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w9.cc:「精品」山东省烟台市栖霞一中2017-2018学年高一数学下学期期末综合测试试题(四)(含解析)

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小中高 精选 教案 试卷 选集

山东省烟台市栖霞一中 2017-2018 学年高一数学下学期期末综合测

试试题(四)(含解析)
一、选择题: 1. 下列函数中,周期为 的是( )

A.

B.

【答案】D 【解析】

易知

的周期为

C.

D.



的周期为 ,

的周期为 ,

的周

期为 ;故选 D. 2. 设 P 是△ABC 所在平面内的一点,

,则( )

A. C. 【答案】B 【解析】

B. D.
移项得

.故选 B

3. 已知向量 A. -2 B. 0 【答案】D 【解析】 解法 1 因为

C. 1

若与 D. 2

,所以 ,解得 。

平行,则实数 的值是( ) 由于 与

平行,得

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解法 2 因为 与 平行,则存在常数,使

向量共线的条件知,向量与 共线,故 。

4. 已知 是

所在平面内一点, 为 边中点,且

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】

由 O 为 BC 边上中线 AD 上的点,可知

故选:B.

,即 ,

,根据 ,那么( )

5. 若函数 f(x)= sin x, x∈[0, ], 则函数 f(x)的最大值是

()

A.

B.

C.

D.

【答案】D 【解析】 【分析】

先求出 的取值范围,然后再求出 sin x 的最大值,进而得到函数 f(x)的最大值.

【详解】∵













,即



∴ 的最大值为 .

故选 D.

【点睛】本题考查函数

的最值的求法,解题时将

看作一个整体,求



的范围后再结合函数的图象可得所求,注意整体思想及数形结合思想的运用.

6. (1+tan250)(1+tan200 )的值是 (

)

A. -2 B. 2 C. 1 D. -1

【答案】B

【解析】

【分析】

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逆用两角和正切公式求解可得所求.

【详解】由题意得











故选 B.

【点睛】解答类似问题时既要熟悉常见三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称

的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,如和差角公式变形:tan x±tan y

=tan(x±y)(1?tan xtan y)等.

7. 已知 为锐角,a=sin( ),b=

,则 a、b 之间关系为( )

A. a>b B. b>a C. a=b D. 不确定

【答案】B

【解析】

【分析】

根据两角和的正弦公式可得

,再由 为锐角可得

,从而得

,即 .

【详解】∵ 为锐角,













故选 B.

【点睛】本题考查两角和的正弦公式和三角函数的有界性,解题时要结合条件进行适当的变

形,并根据不等式的性质得到所求,主要考查学生的应用意识和变形、转化能力.

8. 同时具有性质“①最小正周期是 ,②图象关于直线 对称;③在 上是减函数”

的一个函数是( )

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】

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【分析】 对给出的四个选项分别进行分析、判断可得结果. 【详解】对于 A,函数的最小正周期为 ,所以 A 不正确. 对于 B,函数的最小正周期为 ,满足①;当 时, 以不满足②.所以 B 不正确. 对于 C,函数的最小正周期为 ,满足①;当 时,

,不是最值,所 ,所以满足②;



时,

,函数单调递增,不满足③.所以 C 不正确.

对于 D,函数的最小正周期为 ,满足①;当 时,

,所以满足②;当

时,

,函数单调递减,满足③.所以 D 正确.

故选 D.

【点睛】(1)本题考查函数



的性质,解题时需将

作为

一个整体考虑.

(2)解题时注意对函数



来说,在对称轴处函数取得最大值

或最小值,利用此结论来判断函数图象的对称轴可简化运算.

9. 已知函数

(A>0,ω >0)在 x=1 处取最大值,则(



A.

一定是奇函数 B.

一定是偶函数

C.

一定是奇函数 D.

一定是偶函数

【答案】D

【解析】

【分析】

由函数

在 x=1 处取最大值可得

,然后对四个选项分别

分析、判断可得所求. 【详解】∵函数

在 x=1 处取最大值,





对于函数 不正确. 对于函数

,可得 ,可得

,无法作出判断,所以 A,B

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,为偶函数.所以 D 正确.

故选 D.

【点睛】本题考查函数奇偶性的判断,其中由题意得到

是解题的关键,

解题时要对所求的函数的解析式作出适当的变形.另外还要注意以下结论:函数

为偶函数,函数

是奇函数.

10. 使

(ω >0)在区间[0,1]至少出现 2 次最大值,则 ω 的最小值为( )

A.

B.

C. π D.

【答案】A

【解析】

【分析】

函数

在区间[0,1]至少出现 2 次最大值等价于函数的图象在区间[0,1]上至少出现

个周期,由此可得 的不等式,解不等式可得所求的最小值.

【详解】由题意得函数

的最小正周期为 .

