的直线,a,b 分别垂直于两不重合平面 α,β,有以下四个命题: L ①若 m ⊥α,n∥b,且 α⊥β,则 m ∥n; ③若 m ∥α,n∥b,且 α∥β,则 m ⊥n; 其中真命题的序号是( A .① ② ) B .③ ④ ) C .① ④ D .② ③ ②若 m ∥a,n∥b,且 α⊥β,则 m ⊥n; ④若 m ⊥α,n⊥b,且 α⊥β,则 m ∥n.

2.在下列命题中,不是公理的是(

A .平 行于同 一个平 面的两 个平面 平行 B .过 不在同 一直线 上的三 个点, 有且只 有一个 平面 C .如 果一条 直线上 的两点 在同一 个平面 内,那 么这条 直线 上所有 点都在 此平面 内 D .如 果两个 不重合 的平面 有一个 公共点 ,那么 它们有 且只 有一条 过该点 的公共 直线 3.l1,l2,l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( A . l 1⊥ l 2, l 2⊥ l 3 ? l 1∥ l 3 B . l 1⊥ l 2, l 2∥ l 3 ? l 1⊥ l 3 C . l 1∥ l 2∥ l 3 ? l 1, l 2, l 3 共面 )

D . l 1, l 2, l 3 共点 ? l 1, l 2, l 3 共面 4.下面四个说法中,正确的个数为( (2)两条直线可以确定一个平面 (3)若 M∈α, M∈β,α∩β=l ,则 M∈l (4)空间中,相交于同一点的三直线在同一平面内. A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 4 )

(1)如果两个平面有三个公共点,那么这两个平面重合

5.已知空间三条直线 l、m 、n.若 l 与 m 异面,且 l 与 n 异面,则( A . m 与 n 异面 B . m 与 n 相交 C . m 与 n 平行 D . m 与 n 异面 、相交 、平行 均有可 能

6.若 m 、n 为两条不重合的直线,α、β 为两个不重合的平面,则下列命题中的真命题是( A . 若 m 、 n 都平 行于平 面 α , 则 m、 n 一 定不是 相交直 线 B . 若 m 、 n 都垂 直于平 面 α , 则 m、 n 一 定是平 行直线 C .已 知 α 、 β 互相 垂直, m、 n 互相垂 直, 若 m ⊥ α , n⊥ β D . m、 n 在 平面 α 内的射 影互相 垂直, 则 m、 n 互 相垂直 7.已知平面 α,β,γ,直线 m ,l,点 A,有下面四个命题,其中正确的命题是( A . 若 l ?α , m ∩ α =A ,则 l 与 m 必 为异面 直线 B . 若 l ∥ α , l∥ m, 则 m∥ α C . 若 l ?α , m ?β , l ∥ β , m∥ α ,则 α ∥ β D .若 α ⊥ γ , γ ∩ α =m, γ ∩ β =l, l⊥ m, 则 l ⊥ α 8.已知 α,β 为互不重合的平面,m ,n 为互不重合的直线,给出下列四个命题: ①若 m ⊥α,n⊥α,则 m ∥n; ②若 m ?α,n?α,m ∥β,n∥β,,则 α∥β; ③若 α⊥β,α∩β=m ,n?α,n⊥m ,则 n ⊥β; ④若 m ⊥α,α⊥β,m ∥n,则 n∥β.其中所有正确命题的序号是( A .① ③ 二.填空题 B .② ④ C .① ④ ) D .③ ④ )



9.(文)平面上三条直线 x+2y-1=0 , x+1=0 ,x+ky=0 ,如果这三条直线将平面划分为六部分,则实数 k 的所有取值为 ①0 平面. 三.解答题 1 . 如 图 , 在 四 边 形 A BCD 中 , 已 知 A B ∥ CD , 直 线 A B , BC , AD , D C 分 别 与 平 面 α 相 交 ②1/2 ③1 ④2 .(将你认为所有正确的序号都填上) ⑤3 . 个

10. 空间中有 7 个点, 其中有 3 个点在同一直线上, 此外再无任何三点共线, 由这 7 个点最多可确定

于 点 E, G , H , F . 求 证 : E, F , G , H 四 点 必 定 共 线 .

