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2019高中数学第1章导数及其应用1.3.3导数的实际应用学案新人教B版选修2-2

1.3.3 导数的实际应用 1.学会解决实际问题的基本方法,注意首先通过分析、思考、总结、联想,建立问题 涉及的变量之间的函数关系式,然后根据实际意义确定定义域. 2.学会利用导数求解实际问题,感受导数在解决实际问题中的作用. 求实际问题中的最值的主要步骤 (1)列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程________; (3)比较函数在区间______和使 f′(x)=0 的点的取值大小, 最大(小)者为最大(小)值. (1)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义去考虑,不符合实际意义的 理论值应舍去; (2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形,如果函 数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值; (3)在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表 示,还应确定函数关系式中自变量的定义区间. 【做一做 1-1】内接于半径为 R 的半圆的周长最大的矩形的边长为( ). R 3 5 4 5 A. 和 R B. R 和 R 2 2 5 5 4 7 C. R 和 R D.以上都不对 5 5 【做一做 1-2】面积为 S 的所有矩形中,其周长最小的是________. 如何求解实际应用题? 剖析:解应用题首先要在阅读材料、理解题意的基础上把实际问题抽象成数学问题.就 是从实际问题出发,抽象概括,利用数学知识建立相应的数学模型;再利用数学知识对数学 模型进行分析、研究,得到数学结论;然后再把数学结论返回到实际问题中进行检验,其思 路如下: (1)审题:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,找出问题的主要关系; (2)建模:将文字语言转化成数学语言,利用数学知识建立相应的数学模型; (3)解模:把数学问题化归为常规问题,选择合适的数学方法求解; (4)对结果进行验证评估,定性、定量分析,作出正确的判断,确定其答案. 值得注意的是:在实际问题中,有时会遇到函数在定义区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形, 如果函数在这个点有极大(小)值, 那么不与端点值比较也可以知道这就是最大(小) 值.这里所说的也适用于开区间或无穷区间. 题型一 利用导数求实际问题的最小值 【例题 1】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔 热层.某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元.该 建筑物每年的能源消耗费用 C(单位: 万元)与隔热层厚度 x(单位: cm)满足关系: C(x)= 3x+5 (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元.设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和. (1)求 k 的值及 f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值. 分析:根据题设条件构造函数关系,再应用导数求最值. 反思:解答一道应用题重点要过三关:事理关(需要读懂题意,知道讲的是什么事件); 文理关(需要把实际问题的文字语言转化为数学的符号语言, 用数学式子表达数学关系); 数 理关(要求学生有对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向 数学问题的转化,进而借助数学知识进行解答).对于这类问题,往往因忽视了数学语言和 普通语言的转换,从而造成了解决应用问题的最大思维障碍. 题型二 利用导数求实际问题的最大值 【例题 2】如图所示,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为 2r,短半轴长为 r,计划将 此钢板切割成等腰梯形的形状,下底 AB 是半椭圆的短轴,上底 CD 的端点在椭圆上,记 CD =2x,梯形面积为 S. k (1)求面积 S 以 x 为自变量的函数关系式,并写出其定义域; (2)求面积 S 的最大值. 分析:建立坐标系,求出椭圆方程,表示出梯形的面积,应用导数求最值. x2 y2 反思:本题的关键是建立直角坐标系,得到椭圆方程 2+ 2=1(y≥0),进而得到梯形 r 4r 2 2 面积 S=2(x+r)· r -x .利用导数法解决实际问题,当遇到在定义区间内只有一个点使 f′(x)=0 的情形时,若函数在这一点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这 就是最大(小)值. 题型三 易错辨析 易错点: 在运用导数解决实际问题的过程中, 常常因为忽略实际问题中函数的定义域而 造成结果求解错误.解决问题的主要措施为:在准确理解题意的基础上,正确建模,在实际 问题的定义域范围内求出问题的最优解. 【例题 3】 某厂生产一种机器, 其固定成本(即固定投入)为 0.5 万元. 但每生产 100 台, 需要增加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售收 1 2 入(单位:万元)函数为 R(x)=5x- x (0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2 (1)把利润表示为年产量的函数; (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大? 1 2? 1 2 19 1 ? 错解:(1)y=R(x)-C(x)=?5x- x ?-(0.5+0.25x)=- x + x- (0≤x≤5). 2 ? 2 4 2 ? 19 19 (2)y′=-x+ ,令 y′=0,得 x= =4.75,∴4.75 必为最大值点. 4 4 ∴年产量为 475 台时,工厂利润最大. 1 将 8 分为两数之和,使其立方之和为最小,则分法为( A.2 和 6 B.4 和 4 ). C.3 和 5 D.以上都不对 2 用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截去一个面积相 等的小正方形,然后把四边折起,就能焊成铁盒,当所做的铁盒容积最大时,在四角截去的 正方形的边长为( ). A.6 cm B.8 cm C.10 cm D.12 cm 3 某车间要靠墙


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