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2019-2020学年高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量优化训练北师大版必修4.doc

2019-2020 学年高中数学第二章平面向量 2.3 从速度的倍数到数乘向 量 2.3.1 数乘向量优化训练北师大版必修 4
5 分钟训练(预习类训练,可用于课前) 1.下列等式中不正确的是( ) A. AB + BC + CA =0 C.0· AB =0 B. AB - AC = CB D.λ (μ a)=λ μ a

解析:选项 A 说明首尾相连的向量之和为 0,还可推广到 n 个向量首尾相连.对零向量的运 算有明确规定,另外运算律也要熟练掌握. 0· AB ≠0. 答案:C 2.化简: (1)5(3a-2b)+4(2b-3a) ; (3) (x-y) (a+b)-(x-y) (a-b) ; (2)6(a-3b+c)-4(-a+b-c) ; (4) (a+2b)+

1 3

1 1 (3a-2b)- (a-b). 4 2

解: (1)5(3a-2b)+4(2b-3a)=15a-10b+8b-12a=3a-2b; (2)6(a-3b+c)-4(-a+b-c)=6a-18b+6c+4a-4b+4c=10a-22b+10c; (3) (x-y) (a+b)-(x-y) (a-b)=xa+xb-ya-yb-xa+xb+ya-yb=2(x-y)b; (4)

1 1 1 1 3 1 2 1 1 7 2 (a+2b)+ (3a-2b)- (a-b)=( ? ? )a+( ? ? )b= a+ b. 3 4 2 3 4 2 3 2 2 12 3

3.已知两个非零向量 a、b,试作 OA =a+b, OB =a+2b, OC =a+3b.你能判断 A、B、C 三点 之间的位置关系吗?为什么? 解:分别作向量 OA 、 OB 、 OD ,过点 A、C 作直线 AC,观察发现,不论向量 a、b 怎样变 化,点 B 始终在直线 AC 上,猜想 A、B、C 三点共线. 事实上,因为 AB = OD - OB =a+3b-(a+2b)=b, 而 AC = OD - OA =a+3b-(a+b)=2b, 于是 AC =2 AB , 所以,A、B、C 三点共线. 10 分钟训练(强化类训练,可用于课中) 1.已知菱形的两邻边 OA =a, OB =b,其对角线交点为 D,则 OD 等于( A. ) D.a+b

1 a+b 2

B.a+

1 b 2

C.

1 (a+b) 2

解析:由平行四边形法则及平行四边形的性质可得出答案. 答案:C 2.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括 A、C 点) ,则 AP 等于( )

A.λ ( AB + AD ) ,λ ∈(0,1)

B.λ ( AB + BC ) ,λ ∈(0,

2 ) 2 2 ) 2

C.λ ( AB - AD ) ,λ ∈(0,1)

D.λ ( AB - BC ) ,λ ∈(0,

解析: 由题意, 知 AC = AB + AD , 又点 P 在 AC 上, 故存在实数 λ ∈ (0, 1) 使 AP 答案:A 3.若 3m+2n=a,m-3n=b,其中 a、b 是已知向量,求 m、n. 解:3m+2n=a, m-3n=b, 3×②,得 3m-9n=3b. ①-③,得 11n=a-3b. ∴n=

λ AC .

① ② ③

1 3 a ? b. 11 11 3 2 a ? b. 11 11



将④代入②得 m=b+3n=

4.在平行四边形 ABCD 中, AC =a, BD =b,求 AB 、 AD . 解法一:利用平行四边形的性质得 AO = ∵ AB = AO + OB = AO - BO , ∴ AB =

1 1 1 1 AC = a, BO = BD = b. 2 2 2 2

1 1 a- b. 2 2
1 BD , 2

又∵ AD = AO + OD , OD = ∴ AD =

1 1 a+ b. 2 2

解法二:将 AB 、 AD 视为未知量,由向量的加法、减法得:

AB + BC = AC , AD - AB = BD .
两式相加得 2 AD = AC + BD , ∴ AD =

1 1 1 1 AC + BD = a+ b. 2 2 2 2

两式相减得 2 AB = AC - BD , ∴ AB =

1 1 1 1 AC - BD = a- b. 2 2 2 2

5.用向量方法证明:三角形两边中点连线平行于第三边,且其长度等于第三边长度的一半.

