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高中函数值域的求法方法汇总


高中函数值域的求法方法汇总

1. 直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。

例 1. 求函数 解:∵

的值域。

∴ 显然函数的值域是:

2. 配方法
例 3. 求函数 解:将函数配方得: ∵ 由二次函数的性质可知:当 x=1 时, 故函数的值域是:[4,8] ,当 时, 的值域。

3. 判别式法
例 4. 求函数 的值域。

解:原函数化为关于 x 的一元二次方程

(1)当

时,

解得:

(2)当 y=1 时,

,而

故函数的值域为

4. 反函数法
直接求函数的值域困难时, 可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值 域。

例 6. 求函数

值域。

解:由原函数式可得:

则其反函数为:

,其定义域为:

故所求函数的值域为:

5. 函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定 函数的值域。

例 7. 求函数

的值域。

解:由原函数式可得: ∵



解得: 故所求函数的值域为

6. 函数单调性法
例 9. 求函数 解:令 则 所以 在[2,10]上都是增函数 在[2,10]上是增函数 的值域。

当 x=2 时, 当 x=10 时,

故所求函数的值域为:

7. 换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根 式或三角函数公式模型, 换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的 值域中同样发挥作用。

例 11. 求函数 解:令 则 ,

的值域。

∵ 又 当 ,由二次函数的性质可知 时,



时,

故函数的值域为

8. 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率 等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。 例 16. 求函数 的值域。

解:原函数可化简得: 上式可以看成数轴上点 P(x)到定点 A(2), 由上图可知,当点 P 在线段 AB 上时, 当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时, 故所求函数的值域为: 间的距离之和。

9. 不等式法
利用基本不等式 ,求函数的最值,其 题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时 需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

例 19. 求函数 解:原函数变形为:

的值域。

当且仅当

即当



,等号成立

故原函数的值域为:

10. 一一映射法
原理: 因为 在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中, 若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围。

例 21. 求函数

的值域。

解:∵定义域为









解得

故函数的值域为

11. 多种方法综合运用
例 22. 求函数 解:令 的值域。 ,则

(1)当 以

时,

,当且仅当 t=1,即

时取等号,所

(2)当 t=0 时,y=0。

综上所述,函数的值域为:

注:先换元,后用不等式法


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