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8.1 椭圆


第八章

圆锥曲线

§8.1 椭圆 例 1:若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆上点的距离的最小值为
3 ,求椭圆的方程。

例 2:已知椭圆 3x2+4y2=12 上的点 P 与左焦点的距离为

5 2

,求点 P 到右准线的距离。

例 3: 已知椭圆

x

2

?

y

2

4

3

? 1, 能否在此椭圆位于 y 轴左侧的部分上找到一点 M,使它到左准线的距离为它到两焦点 F1、

F2 距离的等比中项?

例 4:椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>b>0)上一点 M 与两焦点 F1,F2 所成的角∠F1MF2=a, 求证△F1MF2 的面积为 b tan

2

a 2

.

【备用题】 在面积为 1 的△PMN 中,tanM=
1 2

,tanN=-2,建立适当的坐标系,求出以 M、N 为焦点且过 P 的椭圆方程。

【基础训练】 1、已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1 上一点 P 到椭圆一个焦点的距离是 3,则 P 点到另一个焦点的距离为: (



25

16

A、2 B、3 C、5 D、7 2、若椭圆的两个焦点是两条准线间距离的两个三等分点,则椭圆的长轴长与短轴长之比是: A、2 3、 椭圆 A、 ?
x
2

B、
? 3 4 b
2

6 2

C、 2

D、

3 4

2



) )

y

2

12

3

? 1 的一个焦点为 F1, P 在椭圆上, 点 如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上, 那么点 M 的纵坐标是: (

B、 ?

3 2 a
2

C、 ?

2 2 a
2

D、 ?

3 4

4、a, b, c, p 分别表示椭圆的半长轴,半短轴,半焦距及焦点到相应准线的距离,则它们的关系是: ( A、 p ? B、 p ? C、 p ? D、 p ?
b
2



a

b

c

c

5、平面上点 P 到两个定点 A、B 的距离之和等于|AB|,则 P 点轨迹是 6、已知对称轴为坐标轴,长轴长为 6,离心率为 【拓展练习】 1、方程 x2sinα +y2cosα =1(0<α < A、 (0, 2、椭圆 A、2 3、若 F 是椭圆 是( 4、椭圆
x
2

。 。

2 3

的椭圆方程为

?
2

)表示焦点在 y 轴上的椭圆,则α 的取值范围是: ( C、 (
?
4 ,



?
4


y
2

B、 ( 0 ,

?
4

]

?
2



D、[

?
4

,

?
2

] )

x

2

?

25

9

? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 是 MF1 的中点,O 是椭圆中心,则|ON|的值是: (

B、4
x
2

C、8

D、

3 2

?

y

2

? 1 的右焦点,M 是该椭圆上的点,A(-2, 3 )是该椭圆内一点,则|MA|+2|MF|的最小值

16
2

12

) A、8+ 7
? y ? 1 的离心率为 10 5 5 m

B、4+ 7 ,则实数 m 的值为

C、10 。

D、8

5 、 若 M 为 椭圆 上 一 点, F1 , F2 是 椭 圆 的 两 个焦 点 , 且 ∠ MF1F2=2 ∠ MF2F1=2 α ( α ≠ 0 ) 则椭 圆 的 离 心离 , 是 。 6、已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆左顶点 A,上顶点 B,左焦点 F1 到直线 AB 的距离为 心率。
7 7

|OB|,求椭圆的离

7、在椭圆 9x2+25y2=225 上求一点 P,使它到左焦点的距离等于它到右焦点距离的两倍。

8、如图,AB 是过椭圆左焦点的一弦,C 是椭圆的右焦点,已知|AB|=|AC|=4,∠BAC=90°,求椭圆方程。

9、已知 F1(-3,0), F2(3,0)分别是椭圆的左、右焦点,P 是该椭圆上的点,满足 PF2⊥F1F2,∠F1PF2 的平分线交 F1F2 于 M(1,0) ,求椭圆方程。

10、已知椭圆 C 的长轴两端点为 A、B, (1)过一焦点 F 作垂直于长轴的弦 PP′,证明∠APB≠120°, (2)若 C 上 存在一点 Q,且∠AQB=120°,求椭圆 C 的离心率的范围。


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