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4.1.1 圆的标准方程公开课课件(人教A版必修2)


4.1.1 圆的标准方程
y O

A

x

r

生活中的圆

复习引入
复习引入

问题一:什么是圆? 问题一:什么是圆?初中时我们是怎样给圆 下定义的? 下定义的?
探究新知

应用举例

平面内与定点距离等于定长的点的集合( 平面内与定点距离等于定长的点的集合( 轨迹)是圆。 轨迹)是圆。 问题二:平面直角坐标系中, 问题二:平面直角坐标系中,如何确定一个 圆? 圆心: 圆心:确定圆的位置 半径: 半径:确定圆的大小

课堂小结

课后作业

探究新知 问题三:圆心是C( ),半径是 的圆的方程是什么? 问题三:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么? 设点M , )为圆C上任一点 上任一点, 设点 (x,y)为圆 上任一点,则|MC|= r。 圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r } O y M(x,y) ( , ) x

(x ?a) +( y ?b) = r
2 2

C(a,b)

(x-a)2+(y-b)2=r2
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程. 确定一个圆的方程.

想一想? 想一想

问题:是否在圆上的点都适合这个方程?是否适 是否在圆上的点都适合这个方程? 合这个方程的坐标的点都在圆上? 合这个方程的坐标的点都在圆上?

(x ? a) + ( y ? b) = r
2 2

2

在圆上, 点M(x, y)在圆上,由前面讨论可知,点M的坐 在圆上 由前面讨论可知, 的坐 标适合方程;反之,若点M(x, y)的坐标适合方程, 的坐标适合方程, 标适合方程;反之,若点 的坐标适合方程 即点M在圆心为 在圆心为A 这就说明点 M与圆心的距离是 r ,即点 在圆心为 与圆心的距离是 (a, b),半径为 的圆上. 的圆上. ,半径为r的圆上

知识点一: 知识点一:圆的标准方程 y M(x,y) ( , ) O x

标准方程

(x ? a) + ( y ? b) = r
2 2

2

C(a,b)

圆心C( , ),半径r ),半径 圆心 (a,b),半径 特别地,若圆心为 ( , ) 则圆的方程为: 特别地 若圆心为O(0,0),则圆的方程为: 若圆心为

x + y =r
2 2

2

应用举例 1.说出下列圆的方程: 说出下列圆的方程: 说出下列圆的方程 (1) 圆心在原点 半径为 圆心在原点,半径为 半径为3. (2) 圆心在点 圆心在点C(3, -4), 半径为 半径为7. (3)经过点 经过点P(5,1),圆心在点 经过点 ,圆心在点C(8,-3). 2. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径: 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径: (1) (x + 7)2 + ( y ? 4)2 = 36 (2) x2 + y2 ? 4x + 10y + 28 = 0 (3) (x ? a)2 + y 2 = m2

特殊位置的圆的方程: 特殊位置的圆的方程 x2 + y2 = r2 (r≠0) 圆心在原点: 圆心在原点 圆心在x轴上 圆心在 轴上: 轴上 圆心在y轴上 圆心在 轴上: 轴上 圆过原点: 圆过原点 (x ? a)2 + y2 = r2 (r≠0) x2+ (y ? b)2 = r2 (r≠0) (x ? a)2 + (y-b)2 = a2+b2 (a2+b2≠0)

典型例题
半径长等于5的圆的方 例1 写出圆心为 A(2,?3) ,半径长等于 的圆的方 是否在这个圆上。 程,并判断点 M 1 (5,?7) , M 2 (? 5,?1)是否在这个圆上。 半径长等于5的圆的标准方 解:圆心是 A( 2,?3) ,半径长等于 的圆的标准方 程是: 程是:

(x ? 2)2 + ( y + 3)2 = 25
( x ? 2) 2 + ( y + 3) 2 = 25 把 M 1 (5,?7) 的坐标代入方程 左右两边相等, 的坐标适合圆的方程, 左右两边相等,点M 1 的坐标适合圆的方程,所以点

M 1在这个圆上; 在这个圆上;
的坐标代入此方程, 把点 M 2 (? 5 ,?1) 的坐标代入此方程,左右两边 不相等, 的坐标不适合圆的方程, 不相等,点M 2的坐标不适合圆的方程,所以点 M 2不 在这个圆上. 在这个圆上