2 . 四 面 体 A BCD 中 , E 、 G 分 别 为 BC 、 A B 的 中 点 , F 在 CD 上 , H 在 A D 上 , 且 有 D F : F C= 2 : 3 . D H : H A = 2 : 3 . ( 1 ) 证 明 : 点 G 、 E、 F 、 H 四 点 共 面 ; ( 2 ) 证 明 : EF 、 G H 、 BD 交 于 一 点 .

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系: 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点; 不同在任何一个平面内,没有公共点。

共面直线
异面直线:

2 公理 4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为:设 a、b、c 是三条直线 a∥b c∥b 强调:公理 4 实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用:判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补 . 4 注意点: ① a'与 b'所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定,与 O 的选择无关,为了简便,点 O 一般取在两 直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ ∈(0, );

=>a∥c

?
2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作 a⊥b; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形; ⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 ? 知能训练

一.选择题 1.已知 m ,n 表示两条不同直线,α 表示平面,下列说法正确的是( A. 若 m∥ α , n∥ α , 则 m∥ n B. 若 m⊥ α , n?α , 则 m⊥ n C. 若 m⊥ α , m⊥ n, 则 n∥ α D. 若 m∥ α , m⊥ n, 则 n⊥ α )

2.如图,在三棱锥 S-ABC 中,E 为棱 SC 的中点,若 AC=2 ,SA=SB=AB=BC=SC=2 ,则异面直线 AC 与 BE 所成的角为( A . 30 ° ) B . 45 ° C . 60 ° D . 90 °

3.如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D 1 中,若棱 BB 1=BC=1,AB=,则异面直线 D 1B 和 AC 所成角的余弦值为( A. 1 B . /3 ) C . 1/2 D . /5

4.已知正方体 ABCD-A1B 1C1D 1 中,点 P 在线段 A1B 1 上,点 Q 在线段 B1C 1 上,且 B1P=B1Q,给出下列结论: ①A、C、P、Q 四点共面; ②直线 PQ 与 AB1 所成的角为 60° ; ③PQ⊥CD 1; ④VP-ABCD=VQ- AA1D. 其中正确结论的个数是( A. 1 B. 2 C. 3 ) D. 4

5.如图,正四面体 A-BCD 的顶点 A、B、C 分别在两两垂直的三条射线 Ox、Oy、Oz 上,则 在下列命题中,错误的为( A . O-ABC 是 正 三 棱 锥 C . 直 线 AB 与 CD 互 相 垂 直 ) B . 直 线 AD 与 OB 成 45 °角 D . 直 线 AD 与 OC 成 60 °角 )

6.已知不同平面 α,β,γ,不同直线 m ,n,则下列命题正确的是( A. 若 α ⊥ β , α ⊥ γ , 则 β ∥ γ C. 若 m⊥ α , n⊥ β , m⊥ n, 则 α ⊥ β

B. 若 m∥ α , n∥ β , 则 α ∥ β D. 若 m∥ γ , n∥ γ , 则 m∥ n )

7.已知直线 l 和平面 α,若 l∥α,P∈α,则过点 P 且平行于 l 的直线( A. 只 有 一 条 , 不 在 平 面 α 内 B. 有 无 数 条 , 一 定 在 平 面 α 内 C. 只 有 一 条 , 且 在 平 面 α 内 D. 有 无 数 条 , 不 一 定 在 平 面 α 内