证明:如图,已知△ABC 中,D、E 分别是边 AB、AC 的中点.求证:DE∥BC,且 DE=

BC . 2

∵D、E 分别是边 AB、AC 的中点,

1 1 AB , AE = AC . 2 2 1 1 ∴ DE = AE - AD = ( AC - AB )= BC . 2 2 BC 又 D 不在 BC 上,∴DE∥BC,且 DE= . 2
∴ AD = 30 分钟训练(巩固类训练,可用于课后) 1.已知正方形 ABCD 的边长为 1, AB =a, BC =b, AC =c,则 a+b+c 的模等于( A.0 B.3 C. 2 2 ) D. 2

解析:由四边形 ABCD 为正方形,可知 AB + BC = AC ,即 a+b=c,所以 a+b+c=2c. 又| AC |= 2 ,故 a+b+c 的模为 2 2 . 答案:C 2. 已知 | AB |=| AC |=1 且向量 AB 与 AC 不共线,则与∠BAC 的平分线共线的向量是 ( ) B. AB + AC C. AB - AC D. AC

A. AB

解析:由| AB |=| AC |=1 且 AB 与 AC 不共线,可知以 AB、AC 为边的平行四边形为菱形, 由菱形的性质和向量加法的平行四边形法则可解此题. 分析知选 B. 答案:B 3.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且 CD =2 DB , CD =r AB +s AC ,则 r+s 的值是( A. )

2 3

B.

4 3

C.-3

D.0

解析:∵ CD =2 DB , ∴ CB =

3 3 3 CD = r AB + s AC . 2 2 2

又 AB + BC + CA =0,

∴ AB - CB - AC =0,即 AB -

3 3 r AB - s AC - AC =0. 2 2

2 ? ? 3 r? , 1 ? r ? 0, ? ? 3 3 ? 2 ? 3 解得? ∴(1- r) AB -( s+1) AC =0,即 ? 2 2 ? 3 s ? 1 ? 0. ?s ? ? 2 . ? ? 3 ?2 ?
答案:D 4.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,若 PA + PB + PC = AB ,则点 P 与△ABC 的关系为( ) A.P 在△ABC 的内部 C.P 在 AB 边或其延长线上 B.P 在△ABC 的外部 D.P 在 AC 边上且是 AC 的一个三等分点

解析:由 PA + PB + PC = AB ,得 PA + PB + PC = PB - PA , 即 2 PA =- PC .∴ CP =2 PA .由向量的数乘的几何意义知选 D. 答案:D 5.如图 2-3-1,在△ABC 中,BD=

1 DC,AE=3ED,若 AB =a, AC =b,则 BE 等于( 2

)

图 2-3-1 A.

1 1 b+ a 3 3

B.

1 1 b- a 4 2 3 4

C.

1 1 b+ a 4 2 3 4


D.

1 1 b- a 3 3

解 析 : BE = - AB = ?

AE - AB =

AD - AB

AB + BD )

1 3 1 1 1 1 1 1 1 AB + × × BC = ? AB + ( AC - AB )= AC - AB = b- a. 4 4 3 4 4 4 2 4 2

答案:B 6. 已知 a 与 b 是不共线向量,实数 x 、 y 满足 3xa+ ( 10-y ) b=2xb+ ( 4y+7 ) a ,则 x+y=_____________. 解析:∵a、b 不共线且 3xa+(10-y)b=2xb+(4y+7)a, ∴3x=4y+7,10-y=2x.解得 x=

47 16 ,y ? . 11 11

63 . 11 63 答案: 11
故 x+y= 7.在平行四边形 ABCD 中,设对角线 AC =a, BD =b,试用 a、b 表示 AB 、 BC .

解法一:设 AC、BD 交于点 O,则 AO = OD =

1 1 1 AC = a,同理, BO = b. 2 2 2

∴ AB = AO + OB = AO - BO = 同理, BC =

1 1 a- b. 2 2

1 1 a+ b. 2 2

解法二:设 AB =x, BC =y,那么 AB + BC = AC , AD - AB = BD ,

1 1 (a-b) ,y= (a+b) , 2 2 1 1 1 1 即 AB = a- b, BC = a+ b. 2 2 2 2
即 a=x+y,b=y-x.∴x= 8.若 O、A、B 三点不共线,已知 OP =m OA +n OB ,m、n∈R,且 m+n=1,那么点 P 的位置如 何?请说明理由. 解:由已知 OP =m OA +n OB =m OA +(1-m) OB = OB +m( OA - OB ) , ∴ OP - OB =m( OA - OB ) ,即 BP =m BA . ∴ BP 与 BA 共线,即点 P 在直线 AB 上. 说明: 由此题可猜想, P、 A、 B 三点共线的充要条件是: 存在实数 λ 、 μ 使 OP =λ OA +μ OB , 且 λ +μ =1. 9.如图 2-3-2,D、E、F 分别为△ABC 的边 BC、CA、AB 的中点,且 BC =a, CA =b. 求证: (1) AD = ?

1 1 1 1 a-b; (2) BE =a+ b;(3) CF = ? a ? b ;(4) AD + BE + CF =0. 2 2 2 2

图 2-3-2

1 证明: (1) AD = AC + CD =-b- a. 2 1 (2) BE = BC + CE =a+ b. 2

1 1 1 1 1 AB =b+ ( AC + CB )=b+ (-b-a)= ? a+ b. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 (4) AD + CF + BE = ? a-b ? a+ b+a+ b=0. 2 2 2 2
(3) CF = CA + AF = CA +



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