∵函数

在区间[0,1]至少出现 2 次最大值,





又,

∴,

∴ 的最小值为 .

故选 A.

【点睛】解答本题时注意转化思想方法的运用,将函数在给定区间内取得最值的个数转化为

函数在该区间内周期的个数的问题解决,建立不等式后解不等式即可得到所求.

11. 在直角坐标系 中, 分别是与 轴, 轴平行的单位向量,若直角三角形 中,



,则 的可能值有 (

)

A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个

【答案】B

【解析】

试题分析:根据题意,由于直角三角形 中,



,那么当角 A 是直

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角时,则满足

,当角 B 为直角时,

或者角 C 为直角时分别求解得到

无解,故有两个值,选 B.

考点:向量的数量积运用

点评:解决该试题的关键是根据数量积为零来求解垂直问题,属于基础题。

12. 如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的距离是 1, l2 与 l3 间的距 离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 上,则△ABC 的边长是 ( )

A.

B.

C.

【答案】D 【解析】 【分析】 设 与直线 交于点 .作



,则可得



D. 于,

于 .由

于. 可得

,然后根据勾股定理可得

,于是可得△ABC 的边长为



【详解】

设 与直线 交于点 .作

于,





,则可得

,于是

由题意得





,即



解得



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于. .

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中,

可得







∴正△ABC 的边长



故选 D. 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质,平行线之间的距离,等边三角形的性质,勾股 定理等,考查学生的转化能力和运算能力,在本题的解法中作辅助线将问题进行转化是关键. 二、填空题:

13. 设两个向量 ,满足

, 的夹角为 60°,若向量

与向量

的夹角为钝角,则实数的取值范围为____________.

【答案】

.

【解析】 【分析】 当两向量的夹角为钝角时,则两向量的数量积为负数,由此可得实数的取值范围,但要注意 排除两向量共线反向的情形.

【详解】∵

, 的夹角为 60°,



∵向量

与向量

的夹角为钝角,

∴(



解得







则得

,解得



∴当

时,向量

与向量

共线反向,不合题意.

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∴实数的取值范围为



【点睛】解答本题时注意以下结论:①

;②当 的夹角为锐角时,可得



反之不成立(注意共线同向的情形);③当 的夹角为钝角时,可得

,反之不成立(注

意共线反向的情形).

14. 若 -

,∈(0,π ),则 tan=__________________.

【答案】 或 .

【解析】 【分析】

由-

可得

是可得所求.

【详解】∵ -



,由此可求得

的值,然后可求得

,于



















解得

,故得





解得

,故得



综上可得 的值为 或 .

【点睛】对于 sin α +cos α ,sin α cos α ,sin α -cos α 这三个式子,已知其中一

个式子的值,其余二式的值可求,其中转化的公式为(sin α ±cos α )2=1±2sin α cos α ,

但解题中要注意判断 sin α +cos α 和 sin α -cos α 的符号.

15. 如右图,在

中,

是边 上一点,



____________.

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【答案】 .

【解析】 【分析】 将向量

用向量

【详解】由题意得







表示,然后根据向量数量积的定义求解可得结果. ,



【点睛】解决类似问题时,首先要抓住题中所给图形的特点,利用平面向量基本定理和向量

的加减运算,将所给向量统一用

表示,然后再根据数量积的运算律求解,这样解题方

便快捷.

16. 下面有五个命题:

①函数 y=sin4x-cos4x 的最小正周期是 ;

②终边在 y 轴上的角的集合是{α |α =



③在同一坐标系中,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象有三个公共点;

④把函数



⑤函数



其中真命题的序号是__________(写出所有真命题的编号) 【答案】① ④. 【解析】 【分析】 根据三角函数的相关性质对五个命题分别分析、判断后可得其中的真命题.

【详解】对于①,由于

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,所以函数的最小正周期为 .因此命题①正确.

对于②,终边在 y 轴上的角的集合是

,因此命题②不正确.

对于③,在同一坐标系中,由三角函数的性质可得,函数 y=sinx 的图象和函数 y=x 的图象 只有在原点处有唯一的公共点.因此命题③不正确.

对于④,把函数

所得图象对应的解析式为

.因此命题④正确.

对于⑤,函数

,所以函数在区间 上单调递增.因此命

题⑤不正确. 综上可得所有正确命题的序号为① ④. 【点睛】本题考查角的有关概念和三角函数的性质及图象的有关知识,解答问题的关键是根 据题意并结合相关的知识进行分析、判断,逐步得到所给的结论是否正确,考查学生综合运 用知识分析问题和解决问题的能力. 三.解答题: 17. 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin A=3csin B,a=3,cos

B= .(1)求 b 的值;(2)求

的值.

【答案】(1)

.

(2)

.