8. 已知矩形 ABCD , AB=1 , BC=. 将△ ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, 在翻折过程中 ( A . 存 在 某 个 位 置 , 使 得 直 线 AC 与 直 线 BD 垂 直 B . 存 在 某 个 位 置 , 使 得 直 线 AB 与 直 线 CD 垂 直 C . 存 在 某 个 位 置 , 使 得 直 线 AD 与 直 线 BC 垂 直



D . 对 任 意 位 置 , 三 对 直 线 “ AC 与 BD ” , “ AB 与 CD ” , “ AD 与 BC ” 均 不 垂 直 9.将正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起,当三棱锥 B-ACD 体积最大时,直线 AD 与 BC 所成角为( A. B. C. D. )

10.在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,若点 P(异于点 B)是棱上一点,则满足 BP 与 AC′所 成的角为 45° 的点 P 的个数为( A. 0 二.填空题 11.正方体 ABCD-A1B1C 1D1 中,P,Q 分别是棱 AB,A1D 1 上的点,PQ⊥ AC ,则 PQ 与 BD 1 所成角的余 弦值得取值范围是 。 B. 3 ) C. 4 D. 6

12.已知二面角 α-l-β 的大小为 60° ,A∈α,B∈β,AC ⊥l 于 C,BD⊥l 于 D , AC=BD=4 ,CD=3 ,则 AD 与 BC 所成角的余弦值为 . 13.已知圆柱 Ω 的母线长为 l,底面半径为 r,O 是上底面圆心,A,B 是下底面 圆周上两个不同的点, BC 是母线, 如图, 若直线 OA 与 BC 所成角的大小为, 则= 三.解答题 14. 如图, 平 面 P A D ⊥ 平面 A BCD , A BCD 为 正 方 形 , ∠ P AD = 90 °, 且 PA = AD = 2 , E 、 F 、 G 分 别 是 线 段 P A 、 PD 、 CD 的 中 点 . 求 证 : P B ∥ 平 面 EF G ; .

2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系: (1)直线在平面内 —— 有无数个公共点 (2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点 指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用 a
α 来表示

a ?

α

a∩α =A

a∥α

知能训练 )

一.选择题(共 8 小题) 1.已知 m ,n 是两条不同直线,α,β,γ 是三个不同平面,下列命题中正确的是( A . 若 m ∥ α , n∥ α . 则 m ∥ n

B . 若 m ⊥ α , n⊥ α , 则 m ∥ n

C . 若 m ∥ α , m∥ β ,则 α ∥ β

D .若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α ∥ β )

2.已知三条直线 a,b,c 和平面 β,则下列推论中正确的是( A . 若 a ∥ b , b ?β ,则 a∥ β B . 若 a ∥ β , b∥ β , 则 a ∥ b 或 a 与 b 相 交 C . 若 a ⊥ c , b ⊥ c ,则 a∥ b D . 若 a ?β , b ∥ β , a, b 共面, 则 a∥ b 3.下列命题中,是假命题的为( )

A .平 行于同 一直线 的两个 平面平 行 B .平 行于同 一平面 的两个 平面平 行 C .垂 直于同 一平面 的两条 直线平 行 D .垂 直于同 一直线 的两个 平面平 行 4.a ,b,c 表示直线,M 表示平面,给出下列四个命题: ①若 a∥M,b∥M,则 a∥b; ③若 a⊥c,b⊥c,则 a∥b; 其中正确命题的个数有( A. 0 个 B. 1 个 ) C. 2 个 D. 3 个 ②若 b?M,a∥b,则 a∥ M; ④若 a ⊥M,b⊥M,则 a∥b.