知识探究二: 知识探究二:点与圆的位置关系 探究:在平面几何中, 探究:在平面几何中,如何确定点与圆的位置关 系? M M M O O O

|OM|<r |OM| r

|OM|=r |OM| r 点在圆上

|OM|>r |OM| r 点在圆外

点在圆内

知识点二: 知识点二:点与圆的位置关系

点与圆的位置关系: 点与圆的位置关系:
在圆C (x0-a)2+(y0-b)2<r2时,点M在圆C内; r 在圆C (x0-a)2+(y0-b)2=r2时,点M在圆C上; r 在圆C (x0-a)2+(y0-b)2>r2时,点M在圆C外. r M (x0 , y0 ) O(a, b) M (x0 , y0 ) O(a, b) O (a, b) M (x0 , y0 )

⊿ABC的三个顶点的坐标分别是 的三个顶点的坐标分别是A(5,1), 例2 ⊿ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程 求它的外接圆的方程。 B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程。 解:设所求圆的方程为: 设所求圆的方程为:

(x?a) +(y?b) =r
2 2

2

待定系数 法

因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上 因为 都在圆上

?(5 ? a ) + (1 ? b) = r ? 2 2 2 ?(7 ? a ) + (?3 ? b) = r ?(2 ? a ) 2 + (?8 ? b) 2 = r 2 ?
2 2 2

?a = 2, ? ?b = ?3, ? r = 5. ?
2 2

所求圆的方程为

( x ? 2) + ( y + 3) = 25

己知圆心为C的圆经过点A(1,1) B(2,-2),且 A(1,1)和 例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x y+1=0上 求圆心为C l:x圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
y l A o C B x

己知圆心为C的圆经过点A(1,1) B(2,-2),且 A(1,1)和 例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x y+1=0上 求圆心为C l:x圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 ?2 ? 1 ∴ 线段AB的中点D( , ? ), k AB = = ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ∴ 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ = ( x ? ). 2 3 2
?x ? y +1 = 0 ? x = ?3 , 解得: 联立直线l , CD的方程: ? ? ?x ? 3y ? 3 = 0 ? y = ?2

即:x-3y-3=0

∴圆心C(-3,-2) 圆心
∴ r = AC = (1 + 3) 2 + (1 + 2) 2 = 5.
∴圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 + ( y + 2) 2 = 25.

己知圆心为C的圆经过点A(1,1) B(2,-2),且 A(1,1)和 例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x y+1=0上 求圆心为C l:x圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 设圆C的方程为 解2:设圆 的方程为 ( x ? a ) + ( y ? b) = r , 设圆
2 2 2

∵圆心在直线l:x-y+1=0上 圆心在直线 上
待定系数法

圆经过A(1,1),B(2,-2) 圆经过

?a ? b + 1 = 0 ?a = ?3 ? ? 2 2 2 ∴ ?(1 ? a) + (1 ? b) = r ? ?b = ?2 ?(2 ? a) 2 + (?2 ? b) 2 = r 2 ?r = 5 ? ?
∴圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 + ( y + 2) 2 = 25.

练习
1.点(2a, 1 ? a)在圆 2 + y2 = 4的内部 求实数 a 的 点 在圆x 的内部,求实数 在圆 的内部 取值范围. 取值范围 2.根据下列条件,求圆的方程: 2.根据下列条件,求圆的方程: 根据下列条件 (1)求过两点A(0,4)和B(4,6),且圆心在直线x(0,4)和 (4,6),且圆心在直线 y+1=0上的圆的标准方程。 +1=0上的圆的标准方程 上的圆的标准方程。 (2)圆心在直线5x-3y=8上,又与两坐标轴相 圆心在直线5x-3y=8上 5x 求圆的方程。 切,求圆的方程。 (1,3)为圆心 且和直线3x 4y为圆心, 3x(3)求以C(1,3)为圆心,且和直线3x-4y-7=0 相切的直线的方程。 相切的直线的方程。

思考
已知圆的方程是x 例 已知圆的方程是 2 + y2 = r2,求经过圆上一 的切线的方程。 点 M ( x0 , y0 )的切线的方程。 解: 如图, 设切线方程为y ? y0 = k ( x ? x0 ) y0 半径OM的斜率为kOM = x0 ,
Y
M ( x0 , y0 )

0

X

x0 因OM垂直于圆的切线, 所以k = ? y0 x0 切线方程为y ? y0 = ? ( x ? x0 ) y0

整理得, x0 x + y0 y = x + y
2 0

2 0

2 2 Q x0 + y0 = r 2 ,

∴所求圆的切线方程为x0 x + y0 y = r

2

小结
1.圆的标准方程 1.圆的标准方程

(x ? a) + ( y ? b) = r
2 2

2

),半径 (圆心C(a,b),半径 ) 圆心 ( , ),半径r)

2.点与圆的位置关系 2.点与圆的位置关系

3.求圆的标准方程的方法: 3.求圆的标准方程的方法: 求圆的标准方程的方法 ①待定系数法 ②几何性质法

P 124

A

2,3,4



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