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4.1.1


4.1.1 圆的标准方程
y
O

A

x

r

生活中的圆

复习引入
复习引入

问题一:什么是圆?初中时我们是怎样给圆 下定义的?
探究新知

应用举例

平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹)是圆。 问题二:平面直角坐标系中,如何确定一个 圆? 圆心:确定圆的位置 半径:确定圆的大小

课堂小结

课后作业

探究新知 问题三:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么?

设点M (x,y)为圆C上任一点,则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O

P = { M | |MC| = r }

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

C(a,b)

x

(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.

想一想?

问题:是否在圆上的点都适合这个方程?是否适 合这个方程的坐标的点都在圆上?

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点M在圆心为A (a, b),半径为r的圆上.

知识点一:圆的标准方程 y

标准方程

M(x,y)

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

O

C(a,b)

x

圆心C(a,b),半径r 特别地,若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x2 ? y 2 ? r 2

应用举例 1.说出下列圆的方程: (1) 圆心在原点,半径为3. (2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7. (3)经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3). 2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径:

(1) (x + 7)2 + ( y ? 4)2 = 36
(2) x2 + y2 ? 4x + 10y + 28 = 0

(3) (x ? a)2 + y 2 = m2

特殊位置的圆的方程:

圆心在原点:
圆心在x轴上: 圆心在y轴上: 圆过原点:

x2 + y2 = r2 (r≠0) (x ? a)2 + y2 = r2 (r≠0) x2+ (y ? b)2 = r2 (r≠0) (x ? a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)

典型例题
例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的方 程,并判断点 M1 (5,?7) , M 2 (? 5 ,?1)是否在这个圆上。

解:圆心是 A(2,?3) ,半径长等于5的圆的标准方 程是:

( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 25

2 2 ( x ? 2 ) ? ( y ? 3 ) ? 25 把 M1 (5,?7) 的坐标代入方程 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上;
把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上.

知识探究二:点与圆的位置关系 探究:在平面几何中,如何确定点与圆的位置关 系? M M M

O
|OM|<r 点在圆内

O

O

|OM|=r
点在圆上

|OM|>r
点在圆外

知识点二:点与圆的位置关系

点与圆的位置关系:
(x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内;
(x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外. M ( x0 , y 0 ) M ( x0 , y 0 )

M ( x0 , y 0 ) O ( a, b)

O(a, b)

O(a, b)

例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。
解:设所求圆的方程为:

(x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

待定系数 法

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上

?(5 ? a) ? (1 ? b) ? r ? 2 2 2 ?(7 ? a) ? (?3 ? b) ? r ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
2 2 2

?a ? 2, ? ?b ? ?3, ? r ? 5. ?

所求圆的方程为

( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 25

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
y

l
A

C

o B

x

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ ? ( x ? ). 2 3 2

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程: , 解得: ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y ? ?2

即:x-3y-3=0

∴圆心C(-3,-2)

? r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , 解2:设圆C的方程为

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

待定系数法

圆经过A(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ? 2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

练习
1.点(2a, 1 ? a)在圆x2 + y2 = 4的内部,求实数 a 的 取值范围. 2.根据下列条件,求圆的方程: (1)求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线xy+1=0上的圆的标准方程。 (2)圆心在直线5x-3y=8上,又与两坐标轴相 切,求圆的方程。 (3)求以C(1,3)为圆心,且和直线3x-4y-7=0 相切的直线的方程。

思考
例 已知圆的方程是x2 + y2 = r2,求经过圆上一 点 M ( x0 , y0 )的切线的方程。
y ? y0 ? k ( x ? x0 ) 解: 如图, 设切线方程为 y0 半径OM的斜率为kOM ? x0 ,
Y
M ( x0 , y0 )

0

X

x0 因OM垂直于圆的切线 , 所以k ? ? y0 x0 切线方程为y ? y0 ? ? ( x ? x0 ) y0

整理得, x0 x ? y0 y ? x ? y
2 0
2 0 2 0 2

2 0

?x ? y ? r ,

?所求圆的切线方程为 x0 x ? y0 y ? r 2

小结
1.圆的标准方程

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

(圆心C(a,b),半径r)

2.点与圆的位置关系 3.求圆的标准方程的方法: ①待定系数法 ②几何性质法

P124

A

2,3,4



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