5.已知点 E、F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D 1 的棱 AB、 AA1 的中点,点 M、N 分别是线段 D1E 与 C 1F 上的点,则满足与平面 ABCD 平行的直线 MN 有( A. 0 条 B. 1 条 C. 2 条 D .无 数条 )

6.在正方体 ABCD-A1B 1C 1D1 中, M,N 分别 C1D 1,BC 是的中点,则下列 判断正确的是( A . MN ∥ BD 1 C . MN ∥平 面 BDD 1 ) B . MN⊥ AB 1 D . MN⊥ 平面 AB 1C

7.已知 E、F 分别是正方体 ABCD-A1B1C1D1 棱 BB 1、AD 的中点,则直 线 EF 和平面 BDB1D 1 所成的角的正弦值是( A. B. C. D. )

8.△ABC 的 AB 边在平面 α 内,C 在平面 α 外, AC 和 BC 分别与面 α 成 30° 和 45° 的角,且面 ABC 与 α 成 60° 的二面角,那么 sin∠ACB 的值 为( A. 1 ) B. C. D.1 或

二.解答题(共 3 小题) 9.在棱长为 a 的正方体 A1B1C 1D1-ABCD 中,E,F 分别为 DD 1,BB1 的中点, G 为线段 D 1F 上一点.请判断直线 AG 与平面 BEC 1 之间的位置关系,并给出 证明.

【参考答案】 2.1.1

1. D

2.A

3.B 4.A

5.D

6.B 7.D

8.A

9.①③④

10.26

11. 解:∵ AB ∥ CD , ∴ AB , CD 确 定一个 平面 β . 又 ∵ A B∩ α = E, A B ?β , ∴ E∈ α , E∈ β , 即 E 为 平面 α 与 β 的 一个公 共点. 同 理可 证 F, G , H 均为 平面 α 与 β 的 公共点 . ∵ 两个平 面有公 共点, 它们有 且只有 一条通 过公共 点的公 共直 线, ∴ E , F, G, H 四点 必定共 线. 12. 证明: ( 1 )∵ E、 G 分 别为 BC、 A B 的中点 ,∴ EG ∥ A C 又 ∵ DF : F C= 2: 3. DH : HA= 2: 3, ∴ FH ∥ A C. ∴ EG ∥ F H 所 以, E、 F、 G 、 H 四点共 面. ( 2)由( 1)可知 , EG ∥ FH ,且 EG ≠ FH ,即 EF, GH 是梯 形 的两腰 , 所 以它们 的延长 线必相 交于一 点 P ∵ BD 是 EF 和 GH 分别 所在平面 BCD 和平面 ABD 的交线 , 而 点 P 是上 述两平 面的公 共点, ∴ 由公 理 3 知 P∈ BD. 所 以,三 条直 线 EF 、 GH 、 BD 交于 一点. 2.2.2 1.B 14. 2.C 3.D 4.B 5.D 6.C 7.C 8.B 9.D 10.B 11.[ , 1] 12. 13. ( 1 ) 证 明 : 取 AB 的 中 点 M , 连接 EM , MG .

∵ MG ∥ AD , AD ∥ EF , ∴ MG ∥ EF . ∴ 四 点 E, F, G, M 共 面 . 而 在 三 角 形 PAB 中 , PB ∥ EM , 又 PB ? 平 面 EFGM , EM ? 平 面 EFGM . ∴ PB ∥ 平 面 EFGM . 即 得 PB ∥ 平 面 EFG . 2.1.3 1.B 2.D 3.A 4.B 5.D 6.C 7.B 8.D 9. AG ∥平 面 BEC 1 . 证 明:连 结 A F, A D 1. ∵ E , F 为 D D 1, BB 1 的 中点, ∴ ED 1 与 BF 平 行且 相等, ∴ 四边 形 BED 1 F 为平 行四边 形, ∴ D 1F∥ BE, ∴ D 1F∥ 平面 BEC 1. ∵ 四边 形 A BC 1 D 1 为平行 四边形 , ∴ A 1D∥ BC 1, ∴ AD 1∥ 平面 BEC 1. ∵ AD 1∩ D 1F =D 1 , ∴ 平面 AFD 1 ∥平 面 BEC 1 . ∵ AG ?平 面 AF D 1, ∴ AG ∥ 平面 BEC 1



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