【解析】

(1)在△ABC 中,由



且 bsinA=3csinB,a=3, ∴asinB=3csinB,∴c=1,

由 b2=a2+c2-2accosB,cosB= ,可得 b= .

(2)由 cosB= ,得 sinB= ,进而得

cos 2B=2cos2B-1=- ,sin 2B=2sinBcosB= .

所以 sin

=sin 2Bcos -cos 2Bsin =

18. 已知函数

R.

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(1)求函数 的最小正周期; (2)求函数 在区间 上的最小值和最大值.

【答案】(1) .(2) 函数 在区间 上的最大值为 最小值为 .

【解析】 【分析】

(1)运用三角变换,将函数的解析式化为

的形式,结合周期的计算公式可

得所求;(2)根据函数

在区间 上的单调性可求出最大值和最小值.

【详解】(1)由题意得

.

∴函数 的最小正周期为

.

(2)解法一:









∴当

,即

上单调递增;



,即

上单调递减.

∴当 时, 取得最大值,且最大值为





∴函数 在区间 解法二: 作函数

上的最小值为 . 在长度为一个周期的区间

上的图象,如下图所示:

由图象得函数 在区间 上的最大值为 最小值为

.

【点睛】本题考查三角函数中的特殊角三角函数值、两角差公式、倍角公式、函数

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的性质等基础知识,考查转化能力和基本运算能力.其中的解题关键是把所

给函数化为

的形式,然后再运用整体的思想解题.

19. 设向量

(1)若与 垂直,求

的值; (2)求 的最大值;

(3)若

,求证:∥

【答案】(1)2.

(2)32.

(3)见解析.

【解析】

本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两

角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本能力。满分 14 分。

20. 若函数

在(0, 2π )内有两个不同零点 、 。

(1)求实数的取值范围;

(2)求

的值。

【答案】(1)a 的取值范围是(-2, - )∪(- , 2).

(2) .

【解析】

【分析】

(1)由于

,故可将问题转化为方程 sin(x+

在(0,

2π )内有相异二解,由条件得到

,结合函数的图象可得所求范围.(2)根据 、

为函数

的零点可得 sinα + cosα +=0 且 sinβ + cosβ +=0,将两式

相减并结合和差化积公式可得 tan

,从而可得所求.

【详解】(1)由题意得 sinx+ cosx=2( sinx+ cosx)=2 sin(x+ ),

∵函数

在(0, 2π )内有两个不同零点,

∴关于 x 的方程 sinx+ cosx+a=0 在(0, 2π )内有相异二解,

∴方程 sin

在(0, 2π )内有相异二解.

∵0< 2π ,

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结合图象可得若方程有两个相异解,则满足



解得





∴实数的取值范围是



(2) ∵ 是方程的相异解,

∴ sinα + cosα +=0 ①

sinβ + cosβ +=0 ②

① ②得(sinα sinβ )+ ( cosα cosβ )=0,

∴ 2sin cos

2 sin sin



又 sin ≠0,

∴ tan



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【点睛】本题以函数的零点为载体考查三角变换及函数图象的应用,考查转化变形能力和运

算能力以及数形结合能力,熟练掌握公式的变形及应用是解题的关键.

21. 一海监船发现在北偏东 方向,距离 12 nmile 的海面上有一敌船正以 10 nmile/h 的速

度沿东偏南 方向逃窜.海监船的速度为 14 nmile/h, 若要在最短的时间内追上该敌船,海

监船应沿北偏东

的方向去追,.求追及所需的时间和 角的正弦值.

【答案】所需时间 2 小时,

.

【解析】

分析:先设时间,表示路程,再根据余弦定理求时间,再根据正弦定理求角.

详解:

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设 , 分别表示缉私艇,走私船的位置,设经过 小时后在 处追上(如图所示).

则有 所以

















所以所需时间为 2 小时,角 的正弦值为 .

点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵 活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.

22. 已知函数





(I)设 是函数 (II)求函数

图象的一条对称轴,求 的单调递增区间.

的值.

【答案】(1) 当 为偶数时,



当 为奇数时,



(2) 函数 的单调递增区间是

( ).

【解析】

试题分析:(1)先将三角函数化为基本三角函数,即利用降幂公式得



再利用基本三角函数性质得:

,即

,所以

.因此分 为奇偶讨论得, 的值为 或 ,(2)同样先 将三角函数化为基本三角函数,此时要用到两角和余弦公式及配角公式,即

,再利用基本三角函数

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性质得:

,即

( ),故函数 的单调递增区间



( ).

试题解析:(1)由题设知



因为 是函数

图象的一条对称轴,所以





( ).所以



当 为偶数时,



当 为奇数时,



(2)





,即

( )时,

函数

是增函数,

故函数 的单调递增区间是 考点:三角函数性质

( ).

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